九年级数学上册22二次函数教案新版新人教版.docx
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九年级数学上册22二次函数教案新版新人教版
第二十二章 二次函数
1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.
2.会用描点法画抛物线,通过图象理解二次函数的性质.
3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题.
4.会用待定系数法求二次函数的解析式.
5.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
6.掌握二次函数模型的建立,并能运用二次函数的知识解决实际问题.
1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.
2.通过二次函数的图象探究二次函数的性质,使学生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.
3.运用二次函数的知识解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高学生分析问题、解决问题的能力,培养学生应用数学的意识.
4.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等思想方法,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.
3.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,获得运用数学解决实际问题的经验,感受数学模型、数学思想在实际问题中的应用价值.
二次函数是初中阶段所学的有关函数知识的重点内容之一,学生在学习了正比例函数、一次函数之后,又学习了二次函数,这是对函数及其应用知识学习的深化和提高,也是学习其他初等函数的基础.二次函数是描述现实世界变量之间的关系的重要数学模型,二次函数的图象也是人们最为熟悉的曲线之一,如喷泉水流、抛掷的铅球划过的轨迹等,同时,二次函数的相关性质也是解决有关问题的理论基础,它常与一元二次方程、三角形等知识综合在一起,它综合了初中所学的函数知识,它在中学数学中起着承上启下的作用.二次函数作为重要的数学模型,在解决有关实际问题中发挥着重要作用,通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题的能力.
本章从实际问题情境入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对二次函数的图象和性质的理解和掌握,二次函数的图象和性质是从函数y=ax2出发逐步深入探究的,在探究过程中体现了从特殊到一般、类比、数形结合思想,其中类比思想多处体现,如类比一次函数研究二次函数,而数形结合思想贯穿探究二次函数的图象和性质的始终.对于某些实际问题,力图加强二次函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.
【重点】
1.通过对实际问题情境的分析,确定二次函数的解析式.
2.会用描点法画二次函数图象,并从图象中了解二次函数的性质.
3.会根据公式确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴,并能解决简单的实际问题.
4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
5.能运用二次函数知识解决实际问题.
【难点】
1.能够正确运用二次函数的图象及性质解决实际问题.
2.理解二次函数与一元二次方程的关系.
1.注意对实际问题情境的创设,帮助学生形成模型思想.在教学中要创设丰富的实际问题的情境,使学生理解二次函数的意义,并能够用二次函数的知识解决实际问题.
2.鼓励学生采用多种方法了解二次函数的性质.二次函数图象的平移问题是二次函数的教学难点,所以可以让学生将自己的想法表达出来,互相学习和借鉴.
3.注重知识之间的联系,帮助学生建立二次函数与其他学过的函数之间的联系.
22.1二次函数的图象和性质
22.1.1二次函数(1课时)
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(1课时)
22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(2课时)
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(2课时)
6课时
22.2二次函数与一元二次方程
1课时
22.3实际问题与二次函数
2课时
22.1 二次函数的图象和性质
1.通过对实际问题的分析,确定二次函数的解析式,并体会二次函数的意义.
2.会用描点法画抛物线,通过图象了解二次函数的性质.
3.会用配方法将二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式,并能由此得到二次函数图象的顶点坐标,说出图象的开口方向,画出函数图象的对称轴,并能解决一些简单的实际问题.
4.会用待定系数法求二次函数的解析式.
1.从实际问题情境中经历探索两个变量之间的关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.
2.通过函数的图象探究二次函数的性质,使学
生进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,了解从特殊到一般的认识过程.
1.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,从而提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
2.让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习方法,养成既能自主探索又能合作探究的良好学习习惯.
【重点】
1.二次函数图象及其性质.
2.运用二次函数的知识解决实际问题.
【难点】 不同形式的二次函数图象之间的位置关系.
22.1.1 二次函数
1.理解并掌握二次函数的定义.
2.能判断一个给定的函数是否为二次函数.
3.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.
1.让学生从实际问题情境中经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程.
2.使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察、探究能力及归纳总结能力.
