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公共基础知识

第1章数据结构与算法

1.1算法

1．算法的基本概念

算法（Algorithm）是任意一个良定义的计算过程，是对特定问题求解步骤的一种描述，它以一个或多个值作为输入，并产生一个或多个值作为输出。

因此，算法是一系列将输入转化成输出的计算步骤，一个算法也可以被认为是用来解决一个计算问题的工具，计算问题的陈述指定了所想要的输入输出之间的关系，而相应的算法则描述了达到这种关系的计算过程。

1）算法的基本特征

（1）可行性

由于算法的设计是为了在某一个特定的计算工具上解决某一个实际的问题而设计的，因此，必须是正确的，可以实现的。

（2）确定性

算法的设计必须是每一个步骤都有明确的定义，不允许有模糊的解释，也不能有多义性。

（3）有穷性

算法的有穷性，即在一定的时间是能够完成的，即算法应该在计算有限个步骤后能够正常结束。

（4）拥有足够的情报

算法的执行与输入的数据和提供的初始条件相关，不同的输入或初始条件会有不同的输出结果，提供准确的初始条件和数据，才能使算法正确执行。

2）算法的基本要素

一是数据对象的运算和操作，二是算法的控制结构。

（1）算法中对数据的运算和操作

算法实际上是按解题要求从环境能进行的所有操作中选择合适的操作所组成的一组指令序列。

即算法是计算机所能够处理的操作所组成的指令序列。

基本运算和操作包括：

算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输

（2）算法的控制结构

算法的功能不仅取决于所选用的操作，而且还与各操作之间的顺序有关。

在算法中，操作的执行顺序又称算法的控制结构，一般的算法控制结构有三种：

顺序结构、选择结构和循环结构。

在算法描述是，有相关的工具对这三种结构进行描述，常用的描述工具有：

流程图、N-S结构图和算法描述语言等。

3）算法设计的基本方法

为用计算机解决实际问题而设计的算法，即是计算机算法。

通常的算法设计有如下几种：

（1）列举法

列举法的基本思想是，根据提出的问题，列举出所有可能的情况，并用问题中给定的条件检验哪些是满足条件的，哪些是不满足条件的。

列举法通常用于解决“是否存在”或“有哪些可能”等问题。

例如，我国古代的趣味数学题：

“百钱买百鸡”、“鸡兔同笼”等，均可采用列举法进行解决。

（2）归纳法

归纳法的基本思想是，通过列举少量的特殊情况，经过分析，最后找出一般的关系。

归纳是一种抽象，即从特殊现象中找出一般规律。

但由于在归纳法中不可能对所有的情况进行列举，因此，该方法得到的结论只是一种猜测，还需要进行证明。

（3）递推

递推，即是从已知的初始条件出发，逐次推出所要求的各个中间环节和最后结果。

其中初始条件或问题本身已经给定，或是通过对问题的分析与化简而确定。

递推的本质也是一种归纳，递推关系式通常是归纳的结果。

例如，裴波那契数列，是采用递推的方法解决问题的。

（4）递归

在解决一些复杂问题时，为了降低问题的复杂程序，通常是将问题逐层分解，最后归结为一些最简单的问题。

这种将问题逐层分解的过程，并没有对问题进行求解，而只是当解决了最后的问题那些最简单的问题后，再沿着原来分解的逆过程逐步进行综合，这就是递归的方法。

例如，汉诺塔

递归分为直接递归和间接递归两种方法。

如果一个算法直接调用自己，称为直接递归调用；如果一个算法A调用另一个算法B，而算法B又调用算法A，则此种递归称为间接递归调用。

（5）减半递推技术

减半递推即将问题的规模减半，然后，重复相同的递推操作。

就是所谓的分治法，对问题分而治之。

例如，二分法求解一元二次方程、二分法查找

（6）回溯法

有些实际的问题很难归纳出一组简单的递推公式或直观的求解步骤，也不能使用无限的列举。

对于这类问题，只能采用试探的方法，通过对问题的分析，找出解决问题的线索，然后沿着这个线索进行试探，如果试探成功，就得到问题的解，如果不成功，再逐步回退，换别的路线进行试探。

