三角函数的图象与性质教案.docx
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三角函数的图象与性质教案
1.3三角函数的图象和性质
1.3.1三角函数的周期性
[教学目标]
一、知识与技能
了解周期函数的概念,会判断一些简单的、常见的函数的周期性,并会求一些简单三角函数的周期。
二、过程与方法
从自然界中的周期现象出发,提供丰富的实际背景,通过对实际背景(现实原型)的分析、概括与抽象、建立周期函数的概念,再运用数学方法研究三角函数的性质,最后运用三角函数的性质去解决问题。
三、情感、态度与价值观
培养数学来源与生活的思维方式,体会从感性到理性的思维过程,理解未知转化为已知的数学方法。
[教学重点]
周期函数的定义和正弦、余弦、正切函数的周期性。
[教学难点]
周期函数的概念
[设计思路]
创设情境,从自然界中的周期现象出发,通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念。
在研究P点的圆周运动时,给出了y=f(t)的图象;并在研究了三角函数的周期后,给出了y=sinx的图象,让学生从图象上对函数的周期加深理解,让学生体会数形结合的思想。
在讲解例2时,充分利用解方程的思想,让学生更易理解。
[教学过程]
一、创设情境
每年都有春、夏、秋、冬,每星期都是从星期一到星期日,地球每天都绕着太阳自转,公共汽车沿着固定线路一趟又一趟地往返……,这一些都给我们循环、重复的感觉,可以用“周而复始”来描述,这就叫周期现象。
二、学生活动
(P点的圆周运动)如图,点P自点A起,绕圆周按逆时针方向进行匀速运动。
点P的运动轨迹是:
A-B-C-D-A-B-C-D-A-B-C-D-A-B……
显然点P的运动是周期运动。
设圆的半径为2,每4分钟运动一周。
设P到A的距离为y,运动时间为t,则y是t的函数,记为y=f(t).
则f(0)=f(4)=f(8)=f(12)=……=0,(位置在A点)
f
(2)=f(6)=f(10)=f(14)=……=4,(位置在C点)
一般地,点P运行t分钟到达的位置与运行(t+4)分钟到达的位置相同,由此能得到这样的数学表达式:
f(t+4)=f(t)
想一想:
f(t+8)、f(t+12)与f(t)有什么关系?
说明它们的实际意义。
[f(t+8)=f(t)、f(t+12)=f(t),运行时间不等,但最终位置相同]
可以用描点法画出这个函数的图象(如图)
它的特征是:
在区间(0,4)(4,8)(8,12)…内重复。
我们将上面的函数y=f(t)称为周期函数。
三、建构数学
一般地,对于函数f(x),对定义域内的每一个x的值,每增加或减少一个不为零的定值T,函数值就重复出现,这个函数就叫做周期函数,即f(x+T)=f(x)。
(一)、周期函数及周期的定义
周期函数定义如下:
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
前面函数y=f(t)的周期可以认为是4、8、12、……
(二)、最小正周期的概念.
对于一个函数f(x),如果它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数叫f(x)的最小正周期.
注意
今后不加特殊说明,涉及的周期都是最小正周期.显然上面的函数y=f(t)的周期T=4.
(三)、三角函数的周期
思考:
正弦函数y=sinx是周期函数吗?
即能否找到非零常数T,使sin(T+x)=sinx成立?
[sin(2π+x)=sinx,sin(4π+x)=sinx,根据周期函数定义判断它是周期函数,又根据周期的规定,它的周期T=2π(最小正值)]
用几何画板展示周期函数y=sinx的图象,使学生感知其特征。
讨论:
余弦函数y=cosx和正切函数y=tanx也是周期函数,并找出它们的周期。
[周期分别是2π、π]
四、数学运用
例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示。
(1)求该函数的周期;
(2)求t=10s时钟摆的高度。
分析:
周期可由两顶点间距离确定,此函数周期T=1.5;
根据函数的周期性,f(10)=f(10-1.5)=f(10-2·1.5)=……=f(10-1.5k)(其中k为整数),直到10-1.5k=1或2.5为止,即f(10)=f
(1)=20.
解:
(略)
例2求函数f(x)=cos3x的周期。
解:
设周期为T.f(x)=cos3x=cos(3x+2π),f(x+T)=cos3(x+T)
由f(x)=f(x+T)得,3x+2π=3(x+T),解得T=2π/3.
∴函数f(x)=cos3x的周期2π/3.
注意:
①运用了换元方法,u=3x;②f(u)=cosu的(最小正)周期是2π;即cosu=cos(u+2π);③由于cos(3x+2π)=cos3(x+T)对任一x的值都成立,所以3x+2π=3(x+T);④f(x)=cos3x的周期与f(u)=cosu的周期是两个不同的概念。
例3.求下列函数的最小正周期T.
(1)
(2)
(3)
解:
(1)
(2)
∴函数的最小正周期为π.
(3)
∴函数的最小正周期为4π.
总结一般规律:
的最小正周期是
.
令
,由
的周期是
,
则
因而自变量
只要并且至少要增加到
,即
。
例4.求证:
(1)
的周期为π;
(2)
证明:
(1)
(2)
∴
总结:
(1)一般函数周期的定义
(2)
周期求法
尝试练习
(1)求g(x)=2sin(
)的周期。
(2)证明函数
(其中
为常数,且
)的周期
.