3.经历探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
1.通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.
2.通过探索具体问题中的数量关系和变化规律的过程,体会数学来源于生活又应用于生活,提高学生应用数学的意识.
【重点】
1.理解并掌握二次函数的定义.
2.能根据实际问题中的条件确定二次函数的解析式及自变量的取值范围.
【难点】 用二次函数表示变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体课件(1~3)
【学生准备】 预习教材P28~29.
导入一:
出示喷泉图片:
图片中喷头喷出的水珠在空中走过一条曲线,这些曲线是否能用函数关系式来表示?
它们的形状是怎样画出来的?
这些都将在新的一章中学习.
导入二:
请同学们阅读章前问题,并回答下列问题:
如果改变正方体的棱长x,那么正方体的表面积y会随之改变,y与x之间有什么数量关系?
学生思考回答:
y=6x2.
【问题】 y是x的函数吗?
这个函数是不是我们以前学过的函数?
【师生活动】 复习函数、正比例函数、一次函数的概念.
导入三:
当你走在大街上时,会发现有好多车在奔跑,但你是否想到小汽车的行驶是要限速的?
假设小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s=v2,一辆汽车的速度为100km/h.在前方80m处停放着一辆故障车,你能判断此时是否有危险吗?
[设计意图] 通过欣赏图片、感受生活中的数量关系式,让学生感受生活中处处有数学,激发学生学习本章的兴趣.同时让学生体会二次函数是刻画某些实际问题的模型,通过复习一次函数的知识,让学生用类比的方法从已有的知识体系中自然地构建出新知识.
[过渡语] 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数时,在理解其定义的基础上,研究其图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——二次函数.
一、感知二次函数
问题1
【课件1】 (教材问题1)n个球队参加比赛,每两队之间进行一场比赛.比赛的场次数m与球队数n有什么关系?
思路一
教师引导学生思考并回答下列问题.
n个球队中,每个队要与其他 个球队各比赛一场,全部比赛共有 场.
分析题意,题目中的等量关系为 ,所列等式为 .
【师生活动】 学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的数学模型.
解:
n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n.
思路二
小组活动,共同探究,思考下列问题.
(1)明确题意,题中的已知条件是什么?
(2)分析题意,题中的等量关系是什么?
(3)如何根据题中的等量关系建立函数解析式?
【师生活动】 小组讨论,教师在巡视过程中及时解决疑难问题,学生小组讨论后发表讨论结果,教师及时补充.
解:
n个球队中,每个队要与其他(n-1)个球队各比赛一场,所以比赛的场次数m=n(n-1),即m=n2-n.
问题2
【课件2】 (教材问题2)某种产品现在的年产量是20t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
思路一
教师引导学生思考并回答下列问题.
这种产品现在的年产量是20t,一年后的产量是 t,再经过一年后的产量是 t.
分析题意,题目中的等量关系为 ,所列等式为 .
【师生活动】 学生独立思考后回答问题,教师点评并分析如何建立函数的模型.
解:
这种产品现在的年产量是20t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)·(1+x)t,即y=20(1+x)2.
思路二
小组活动,共同交流,思考下列问题.
(1)明确题意,题中的已知条件是什么?
(2)分析题意,题中的等量关系是什么?
(3)根据等量关系你能写出函数解析式吗?
【师生活动】 学生通过交流讨论列出函数解析式,教师在巡视过程中及时解决疑难问题.
解:
这种产品现在的年产量是20t,一年后的产量是20(1+x)t,再经过一年后的产量是20(1+x)·(1+x)t,即y=20(1+x)2.
[设计意图] 通过师生共同探讨,找到实际问题中的等量关系,列出函数关系式,为引出二次函数的概念做铺垫,同时可提高学生利用方程思想解决实际问题的能力.
二、二次函数的概念
观察教师板书上的三个函数关系式:
(1)y=6x2;
(2)m=n2-n; (3)y=20(1+x)2.
【思考】
(1)这三个函数是我们学过的函数吗?
(2)这些函数的自变量x的最高次数是多少?
