最新九年级数学上册北师大版第一章特殊平行四边形学案.docx
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最新九年级数学上册北师大版第一章特殊平行四边形学案
第一章 特殊平行四边形
1.1 菱形的性质与判定
第1课时 菱形的性质
知识点梳理:
1.有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形.
2.菱形是__轴__对称图形,菱形的四边__相等__,菱形的对角线__互相垂直__.
知识点解析:
知识点一:
菱形的定义
1.已知四边形ABCD的对角线互相平分,要使它成为菱形,还需要添加一个条件,这个条件是( B )
A.AB=CD B.AB=BC
C.AD=BCD.AC=BD
2.如图,在▱ABCD中,∵∠1=∠2,∴BC=DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__.(请在横线上填上理由)
知识点二:
菱形的性质
3.若菱形两条对角线的长分别为6和8,则这个菱形的周长为( A )
A.20 B.16 C.12 D.10
4.(易错题)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,下列说法错误的是( B )
A.AB∥DCB.AC=BD
C.AC⊥BDD.OA=OC
第4题图)
第5题图)
5.如图,在菱形ABCD中,不一定成立的是( C )
A.四边形ABCD是平行四边形
B.AC⊥BD
C.△ABC是等边三角形
D.∠CAB=∠CAD
6.在菱形ABCD中,已知∠A=60°,AB=5,则△ABD的周长是( C )
A.10B.12C.15D.20
7.菱形的一个内角为120°,边长为8,那么它较短的对角线长是( C )
A.3B.4C.8D.8
8.如图,菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点H为AD边中点,菱形ABCD的周长为28,则OH的长等于( A )
A.3.5B.4
C.7D.14
9.(2014·烟台)如图,在菱形ABCD中,点M,N分别在AB,CD上,且AM=CN,MN与AC交于点O,连接OB.若∠DAC=28°,则∠OBC的度数为( C )
A.28°B.52°C.62°D.72°
10.如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AO=4,求BD的长.
解:
∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD且BO=DO.在Rt△AOB中,∵AB=5,AO=4,由勾股定理,得BO=3,∴BD=6
巩固练习:
11.(2014·上海)如图,已知AC,BD是菱形ABCD的对角线,那么下列结论一定正确的是( B )
A.△ABD与△ABC的周长相等
B.△ABD与△ABC的面积相等
C.菱形的周长等于两条对角线之和的两倍
D.菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
第11题图)
第12题图)
12.如图,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC=__5__.
13.如图是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架.若墙上钉子间的距离AB=BC=15cm,则∠1=__120__°.
第13题图)
第14题图)
14.(2014·白银)如图,四边形ABCD是菱形,点O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为6和8时,则阴影部分的面积为__12__.
15.(2014·宜宾)菱形的周长为20cm,两个相邻的内角的度数之比为1∶2,则较长的对角线长度是__5
__cm.
16.如图,已知四边形ABCD是菱形,点E,F分别是边CD,AD的中点.求证:
AE=CF.
解:
证明:
∵四边形ABCD是菱形,∴AD=CD.∵点E,F分别是CD,AD的中点,∴DE=
CD,DF=
AD,∴DE=DF.又∵∠ADE=∠CDF,∴△AED≌△CFD(SAS),∴AE=CF
17.如图,在菱形ABCD中,AC为对角线,点E,F分别是边BC,AD的中点.
(1)求证:
△ABE≌△CDF;
(2)若∠B=60°,AB=4,求线段AE的长.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=AD=CD,∠B=∠D,∵点E,F分别是边BC,AD的中点,∴BE=DF,∴△ABE≌△CDF(SAS)
(2)易得△ABC是等边三角形,点E为BC的中点,从而AE⊥BC,AE=2
18.如图,在菱形ABCD中,点F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.
(1)求证:
AE=EC;
(2)当∠ABC=60°,∠CEF=60°时,点F在线段BC上的什么位置?
说明理由.