这种方法，即称为回溯法。

如人工智能中的机器人下棋。

2．算法复杂度

算法的复杂度包括时间复杂度和空间复杂度。

1）时间复杂度

即实现该算法需要的计算工作量，算法的执行速率与数据的存储结构有关，与所使用的计算机、程序设计语言以及程序编制者无关。

算法的工作量用算法所执行的基本运算次数（语句的频度）来计算。

通常指循环操作。

基本运算次数还与问题的规模有关。

通常用O

（1）表示常数计算时间。

常见的渐进时间复杂度有：

O

（1）

）

2）算法的空间复杂度

指要执行该算法所需要的内存空间。

算法所占用的内存空间包括算法程序所占的空间、输入的初始数据所占的存储空间以及算法执行过程中所需要的额外空间，如执行过程中工作单元以及某种数据结构所需要的附加存储空间等。

是求解问题规模的函数。

问题规模是指求解问题的输入量。

1.1节真题及模拟题

1.下面关于算法的叙述中，正确的是（）。

A、算法的执行效率与数据的存储结构无关

B、算法的空间复杂度是指算法程序中指令（或语句）的条数

C、算法的有穷性是指算法必须能在执行有限个步骤之后终止

D、以上三种描述都不对

解析:

算法的设计可以避开具体的计算机程序设计语言，但算法的实现必须借助程序设计语言中提供的数据类型及其算法。

数据结构和算法是计算机科学的两个重要支柱。

它们是一个不可分割的整体。

算法在运行过程中需辅助存储空间的大小称为算法的空间复杂度。

算法的有穷性是指一个算法必须在执行有限的步骤以后结束。

本题答案为C。

2.算法的时间复杂度是指（）

A）执行算法程序所需要的时间

B）算法程序的长度

C）算法执行过程中所需要的基本运算次数

D）算法程序中的指令条数

解析：

算法的复杂度主要包括算法的时间复杂度和算法的空间复杂度。

所谓算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；算法的空间复杂度一般是指执行这个算法所需要的内存空间。

故本题答案应该为选项C）。

3.算法的空间复杂度是指（）

A）算法程序的长度

B）算法程序中的指令条数

C）算法程序所占的存储空间

D）执行过程中所需要的存储空间

解析：

算法的复杂度主要包括算法的时间复杂度和算法的空间复杂度。

所谓算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量；算法的空间复杂度一般是指执行这个算法所需要的内存空间。