(3)你能说出它们的共同特征吗?
(4)通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
【师生活动】 学生独立思考,小组交流,逐一回答所提问题,教师适时启发学生,共同归纳总结.
【课件3】 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数.其中,x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
【思考】
(1)你身边哪些量之间存在着二次函数关系?
(2)二次项系数a能不能为0?
b,c能不能为0?
为什么?
(3)如何判断一个函数是不是二次函数?
(4)二次函数与一元二次方程的一般形式有什么关系?
【师生活动】 学生独立思考回答问题,教师和学生共同归纳二次函数的特征:
①函数关系式必须是整式.
②自变量的最高次数是2.
③二次项系数不为0.
④函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)中,当a≠0时,y=ax2+bx+c是二次函数;当a=0时,y=bx+c,若b≠0,则它是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数.
[设计意图] 学生观察讨论,通过老师设计的问题串类比已学函数,抽象出二次函数的特征,归纳总结出二次函数的一般形式,学生经历了探索二次函数概念的形成过程,从而达到真正理解二次函数的概念的目的,同时培养学生归纳总结能力.
[过渡语] 我们通过实例归纳总结出了二次函数的概念,试试能不能解决下列问题.
观察下列式子:
①y=6x2;②y=-3x2+5;③y=200x2+400x+200;④y=x3-2x;⑤y=x2-+3;⑥y=(x+1)2-x2.其中二次函数有 .(只填序号)
〔解析〕 根据二次函数的概念可得①②③符合二次函数的概念;④中自变量的最高次数是3,⑤中函数右边不是整式形式,⑥中函数化简后不含二次项,均不符合二次函数的概念.故填①②③.
若y=(m+1)是二次函数,则m的值为 .
〔解析〕 二次函数的自变量x的最高次数是2,∴m2-6m-5=2,解得m=7或m=-1.由二次项系数不为0,得m+1≠0,∴m=7.故填7.
在如图所示的一张长、宽分别为50cm和30cm的矩形铁皮的四个角上,各剪去一个大小相同的小正方形,用剩余的部分制作一个无盖的长方体箱子,小正方形的边长为xcm,长方体铁皮箱的底面积为ycm2.
(1)求y与x之间的关系式;
(2)写出自变量x的取值范围;
(3)当x=5时,长方体铁皮箱的底面积是多少?
解:
(1)由题意得长方体的底面的长为(50-2x)cm,宽为(30-2x)cm,题目中的等量关系为长方体的底面积=长×宽,所以可得函数解析式为y=(50-2x)(30-2x)=4x2-160x+1500.
(2)根据实际意义,小正方形的边长为正数,且两个小正方形的边长和不能大于矩形的宽,所以2x<30,即x<15,且x>0,所以自变量x的取值范围是0 (3)把x=5代入上述函数解析式,得y=800,所以长方体铁皮箱的底面积是800cm2. [设计意图] 通过例题加深对二次函数概念的理解和掌握,在探索中发现新知,在交流中巩固新知,同时体验在实际问题中建立函数模型,为后边的学习做铺垫,让学生体会数学来源于生活又应用于生活. [知识拓展] 1.根据实际问题列二次函数关系式时应注意: (1)正确判别自变量与因变量; (2)确保找到正确的等量关系;(3)将列出的关系式整理成y=ax2+bx+c(a≠0)的形式;(4)确保自变量有意义. 2.在二次函数y=ax2+bx+c中,必须注意限制条件a≠0. 3.任何一个二次函数都可以化成y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的形式,因此把y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)叫做二次函数的一般式. 4.在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,x的取值范围是全体实数. 5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程有着密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一元二次方程了. 1.