解:
(1)证明:
连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC.∴AE=EC
(2)点F是线段BC的中点.理由:
∵ABCD是菱形,∴AB=CB.又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.∴∠BAC=60°.∵AE=EC,∴∠EAC=∠ACE.∵∠CEF=60°,∴∠EAC=30°.∴AF是△ABC的角平分线.又∵△ABC是等边三角形,∴BF=CF.∴点F是线段BC的中点
第2课时 菱形的判定
知识点梳理:
对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形;__四边相等__的四边形是菱形.
知识点解析:
知识点:
菱形的判定
1.小明和小亮在做一道习题,若四边形ABCD是平行四边形,请补充条件,使得四边形ABCD是菱形.小明补充的条件是AB=BC;小亮补充的条件是AC=BD,你认为下列说法正确的是( B )
A.小明、小亮都正确 B.小明正确,小亮错误
C.小明错误,小亮正确D.小明、小亮都错误
2.下列命题中正确的是( D )
A.对角线相等的四边形是菱形
B.对角线互相垂直的四边形是菱形
C.对角线相等的平行四边形是菱形
D.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3.如图,下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是( D )
①AC⊥BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④BD平分∠ABC.
A.①③ B.②③ C.③④ D.①③④
第3题图)
第4题图)
4.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠A<90°,BC,CA,AB的中点分别为点D,F,E,则四边形AFDE是( A )
A.菱形B.长方形C.正方形D.以上都不对
5.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形,作图痕迹如图所示,能得到四边形ABCD是菱形的依据是( B )
A.一组邻边相等的四边形是菱形
B.四边相等的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形
第5题图)
第6题图)
6.(易错题)如图,下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有( C )
①AB=BC=CD=DA;②AC,BD互相垂直平分;③平行四边形ABCD,且AC⊥BD;④平行四边形ABCD,且AC=BD.
A.1个B.2个C.3个D.4个
7.(2014·淄博)已知▱ABCD,对角线AC,BD相交于点O,请你添加一个适当的条件,使▱ABCD成为一个菱形,你添加的条件是__AD=DC(答案不唯一)__.
8.如图,ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,请你添加一个适当的条件__OA=OC或AD=BC或AD∥BC或AB=BC__,使四边形ABCD成为菱形.(只需添加一个即可)
9.(2014·舟山)已知:
如图,在▱ABCD中,点O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF.
(1)求证:
△DOE≌△BOF;
(2)当∠DOE等于多少度时,四边形BFDE为菱形?
请说明理由.
解:
(1)证明:
∵▱ABCD中,点O为对角线BD的中点,∴BO=DO,∠EDB=∠FBO,在△EOD和△FOB中
∴△DOE≌△BOF(ASA)
(2)当∠DOE=90°时,四边形BFDE为菱形,理由:
∵△DOE≌△BOF,∴BF=DE,又∵BF∥DE,∴四边形EBFD是平行四边形,∵BO=DO,∠EOD=90°,∴EB=DE,∴四边形BFDE为菱形
巩固练习:
10.(2014·徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形,则该四边形一定是( C )
A.长方形 B.对角线相等的梯形
C.对角线相等的四边形
D.对角线互相垂直的四边形
11.如图,在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形.甲、乙两人的作法如下:
甲:
连接AC,作AC的垂直平分线MN分别交AD,AC,BC于点M,O,N,连接AN,CM,则四边形ANCM是菱形.
乙:
分别作∠A,∠B的平分线AE,BF,分别交BC,AD于点E,F,连接EF,则四边形ABEF是菱形.
根据两人的作法可判断( C )
A.甲正确,乙错误 B.乙正确,甲错误
C.甲、乙均正确D.甲、乙均错误
12.(2014·十堰)如图,在△ABC中,点D是BC的中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE=DF.给出下列条件:
①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB=AC.
从中选择一个条件使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是__③__.(只填写序号)
13.(2014·新疆)如图,已知△ABC,按如下步骤作图:
①分别以点A,C为圆心,大于
AC的长为半径画弧,两弧交点P,Q两点;
②作直线PQ,分别交AB,AC于点E,D,连接CE;
③过点C作CF∥AB交PQ于点F,连接AF.