结论:
一般的,周期函数y=Asin(ωx+
)及y=Acos(ωx+
)(其中A,ω,
为常数,且A≠0,ω>0)的周期T=
.
学生练习:
课本P27页练习1、2、3、4
五、回顾反思
通过这节课的学习,你有哪些收获?
1.周期函数、周期概念。
一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T,使得定义域内的每一个x值,都满足f(x+T)=f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。
2.函数y=sinx和函数y=cosx是周期函数,且周期均为2π.
3.函数y=tanx是周期函数,且周期均为π.
4.周期函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期的求法。
六、课外作业:
1、举例说明周期现象。
.
2.、课本P45页习题1.3第1题
3、设m、p、q为自然数,m除以5所得的商是p且余数是q(q<5).显然q是m的函数,记q=f(m).
(1)写出这函数的值域;
(2)这函数是周期函数吗?
若是,则写出周期;若不是,则说明理由。
七、设计说明:
1、由可感受、能理解的实例出发,感性的认识周期函数的概念。
比如创设情境,从自然界中的周期现象出发,建立P点的圆周运动这一模型。
本节课的难点在于周期函数概念的理解,因此在讲解概念之前,通过现实情境帮助理解周期运动,在此基础上理解周期函数的概念就不太困难了。
2、通过对P点的圆周运动这一模型的分析,引入周期函数的概念,体现了数学由具体到抽象、由特殊到一般的过程。
3、新课程的一个重要理念就是“用教材教,而不是教教材”。
在处理例2的过程中,由于课本的解法学生不太易理解,所以,我利用解方程的思想,根据周期函数的概念列出方程,解出周期T,从而降低了难度。
4、在教学过程中,我设计一些思考与练习,变由老师讲解为学生思考、探究,发展了学生的思维能力。
1.3.2三角函数的图象和性质
(一)
课型:
新授课
课时计划:
本课题共安排一课时
教学目标:
1、能借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象
2、掌握五点法作正、余弦函数图象的方法,并会用此方法画出
上的正弦曲线、余弦曲线
教学重点:
正、余弦函数的图象的画法
教学难点:
借助正弦线画出正弦函数的图象,并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象
教学过程:
一、创设情境,引入新课
为了更加直观地研究三角函数的性质,可以先作出它们的图象,那么该怎样作出正、余弦函数的图象?
二、新课讲解
1、正弦函数图象的画法
先画正弦函数的图象。
由于
是以
为周期的周期函数,故只要画出在
上的图象,然后有周期性就可以得到整个图象。
(1)几何法:
利用单位圆中的正弦线来作出正弦函数图象
(注:
如何作出函数
图象上的一个点,如点
?
不妨设
,如图所示,在单位圆中设弧
的长为
,则
。
所以点
是以弧
的长为横坐标,正弦线
的数量为纵坐标的点。
)
作法步骤:
将单位圆十二等份,相应地把
轴上从0到
这一段分成12等份。
把角
的正弦线向右平移使它的起点与
轴上表示
的点重合,再用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来,就得到正弦函数
在
区间上的图象。
最后只要将函数
,
的图象向左、右平移(每次
个单位),就可以得到正弦函数的图象叫做正弦曲线。
(2)五点法:
在函数
的图象上,有5个关键点:
,注意正弦曲线的走向,将这五点用光滑的曲线连接起来,可得函数的简图。
2、余弦函数图象的画法
(1)几何画法:
利用余弦线来作出余弦函数的图象
(2)由正弦函数的图象依据诱导公式变换可得到
由
可知将
的图象向左平移
个单位几得到
的图象。
(3)五点法:
在函数
,
的图象上,五个关键点为
,利用此五点作出
的简图。
三、例题剖析:
例1、用五点法画出下列函数的简图:
(1)
,
(2)
,
解:
(1)先用“五点法”画一个周期的图象,列表:
0
1
0
-1
0
1
2
0
-2
0
2
描点画图,然后由周期性得整个图象;
(图略)
(2)列表:
0
0
0
1
0
-1
0
描点画图,然后由周期性得整个图象
(图略)
四、练习
1、画出下列函数的简图,并说明这些函数的图象与正弦曲线的区别和联系:
(1)
(2)
2、画出下列函数的简图,并说明这些函数的图象与余弦曲线的区别和联系:
(1)
(2)
五、课堂小结:
1、正弦函数的几何画法;
2、五点法作图
六、作业:
课本P462
1.3.2三角函数的图象与性质
(二)
课型:
新授课
课时计划:
本课题共安排一课时
教学目标:
1、掌握正、余弦函数的定义域和值域;
2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念,会求它们的周期,会判断它们的奇偶性;
3、能正确求出正、余弦函数的单调区间
教学重点:
正、余弦函数的性质
教学难点:
正、余弦函数的单调性
教学过程:
一、创设情境,引入新课
我们已经知道正、余弦函数都是周期函数,那它们除此之外还有哪些性质呢?
二、新课讲解
㈠知识要点:
1、定义域:
函数
及
的定义域都是
,即实数集
2、值域:
函数
,
及
,
的值域都是
理解:
(1)在单位圆中,正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的,所以
,
,即
,
。
(2)函数
在
时,
取最大值1,当
,
时,
取最小值-1;函数
在
,
时,
取最大值1,当
,
时,
取最小值-1。
3、周期性
正弦函数
,
和余弦函数
,
是周期函数,
都是它们的周期,最小正周期是
。
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- 三角函数 图象 性质 教案
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