二次函数的概念: 一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数,叫做二次函数. 2.二次函数满足的条件: ①先化简再判断;②等式右边是整式形式;③自变量的最高次数是2;④二次项系数不为0. 3.二次函数的自变量的取值范围: 自变量的取值在实际问题中要有实际意义. 4.根据实际问题写出函数解析式: 认真分析题意,找到题目中的等量关系,根据等量关系列出函数解析式. 1.下列各式中,是二次函数的是( ) A.y=2x+1B.y=-2x+1 C.y=x2+2D.y=2x2- 解析: A,B中自变量x的次数是1,是一次函数;D中,等式右边不是整式形式.故选C. 2.二次函数y=2x2+2x-4的二次项系数与常数项的和为( ) A.1B.-2C.7D.-6 解析: 二次函数y=2x2+2x-4中,二次项系数为2,常数项为-4,2+(-4)=-2.故选B. 3.y=(m+1)2-3x+1是二次函数,则m的值为 . 解析: 根据二次函数的概念可得m2-m=2,且m+1≠0,解得m=2.故填2. 4.若物体运动的路程s(m)与时间t(s)之间的关系为s=5t2+2t,则当t=4s时,该物体所经过的路程为 . 解析: 把t=4代入函数解析式,得s=5×16+2×4=88.故填88m. 5.一个矩形的长是4cm,宽是3cm,若将这个矩形的长增加xcm,宽增加2xcm,则它的面积增加到ycm2,试写出y与x的关系式,并求出自变量x的取值范围. 解: 根据矩形的面积公式得y=(4+x)(3+2x)=2x2+11x+12.自变量x的取值范围是x>0. 22.1.1 二次函数 一、感知二次函数 问题1 问题2 二、二次函数的概念 一、教材作业 【必做题】 教材第29页练习的1,2题. 【选做题】 教材第41页习题22.1的1题. 二、课后作业 【基础巩固】 1.下列不属于二次函数的是( ) A.y=(x-1)(x+2)B.y=(x+1)2 C.y=1-x2D.y=2(x+3)2-2x2 2.若y=mx2+nx-p(m,n,p是常数)为二次函数,则( ) A.m,n,p均不为0B.m≠0,且n≠0 C.m≠0D.m≠0,且p≠0 3.已知二次函数y=3(x-2)2+1,当x=3时,y的值是( ) A.4B.-4C.3D.-3 4.若二次函数y=4x2+1的函数值为5,则对应的自变量x的值为( ) A.1B.-1C.±1D. 5.二次函数y=2x(x-1)的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 . 6.如果函数y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,那么a的取值范围是 . 7.菱形的两条对角线的和为26cm,则菱形的面积S(cm2)与一条对角线长x(cm)之间的函数关系式为 . 8.若函数y=(m+1)-2x+3是关于x的二次函数,试确定m的值或其取值范围. 9.写出下列各函数关系式,并判断它们是什么类型的函数. (1)正方体的表面积S与棱长a之间的函数关系; (2)圆的面积y与它的周长x之间的函数关系; (3)某产品年产量为30台,计划今后每年比上一年的产量增长x%,两年后该产品的产量y(台)与x之间的函数关系. 【能力提升】 10.下列函数关系中,可以看作是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的模型的是( ) A.在一定距离内,汽车行驶的速度与行驶的时间之间的关系 B.我国现年人口自然增长率为1%,我国总人口数随年份变化的关系 C.一个矩形的周长一定时,矩形面积和矩形一边长之间的关系 D.圆的周长与其对应的半径之间的关系 11.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现这种商品的日销售量m(件)与每件商品的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x,试写出商场销售这种商品的日销售利润y(元)与每件商品的销售价x(元)之间的函数关系式,y是x的二次函数吗? 【拓展探究】 12.如图所示,用同样规格的正方形白色和黑色瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答问题. (1)在第n个图形中,每一横行有 块瓷砖,每一竖列有 块瓷砖,黑色瓷砖共有 块;(均用含n的代数式表示) (2)在 (1)的条件下,设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与n之间的函数关系式; (3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求n的值. 