(1)求证:
△AED≌△CFD;
(2)求证:
四边形AECF是菱形.
解:
(1)由作图知:
PQ为线段AC的垂直平分线,∴AE=CE,AD=CD,∵CF∥AB,∴∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,在△AED与△CFD中,
∴△AED≌△CFD
(2)∵△AED≌△CFD,∴AE=CF,∵EF为线段AC的垂直平分线,∴EC=EA,FC=FA,∴EC=EA=FC=FA,∴四边形AECF为菱形
14.(2014·南京)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,过点E作EF∥AB交BC于点F.
(1)求证:
四边形DBFE是平行四边形;
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形DBFE是菱形?
为什么?
解:
(1)证明:
∵点D,E分别是AB,AC的中点,∴DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,又∵EF∥AB,∴四边形DBFE是平行四边形
(2)当AB=BC时,四边形是菱形.理由如下:
∵点D是AB的中点,∴BD=
AB,∵DE是△ABC的中位线,∴DE=
BC,∵AB=BC,∴BD=DE,又∵四边形DBFE是平行四边形,∴四边形DBFE是菱形
1.2 矩形的性质与判定
第1课时 矩形的性质
知识点梳理:
1.有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形.
2.矩形的四个角都是__直角__;矩形的对角线__相等__.
3.直角三角形斜边上的中线__等于斜边的一半__.
知识点解析:
知识点一:
矩形的性质
1.下列性质中,矩形具有但平行四边形不一定具有的是( C )
A.对边相等 B.对角相等
C.对角线相等D.对边平行
2.矩形具有而菱形不具有的性质是( B )
A.两组对边分别平行B.对角线相等
C.对角线互相平分D.两组对角分别相等
3.(2014·黄石)如图,一个矩形纸片,剪去一部分后得到一个三角形,则图中∠1+∠2的度数是( C )
A.30° B.60° C.90° D.120°
第3题图)
第4题图)
4.(2014·宜宾)如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,且∠DOC=120°,DC=
,则图中长度为1的线段共有( D )
A.3条B.4条C.5条D.6条
5.(2014·黔东南)如图,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,将矩形ABCD沿EF折叠,使点C与点A重合,则折痕EF的长为( D )
A.6B.12C.2
D.4
第5题图)
第6题图)
6.如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC=6,点E是斜边AB上任意一点,作EF⊥AC于点F,EG⊥BC于点G,则矩形CFEG的周长是__12__.
7.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.求证:
四边形DOCE是菱形.
解:
证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴DB=AC,DO=OB,AO=OC,∴DO=OC,∵EC∥BD,DE∥AC,∴四边形DOCE是平行四边形,∴▱DOCE是菱形
知识点二:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8.(易错题)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,若EF=4cm,则CD=__4__cm.
9.如图,“人字形屋梁”中,AB=AC,点E,F,D分别是AB,AC,BC的中点,若AB=6m,∠B=30°,则支撑人字形屋梁的木料DE,AD,DF共有__9__米.
10.直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm,则它的面积是__30_cm2__.
11.如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,点M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为__20__.
巩固练习:
12.如图,已知矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD于点E,若∠DAE∶∠BAE=3∶1,则∠EAC的度数是( C )
A.18° B.36° C.45° D.72°
第12题图)
第13题图)
13.(2014·青岛)如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C′上.若AB=6,BC=9,则BF的长为( A )
A.4B.3
C.4.5D.5
14.(2014·凉山)顺次连接矩形各边中点所形成的四边形是__菱形__.
15.如图所示,在△ABC中,BD,CE是高,点G,F分别是BC,DE的中点,则下列结论中:
①GE=GD;②GF⊥DE;③GF平分∠DGE;④∠DGE=60°.其中正确的是__①②③__.(填写序号)
16.(2014·湘潭)如图,将矩形ABCD沿BD对折,点A落在点E处,BE与CD相交于点F,若AD=3,BD=6.
(1)求证:
△EDF≌△CBF;
(2)求∠EBC的度数.