故本题答案应该为选项D）。

4.算法的有穷性是指（）

A）算法程序的运行时间是有限的

B）算法程序所处理的数据量是有限的

C）算法程序的长度是有限的

D）算法只能被有限的用户使用

答案解析：

算法的基本特征王要包括以下四个方面：

●可行性：

针对实际问题而设计的算法，执行后能够得到满意的结果

●确定性：

算法中的每一个步骤都必须有明确的定义，不允许有模棱两可的解释和多义性。

●有穷性：

算法必需在有限时间内做完，即算法必需能在执行有限个步骤之后终止。

●拥有足够的情报：

要使算法有效必需为算法提供足够的情报当算法拥有足够的情报时，此算法才最有效的；而当提供的情报不够时，算法可能无效。

5.下列叙述中正确的是（）

A）算法的效率只与问题的规模有关，而与数据的存储结构无关

B）算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量

C）数据的逻辑结构与存储结构是一一对应的

D）算法的时间复杂度与空间复杂度一定相关

【答案】B

【解析】本题考查数据结构中有关算法的基本知识和概念。

数据的结构，直接影响算法的选择和效率。

而数据结构包括两方面，即数据的逻辑结构和数据的存储结构。

因此，数据的逻辑结构和存储结构都影响算法的效率。

选项A的说法是错误的。

算法的时间复杂度是指算法在计算机内执行时所需时间的度量；与时间复杂度类似，空间复杂度是指算法在计算机内执行时所需存储空间的度量。

因此，选项B的说法是正确的。

数据之间的相互关系称为逻辑结构。

通常分为四类基本逻辑结构，即集合、线性结构、树型结构、图状结构或网状结构。

存储结构是逻辑结构在存储器中的映象，它包含数据元素的映象和关系的映象。

存储结构在计算机中有两种，即顺序存储结构和链式存储结构。

可见，逻辑结构和存储结构不是一一对应的。

因此，选项c的说法是错误的。

有时人们为了提高算法的时间复杂度，而以牺牲空间复杂度为代价。

但是，这两者之间没有必然的联系。

因此，选项D的说法是错误的。

6.下列关于算法叙述正确的是（）。

A）算法就是程序

B）设计算法时只需要考虑数据结构的设计

C）设计算法时只需要考虑结果的可靠性

D）以上三种说法都不对（算法设计时要考虑时间复杂度和空间复杂度）

【解析】算法是指解题方案的准确而完整的描述，算法不等于程序，也不等于计算方法，所以A错误。

设计算法时不仅要考虑对数据对象的运算和操作，还要考虑算法的控制结构。

7.下列叙述中正确的是

A）一个算法的空间复杂度大，则其时间复杂度也必定大

B）一个算法的空间复杂度大，则其时间复杂度必定小

C）一个算法的时间复杂度大，则其空间复杂度必定小

D）算法的时间复杂度与空间复杂度没有直接关系

【解析】算法的空间复杂度是指算法在执行过程中所需要的内存空间，算法的时间复杂度，是指执行算法所需要的计算工作量，两者之间并没有直接关系，答案为D。

8.下列叙述中正确的是（）。

A）对数据进行压缩存储会降低算法的空间复杂度

B）算法的优化主要通过程序的编制技巧来实现

C）算法的复杂度与问题的规模无关

D）数值型算法只需考虑计算结果的可靠性

答疑：

算法的空间复杂度指执行这个算法所需要的内存空间。

在许多实际问题中，为了减少算法所占的存储空间，通常采用压缩存储技术，以便尽量减少不必要的额外空间。

由于在编程时要受到计算机系统运行环境的限制，因此，程序的编制通常不可能优于算法的设计。

算法执行时所需要的计算机资源越多算法复杂度越高，因此算法的复杂度和问题规模成正比。

算法设计时要考虑算法的复杂度，问题规模越大越是如此。

故本题答案为A选顶。

9.下列叙述中错误的是（）。

A）对于各种特定的输入：

算法的时间复杂度是固定不变的

B）算法的时间复杂度与使用的计算机系统无关

C）算法的时间复杂度与使用的程序设计语言无关

D）算法的时间复杂度与实现算法过程中的具体细节无关

答疑：

算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。

为了能够比较客观地反映出一个算法的效率，在度量一个算法的工作量时，不仅应该与所使用的计算机、程序设计语言以及程序编制者无关，而且还应该与算法实现过程中的许多细节无关。

为此，可以用算法在执行过程中所需基本运算的执行次数来度量算法的工作量。

算法所执行的基本运算次数还与问题的规模有关；对应一个固定的规模，算法所执行的基本运算次数还可能与特定的输入有关。

故本题答案为A选顶。

10.下列算法中均以比较作为基本运算，则平均情况与最坏情况下的时间复杂度相同的是（）。

A）在顺序存储的线性表中查找最大项

B）在顺序存储的线性表中进行顺序查找

C）在顺序存储的有序表中进行对分查找

D）在链式存储的有序表中进行查找

答疑：

在顺序存储的线性表中查找最大顶时，最坏情况下要比较所有元素直到最后一个最大值，比较次数为n，顺序查找的平均情况时间复杂度为O（n）。

可见最坏情况与平均情况下的时间复杂度相同。

因此A选顶正确。

故本题答案为A选项。

11.下列叙述中正确的是（）。

A）算法的时间复杂度与算法程序中的语句条数成正比

B）算法的时间复杂度与计算机的运行速度有关

D）算法的时间复杂度与运行算法时特定的输入有关

D）算法的时间复杂度与算法程序编制者的水平有关

答疑：

算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量。

为了能够比较客观地反映出一个算法的效率，在度量一个算法的工作量时，不仅应该与所使用的计算机、程序设计语言以及程序编制者无关，而且还应该与算法实现过程中的许多细节无关。

