上海市曹杨二中学年高二下学期期中数学试题.docx
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上海市曹杨二中学年高二下学期期中数学试题
上海市曹杨二中2020-2021学年高二下学期期中数学试题
学校:
___________姓名:
___________班级:
___________考号:
___________
一、填空题
1.抛物线
的准线方程是.
2.若方程
表示椭圆,则实数
的取值范围是__________.
3.双曲线
的实轴长是虚轴长的2倍,则
的值为_______.
4.直线
的一个方向向量
则
与直线
的夹角为________.
5.已知直线
圆C:
则直线
被圆C所截得的线段的长为______.
6.设
、
是双曲线
的两个焦点,
是双曲线上的一点,且
,则
的周长______.
7.若直线
与曲线
只有一个公共点,则实数
的值为_______.
8.如图,A、B为椭圆
的两个顶点,过椭圆的右焦点F作
轴的垂线与其交于点C,若AB∥OC(O为坐标原点),则直线AB的斜率为______.
9.已知
是双曲线
的左、右焦点,过点
且斜率为2的直线
交双曲线的左支于点P,若直线
则双曲线的渐近线方程是__________.
10.设抛物线
的焦点为
,过点
且斜率为
的直线与
交于
两点,则
________.
11.在平面上,一个区域内两点间距离最大值称为区域的直径,则方程
围成封闭区域的直径是________.
12.在如图所示的平面中,点C为半圆的直径AB延长线上的一点,AB=BC=2,过动点P作半圆的切线PQ,若PC=2PQ,则△PAC的面积的最大值是_________.
二、单选题
13.“
且
”是“
表示圆的方程”的()条件
A.充分非必要B.必要非充分
C.充要D.既非充分又非必要
14.已知
与
是直线
(
为常数)上两个不同的点,则关于
和
的方程组
的解的情况是()
A.无论
如何,总是无解B.无论
如何,总有唯一解
C.存在
使之恰有两解D.存在
使之有无穷多解
15.在平面直角坐标系
中,已知向量
点Q满足
曲线
区域
若
为两段分离的曲线,则()
A.
B.
C.
D.
16.以
为圆心的两圆均过
,与
轴正半轴分别交于
,且满足
,则点
的轨迹是()
A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线
三、解答题
17.已知抛物线
(
且
为常数),F为其焦点,若焦点F是椭圆
的一个焦点.
(1)求抛物线的方程;
(2)过点F的直线与抛物线相交于P、Q两点,且
求直线PQ的方程.
18.已知
两点
(1)求过AB中点,且在两坐标轴上截距相等的直线
的方程;
(2)求过原点,且A、B两点到该直线距离相等的直线
的方程.
19.定义:
圆心到直线的距离与圆的半径之比称为“直线关于圆的距离比
”.
(1)设
求过点P
的直线关于圆
的距离比
的直线方程;
(2)若圆
与
轴相切于点A
且直线
关于圆C的距离比
求出圆C的方程.
20.如图,椭圆
的左、右顶点分别为A、B,双曲线
以A、B为顶点,焦距为
,点P是
上在第一象限内的动点,直线AP与椭圆相交于另一点Q,线段AQ的中点为M,记直线AP的斜率为
为坐标原点.
(1)求双曲线
的方程;
(2)求点M的纵坐标
的取值范围;
(3)是否存在定直线
使得直线BP与直线OM关于直线
对称?
若存在,求直线
的方程;若不存在,请说明理由.
21.双曲线
经过点
,两条渐近线的夹角为
,直线
交双曲线于
、
.
(1)求双曲线
的方程;
(2)若
过原点,
为双曲线上异于
、
的一点,且直线
、
的斜率为
、
,证明:
为定值;
(3)若
过双曲线的右焦点
,是否存在
轴上的点
,使得直线
绕点
无论怎样转动,都有
成立?
若存在,求出
的坐标,若不存在,请说明理由.
参考答案
1.
【解析】
试题分析:
由抛物线方程可知
,所以准线方程为
考点:
抛物线性质
2.
【解析】
【分析】
由方程表示椭圆,得到不等式组
,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,方程
表示椭圆,则满足
,解得
,
即实数
的取值范围是
.
故答案为:
.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用,其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
3.
【分析】
利用双曲线的标准方程,即可得到实轴长与虚轴长的关系,即可求解
得值,得到答案.
【详解】
由题意,双曲线
,可化为
,所以
,
又由实轴长是虚轴长的2倍,可得
,即
,所以
,解得
.
故答案为
.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程及简单几何性质,其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
4.
【解析】
【分析】
由直线
的方向向量为
,利用向量的夹角公式,即可求解.
【详解】
由题意,直线
的方向向量为
,
又由直线
的一个方向向量
根据向量的夹角公式,可得
,
又由两直线的夹角
,所以两直线的夹角为
,则
故答案为:
.