【答案与解析】 1.D(解析: 化简后D中不含有自变量x的二次项,所以D选项不属于二次函数.故选D.) 2.C(解析: 根据二次函数的概念,即形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)的函数是二次函数,所以只要满足二次项系数不为0即可.故选C.) 3.A(解析: 把x=3代入函数解析式,可得y=4.故选A.) 4.C(解析: 把y=5代入函数解析式,得4x2+1=5,解得x=±1.故选C.) 5.2 -2 0(解析: 将原式整理得y=2x2-2x,所以二次项系数为2,一次项系数为-2,常数项为0.) 6.a≠1(解析: 二次函数中二次项系数不为0,所以a-1≠0,即a≠1.故填a≠1.) 7.S=-x2+13x(解析: 根据题意可得菱形的另一条对角线长为(26-x)cm,由菱形的面积公式可得S=x(26-x)=-x2+13x.故填S=-x2+13x.) 8.解: ∵函数y=(m+1)-2x+3是关于x的二次函数,∴m2+1=2,且m+1≠0,解得m=1. 9.解: (1)S=6a2,是二次函数. (2)y=π=,是二次函数. (3)y=30(1+x%)2,是二次函数. 10.C(解析: 设一个矩形的周长为a,矩形的一边长为x,则另一边长为-x,则矩形的面积S=x=-x2+x,是二次函数.故选C.) 11.解: 由题意可知该商品每件的利润为(x-30)元,则y=(162-3x)(x-30),即y=-3x2+252x-4860,所以y是x的二次函数. 12.解: (1)由图形规律可以得出: 每一横行有(n+3)块瓷砖,每一竖列有(n+2)块瓷砖,黑色瓷砖数=(n+3)(n+2)-n(n+1)=4n+6.故答案为: (n+3),(n+2),(4n+6). (2)y=(n+3)(n+2),即y=n2+5n+6. (3)由题意得(n+3)(n+2)=506,解得n1=-25(舍去),n2=20,∴n的值为20. 本节课由实际问题导入新知识,呈现了“问题情境——建立数学模型——归纳总结——知识拓展”的过程,在探究过程中,给学生提供探索和交流的空间,在小组交流、合作中获取知识,把要探究的知识设计成问题形式,降低了难度,让学生体验成功的快乐,激发学习兴趣.学生在课堂上学会了与他人交流,学会了探索,提升了分析问题和解决问题的能力.此外,教学中实际问题的解决贯穿整节课,让学生体会建模思想是解决数学问题的重要途径,培养了学生应用数学的意识. 由于这节课内容较少,在学习了一次函数和一元二次方程后,学习这节课应该是很简单的,所以误认为学生会通过自学掌握所有知识,教学时对于概念的形成过程有点过于急躁,造成学生对概念的细节问题掌握不 牢固,在后边的练习中出错较多,缺乏学习数学知识的严谨性,所以在课堂上要重视探究知识的过程. 二次函数是一种常见的函数,应用非常广泛,许多实际问题往往可以归结为二次函数问题加以研究.在教学中要重视二次函数概念的形成和构建,在对二次函数的概念的学习过程中,让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程,体会用函数思想去描述、研究变量之间的变化规律的意义. 练习(教材第29页) 1.解: S=2πr·r+2πr2=4πr2. 2.解: y=(30+x)(20+x)=x2+50x+600. 1.本节课主要学习二次函数的概念,通过具体实例中变量之间关系的特征,感受二次函数的特征和意义,从而形成对二次函数的初步认识,本节课的重点是强调具体问题的分析、抽象,渗透数学建模思想.教师引导学生分析问题,并用关系式表示这一关系的过程,引出二次函数的概念,获得二次函数表示变量关系的体验,学生在教师的引导下,通过自主探索与合作交流,理解并掌握本节课的重点,学生通过主动探索,获取知识,丰富数学活动的经验,逐步达到学会学习的目的. 2.对于九年级的学生来说,之前已经学过常量与变量、一次函数和正比例函数,对于函数是刻画变量之间关系的数学模型也有了一定的认识,所以在此基础上可以用类比的方法继续深入学习二次函数.而且学生的逻辑思维、概括归纳能力也有了一定的提高,本节课根据教材实例引导学生自主探究,分析题意,得到相应的函数关系式,分析所得到的三 个关系式的共同特征,由学生概括归纳,得到二次函
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