为此，可以用算法在执行过程中所需基本运算的执行次数来度量算法的工作量。

算法所执行的基本运算次数还与问题的规模有关；对应一个固定的规模，算法所执行的基本运算次数还可能与特定的输入有关。

故本题答案为C选顶。

12.下列叙述中正确的是（）

A.算法的空间复杂度与所处理数据存储有关

B.算法的空间复杂度是指程序控制结构

C.算法的空间复杂度是指程序中令条数

D.压缩数据存储空间不会降低算法的复杂度

【解析】算法的空间复杂度是指执行这个所需要内存空间，包括3个部分：

输入数据所占的存储空间；程序本身所占的存储空间；算法执行过中所需要的额外空间。

为了降低算法的空间复杂度，主要应减少输入数据所占的存储空间以及额外空间，通常采用压缩技术。

A选项正确。

13.下列叙述中正确的是（）

A.数据的存储结构会影响算法的效率

B.算法设计只需考虑结果的可靠性

C.算法复杂度是指算法控制结构的复杂程度

D.算法复杂度是用算法中指令的条数来度量的

【解析】算法的基本特征包括可行性、确定性、有穷性、足够的初始信息，算法的设计必须考虑到算法的复杂度，B选项错误。

算法的复杂度是指该算法所需要的计算机资源的多少，即时间和空间的资源，分为时间复杂度和空间复杂度。

算法控制结构在具体实现中影响程序执行时间，与算法复杂度无关，C选项错误。

算法的时间复杂度是用算法所执行的基本运算次数来度量的，而不是算法中指令的条数，D选项错误。

数据的存储结构与算法的复杂度有关，会影响算法的效率。

A选项正确。

14.下列叙述中正确的是（）。

A）解决一个问题可以有不同的算法，且它们的时间复杂度可以是不同的

B）解决一个问题可以有不同的算法，但它们的时间复杂度必定是相同的

C）解决一个问题的算法是唯一的

D）算法的时间复杂度与计算机系统有关

【解析】解决一个问题可以有不同的算法，不同的算法的时间复杂度不尽相同。

算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算机工作量，而算法的计算机工作量是用算法所执行的基本运算次数来度量的。

算法所执行的基本运算次数和问题的规模有关，也可以说是待处理的数据状态。

故本题答案为A选项。

15.下列叙述中错误的是（）。

A）算法的时间复杂度与问题规模无关

B）算法的时间复杂度与计算机系统无关

C）算法的时间复杂度与空间复杂度没有必然的联系

D）算法的空间复杂度与算法运行输出结果的数据量无关

【解析】算法的时间复杂度是指执行算法所需要的计算机工作量，而算法的计算机工作量是用算法所执行的基本运算次数来度量的，算法所执行的基本运算次数和问题的规模有关。

算法的空间复杂度指执行这个算法所需要的内存空间。

为降低算法的空间复杂度，主要应减少输入数据所占的存储空间及额外空间，通常采用压缩存储技术。

由于在编程时要受到计算机系统运行环境的限制，因此，程序的编制通常不可能优于算法的设计。

算法执行时所需要的计算机资源越多算法复杂度越高，因此算法的复杂度和问题规模成正比。

算法设计时要考虑算法的复杂度，问题规模越大越是如此。

算法的时间复杂度与空间复杂度没有必然的联系。

算法的空间复杂度与算法运行输出结果的数据量无关。

故本题答案为A选项。

1.2数据结构的基本概念

1．概念

数据结构（datastructure）是一门研究非数值计算的程序设计问题中计算机的操作对象以及它们之间的关系和操作等的学科，它是指相互之间存在着一种或多种特定关系的数据元素的集合。