解:
(1)证明:
由折叠的性质可得,DE=BC,∠E=∠C=90°,在△DEF和△BCF中
∴△DEF≌△BCF(AAS)
(2)在Rt△ABD中,∵AD=3,BD=6,∴∠ABD=30°,由折叠的性质可得;∠DBE=∠ABD=30°,∴∠EBC=90°-30°-30°=30°
17.如图所示,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为点E,∠1=∠2,OB=6cm.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求△DOC的周长.
解:
(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=∠AEB=90°,又∵AE=AE,∠1=∠2,∴△AEO≌△AEB.∴AB=AO.又∵OA=OB,∴△AOB为等边三角形,∴∠AOB=60°,∴∠BOC=120°
(2)由矩形的性质可得△OCD≌△OAB,∴OC=OA=OB=6cm.∴△DOC的周长为18cm
18.(2014·邵阳)准备一张矩形纸片,按如图操作:
将△ABE沿BE翻折,使点A落在对角线BD上的M点,将△CDF沿DF翻折,使点C落在对角线BD上的N点.
(1)求证:
四边形BFDE是平行四边形;
(2)若四边形BFDE是菱形,AB=2,求菱形BFDE的面积.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=∠C=90°,AB=CD,AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∴∠EBD=∠FDB,∴EB∥DF,∵ED∥BF,∴四边形BFDE为平行四边形
(2)∵四边形BFDE为菱形,∴BE=ED,∠EBD=∠FBD=∠ABE,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠ABC=90°,∴∠ABE=30°,∵∠A=90°,AB=2,∴AE=
,BF=BE=2AE=
,∴菱形BFDE的面积为:
×2=
第2课时 矩形的判定
知识点梳理:
对角线__相等__的平行四边形是矩形;有__三__个角是直角的四边形是矩形.
知识点解析:
知识点一:
对角线相等的平行四边形是矩形
1.四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,下列各条件中,能判断四边形ABCD是矩形的是( B )
A.AO=CO,BO=DO
B.AO=BO=CO=DO
C.AC=BD,AO=CO
D.AO=CO,BO=DO,AC⊥BD
2.下列关于矩形的说法中正确的是( D )
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
3.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,OA=2,若要使▱ABCD为矩形,则OB的长应该为( C )
A.4 B.3 C.2 D.1
第3题图)
第4题图)
4.如图,要使平行四边形ABCD是矩形,则应添加的条件是__∠ABC=90°或AC=BD(不唯一)__.(添加一个条件即可)
5.(易错题)如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.当∠ACB为__60__度时,四边形ABFE为矩形.
6.(原创题)已知,如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且△OAB是等边三角形,若▱ABCD的面积是16
,求对角线AC的长.
解:
∵△OAB是等边三角形,∴OA=OB,∠OAB=60°,又∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∴AC=BD,∴▱ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,∵∠OAB=60°,∴∠ACB=30°,∴AC=2AB,BC=
AB,∴AB·
AB=16
,∴AB=4,∴AC=8
知识点二:
有三个角是直角的四边形是矩形
7.在数学活动课上,同学们判断一个四边形门框是否为矩形.下面是某学习小组4位同学拟定的方案,其中正确的是( C )
A.测量对角线是否互相平分
B.测量两组对边是否分别相等
C.测量其中三个角是否都为直角
D.测量对角线是否相等
8.如图,直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6,则图中四边形的周长为__12__.
9.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P为BC上一点,PE⊥MC于点E,PF⊥MB于点F,当AB,BC满足条件__BC=2AB__时,四边形PEMF为矩形.
巩固练习:
10.已知▱ABCD的对角线交于点O,分别添加下列条件:
①∠ABC=90°;②AC⊥BD;③AC=BD;④OA=OD.使▱ABCD是矩形的条件的序号是__①③④__.
11.如图,点E,F分别△ABC的边BC,CA的中点,延长EF到点D,使得DF=EF,连接DA,DC,AE.
(1)求证:
四边形ABED是平行四边形;
(2)若AB=AC,求证:
四边形AECD是矩形.