（相互有关联的数据元素的集合）。

数据处理的最小单位是数据项；由若干数据项组成数据元素；而数据是指能够被计算机识别、存储和加工处理的信息载体；数据结构是指数据之间的相互关系和数据运算。

Data_Structure=（D,S）

它包含：

●数据之间的逻辑关系；（逻辑结构）

●数据元素及其在计算机存储器内的表示；（物理结构）

●数据的运算。

1）数据的逻辑结构

是指反映数据元素之间的逻辑关系的数据结构。

数据的逻辑结构有两个要素：

●数据元素的集合，记作D

●数据之间的前后件关系，记作S

则数据结构B=（D，S）

2）数据的存储结构

数据的逻辑结构在计算机存储空间中的存放形式称为数据的存储结构，或数据的物理结构。

即数据存储时，不仅要存放数据元素的信息，而且要存储数据元素之间的前后件关系的信息。

一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构影响数据处理的效率。

通常的数据存储结构有顺序、链接、索引等存储结构。

顺序存储方式主要用于线性结构，指把逻辑上相邻的结点存储在物理位置上相邻的存储单元里，结点间的逻辑关系由存储单元的临界关系来体现。

链式存储方式不要求逻辑上相邻的结点在物理位置上也相邻，结点间的逻辑关系是由附加的指针字段表示的。

2．数据结构的图形表示

数据结构的图形表示有两个元素：

●中间标有元素值的方框表示数据元素，称为数据结点

●用有向线段表示数据元素之间的前后件关系，即有向线段从前件结点指向后件结点

注意：

在结构图中，没有前件的结点称为根结点，没有后件的结点称为终端结点，也称叶子结点。

3．线性结构与非线性结构

如果一个非空的数据结构满足如下条件，则该数据结构为线性结构：

●有且只有一个根结点

●每一个结点最多只有一个前件，也最多只有一个后件

线性结构又称线性表。

注意：

在线性结构表中插入或删除元素，该线性表仍然应满足线性结构。

（线性表、栈、队列、串）

如果一个数据结构不满足线性结构，则称为非线性结构。

（数组、广义表、树、图）

1.2节真题及模拟题

1.以下数据结构中，属于非线性数据结构的是（D）

A）栈

B）线性表

C）队列

D）二叉树

解析：

二叉树属于非线性结构。

栈是一种特殊的线性表，这种线性表只能在固定的一端进行插入和删除操作；队列可看做是插入在一端进行，删除在另一端进行的线性表。

2.数据结构中，与所使用的计算机无关的是数据的（C）

A）存储结构

B）物理结构

C）逻辑结构

D）线性结构

解析：

数据结构概念一般包括3个方面的内容，数据的逻辑结构、存储结构及数据上的运算集合。

数据的逻辑结构只抽象的反映数据元素之间的逻辑关系，而不管它在计算机中的存储表示形式。

故本题答案应该为选项C）。

3.数据结构主要研究的是数据的逻辑结构、数据的运算和（B）

A）数据的方法

B）数据的存储结构

C）数据的对象

D）数据的逻辑存储

解析：

数据结构是研究数据元素及其之间的相互关系和数据运算的一门学科，它包含3个方面的内容，即数据的逻辑结构、存储结构和数据的运算。

4.数据处理的最小单位是（C）。

A、数据

B、数据元素

C、数据项

D、数据结构

解析:

数据处理的最小单位是数据项；由若干数据项组成数据元素；而数据是指能够被计算机识别、存储和加工处理的信息载体；数据结构是指数据之间的相互关系和数据运算。

本题答案为C。

5.下列叙述中正确的是（D）

A）一个逻辑数据结构只能有一种存储结构

B）数据的逻辑结构属于线性结构，存储结构属于非线性结构

C）一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构不影响数据处理的效率

D）一个逻辑数据结构可以有多种存储结构，且各种存储结构影响数据处理的效率

【答案】D

【解析】一般来说，一种数据的逻辑结构根据需要可以表示成多种存储结构，常用的存储结构有顺序、链接、索引等存储结构。

而采用不同的存储结构，其数据处理的效率是不同的。

由此可见，选项D的说法正确。

6.下列叙述中正确的是（D）

A）数据的逻辑结构与存储结构必定是一一对应的

B）由于计算机存储空间是向量式的存储结构，因此，数据的存储结构一定是线性结构

C）程序设计语言中的数组一般是顺序存储结构，因此，利用数组只能处理线性结构

D）以上三种说法都不对

【答案】D

【解析】本题考查数据结构的基本知识。

数据之间的相互关系称为逻辑结构。

通常分为四类基本逻辑结构，即集合、线性结构、树型结构、图状结构或网状结构。

存储结构是逻辑结构在存储器中的映象，它包含数据元素的映象和关系的映象。

存储结构在计算机中有两种，即顺序存储结构和链式存储结构。

顺序存储结构是把数据元素存储在一块连续地址空间的内存中；链式存储结构是使用指针把相互直接关联的节点链接起来。

因此，这两种存储结构都是线性的。

可见，逻辑结构和存储结构不是一一对应的。

因此，选项A和选项B的说法都是错误的。

无论数据的逻辑结构是线性的还是非线性的，只能选择顺序存储结构或链式存储结构来实现存储。

程序设计语言中，数组是内存中一段连续的地址空间，可看作是顺序存储结构。

可以用数组来实现树型逻辑结构的存储，比如二叉树。

因此，选项C的说法是错误的

7.下列叙述中正确的是（A）

A）顺序存储结构的存储一定是连续的，链式存储结构的存储空间不一定是连续的

B）顺序存储结构只针对线性结构，链式存储结构只针对非线性结构

C）顺序存储结构能存储有序表，链式存储结构不能存储有序表

D）链式存储结构比顺序存储结构节省存储空间

解析：

顺序存储方式主要用于线性的数据结构，逻辑上相邻的数据元素存储在物理上相邻的存储单元里，结点之间的关系由存储单元的邻接关系来体现。

而链式存储结构的存储空间不一定是连续的。

8.下列数据结构中，属于非线性结构的是（C）

A）循环队列

B）带链队列

C）二叉树

D）带链栈

解析：

根据数据结构中各数据元素之间的前后件关系的复杂程度，一般将数据结构分为两大类：

线性结构和非线性结构。

循环队列、带链队列和带链栈都是线性结构，而二叉树是非线性结构。

9.下列叙述中正确的是（A）

A）程序执行的效率与数据的存储结构密切相关

B）程序执行的效率只取决于程序的控制结构

C）程序执行的效率只取决于所处理的数据量

D）以上三种说法都不对

解析：

影响程序执行效率的因素有很多，如数据的存储结构、程序处理的数据量、程序的算法等。

顺序存储结构和链式存储结构在数据插入和删除操作上的效率就存在差别。

其中，链式存储结构的效率要高一些。

10.设数据结构B=（D,R），其中

D={a,b,c,d,e,f}

R={（a,b）,（b,c）,（c,d）,（d,e）,（e,f）,（f,a）}

该数据结构为（A）。

A）非线性结构

B）循环队列

C）循环链表

D）线性结构

答疑：

数据的逻辑结构有两个要素：

一是数据元素的集合，通常记为D；二是D上的关系，它反映了D中各数据元素之间的前后件关系，通常记为R。

即一个数据结构可以表示成B=（D,R）。

其中B表示数据结构。

为了反映D中各数据元素之间的前后件关系，一般用二元组来表示。

例如，假设a与b是D中的两个数据，则二元组（a,b）表示a是b的前件，b是动后件。

如果一个非空的数据结构满足下列两个条件：

①有且只有一个根结点；②每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。

则称该数据结构为线性结构。

如果一个数据结构不是线性结构，则称之为非线性结构。

本题数据结构中没有根结点，因此它是非线性结构。

故本题答案为A选顶。

11.数据的存储结构是指（B）

A）数据所占的存储空间量

B）数据的逻辑结构在计算机中的表示

C）数据在计算机中的顺序存储方式

D）存储在外存中的数据

12.设数据集合为D={1,2,3,4,5}。

下列数据结构B=（D,R）中为非线性结构的是（B）

A.R={（1,2）,（2,3）,（3,4）,（4,5）}

B.R={（1,2）,（2,3）,（4,3）,（3,5）}

C.R={（5,4）,（4,3）,（3,2）,（2,1）}

D.R={（2,5）,（5,4）,（3,2）,（4,3）}

【解析】一个非空的数据结构如果满足以下两个条件：

有且只有一个根结点；每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件，称为线性结构。

不同时满足以上两个条件的数据结构就称为非线性结构。

B选项