解:
(1)证明:
∵AF=CF,DF=EF,∴四边形AECD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=CE,又∵BE=CE,∴AD=BE,∴四边形ABED是平行四边形
(2)∵AB=AC,BE=CE,∴AE⊥BC,∴∠AEC=90°,∴▱AECD是矩形
12.如图,四边形ABCD的对角线AC,BD交于点O,BE⊥AC于点E,DF⊥AC于点F,点O既是AC的中点,又是EF的中点.
(1)求证:
△BOE≌△DOF;
(2)若OA=
BD,则四边形ABCD是什么特殊四边形?
请说明理由.
解:
(1)证明:
∵BE⊥AC,DF⊥AC,∴∠BEO=∠DFO=90°,∵点O是EF的中点,∴OE=OF,又∵∠DOF=∠BOE,∴△BOE≌△DOF(ASA)
(2)四边形ABCD是矩形.理由如下:
∵△BOE≌△DOF,∴OB=OD,又∵OA=OC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵OA=
BD,OA=
AC,∴BD=AC,∴▱ABCD是矩形
13.如图,AB=AC,AD=AE,DE=BC且∠BAD=∠CAE,求证:
四边形BCDE是矩形.
解:
证明:
∵AC=AB,AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠CAD=∠BAD-∠CAB=∠CAE-∠CAB=∠BAE.∴△ADC≌△AEB.∴DC=BE,∠ABE=∠ACD.又∵DE=BC,∴四边形BCDE为平行四边形.∵AB=AC,∴∠ABC=ACB,∴∠ABC+∠ABE=∠ACB+∠ACD,即∠EBC=∠DCB=90°.∴四边形BCED为矩形
14.(教材例4变式题)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.连接AE,AF.
(1)求证:
OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
并说明理由.
解:
(1)证明:
∵CF平分∠ACD,且MN∥BD,∴∠ACF=∠FCD=∠CFO.∴OF=OC.同理可证:
OC=OE.∴OE=OF
(2)由
(1)知:
OF=OC,OC=OE,∴∠OCF=∠OFC,∠OCE=∠OEC.∴∠OCF+∠OCE=∠OFC+∠OEC.而∠OCF+∠OCE+∠OFC+∠OEC=180°,∴∠ECF=∠OCF+∠OCE=90°,∴EF=
=
=13.∴OC=
EF=
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形..理由如下:
由
(1)知OE=OF,当点O移动到AC中点时有OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形,∵∠ECF=90°,∴平行四边形AECF是矩形
第3课时 矩形的性质与判定的综合运用
知识点梳理:
1.矩形的性质:
(1)矩形具有__平行四边形__的一切性质;
(2)矩形的四个角都是__直角__;(3)矩形的对角线__相等__.
2.矩形的判定:
(1)有一个角是__直角__的平行四边形是矩形;
(2)有三个角是__直角__的__四边形__是矩形;(3)对角线__相等__的__平行四边形__是矩形.
知识点解析:
知识点:
矩形的性质与判定的综合运用
1.如图,四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形,点B在EF边上,若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1,S2,则S1,S2的大小关系是( B )
A.S1>S2 B.S1=S2
C.S1 第1题图) 第2题图) 2.如图,在△ABC中,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,AH⊥BC于点H,连接EH,若DF=10cm,则EH等于( B ) A.8cm B.10cm C.16cm D.24cm 3.如图,矩形OBCD的顶点C的坐标为(1,3),则对角线BD的长等于( D ) A. B.2 C.2 D. 4.在四边形ABCD中,AC和BD的交点为点O,下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是( C ) A.AB=CD,AD=BC,AC=BD B.AO=CO,BO=DO,∠A=90° C.∠A=∠C,∠B+∠C=180°,∠AOB=∠BOC D.AB∥CD,AB=CD,∠A=90° 5.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,若∠CAE=15°,则∠BOE=__75__度. 第5题图) 第6题图) 6.如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点A,B分别在y轴,x轴的正半轴上,点C在第一象限,如果∠OAB=30
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