【点睛】
本题主要考查了两直线的夹角的大小的求法,其中解答中熟记直线的方向向量,以及向量的夹角公式,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
5.
【分析】
先求得圆心到直线
的距离为
,再利用圆的弦长公式,即可求解.
【详解】
由题意,圆
的圆心坐标为
,半径为
,
圆心到直线
的距离为
,
由圆的弦长公式,可得
,
即直线
被圆C所截得的线段的长为
.
故答案为
.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中熟记圆的弦长公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
6.24
【分析】
先由双曲线的方程求出
,再由
,运用双曲线的定义,求出
,
,由此能求出
的周长.
【详解】
解:
双曲线
的
,
,
两个焦点
,
,
即
,
由
,设
,则
,
由双曲线的定义知,
,解得
.
,
,
,
则
的周长为
.
故答案为:
24.
【点睛】
本题考查双曲线的定义和性质的应用,考查三角形周长的计算,属于基础题.
7.
【分析】
当直线
与双曲线的渐近线平行时,满足题意,当直线与右支相切时,直线与双曲线有且只有一个交点,即可求解.
【详解】
由双曲线
可得其渐近线的方程为
,
①当直线
与双曲线的渐近线
平行时,即
时,直线与双曲线有且只有一个公共点,满足题意;
②当直线
与右支相切时,直线与双曲线有且只有一个交点,
联立方程组
,整理得
,
令
,得
,解得
,
综上可知,实数
的取值集合
.
故答案为:
.
【点睛】
本题主要考查了直线与曲线的位置关系的应用,其中解答中根据双曲线的渐近线的性质,以及直线与双曲线的位置关系的判定方法,分类讨论求解是解答的关键,着重考查了分类讨论思想,以及推理与运算能力,属于基础题.
8.
【分析】
由椭圆的方程及过椭圆的右焦点F作
轴的垂线,求得
,根据
,求得
,进而得到
,利用斜率公式,即可求解.
【详解】
由题意,椭圆
,过椭圆的右焦点F作
轴的垂线与其交于点C,
可得
,
又由
,可得
,整理得
,即
,
又由
,
所以直线
的斜率为
.
故答案为
.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记椭圆的标准方程,熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
9.
【分析】
先求出过点
且斜率为2的直线的方程,再利用垂直关系得出直线
的方程,求出它们的焦点坐标及点
的坐标,利用点
在双曲线上,代入求得
的关系式,进而求得其渐近线的方程,得到答案.
【详解】
由题意,过过点
且斜率为2的直线
的方程为
,
因为
,所以直线
的斜率为
,所以直线
的方程为
,
两直线联立方程组,解得交点
的坐标为
,如图所示,
将点
代入双曲线的方程,可得
,整理得
,
又由
,代入得
,
整理得
,解得
,可得
,即
,
所以双曲线的渐近线的方程为
.
故答案为
.
、
【点睛】
本题主要考查了双曲线的标准方程,以及双曲线的简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的标准方程,以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.
10.8
【分析】
求出抛物线的焦点坐标,直线方程,求出M、N的坐标,然后求解向量的数量积即可.
【详解】
抛物线C:
y2=4x的焦点为F(1,0),过点(﹣2,0)且斜率为
的直线为:
3y=2x+4,
联立直线与抛物线C:
y2=4x,消去x可得:
y2﹣6y+8=0,
解得y1=2,y2=4,不妨M(1,2),N(4,4),
,
=(3,4).
则
=(0,2)•(3,4)=8.
故答案为8.
【点睛】
本题考查抛物线的简单性质的应用,向量的数量积的应用,考查计算能,一般和抛物线有关的小题,很多时可以应用结论来处理的;平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用.尤其和焦半径联系的题目,一般都和定义有关,实现点点距和点线距的转化.
11.
【分析】
分类讨论,当
,
,
和
时,方程表示的图形,得出封闭区域,结合图象,即可求解.
【详解】
由题意,当
时,方程可化为
,即
,
同理当
时,方程可化为
,
当
时,方程可化为
,即
或
;
同理
时,方程可化为
或
,
作出方程
所表示的封闭区域,如图所示,
可得
两点间的距离最大,且为
.
故答案为
.
【点睛】
本题主要考查了曲线方程所表示的平面区域,以及两点间距离的最值问题,其中解答中分类讨论,画出方程所以表示的平面区域是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于中档试题.
12.
【分析】
以
所在的直线为
轴,以
的垂直平分线为
轴,建立平面直角坐标系,利用两点间的距离公式,求得点
的轨迹是以
为圆心,半径为
的圆,进而求得面积的最大值,得到答案.
【详解】
由题意,以
所在的直线为
轴,以
的垂直平分线为
轴,建立平面直角坐标系,
因为
,可得
,
设
,因为过点
作半圆的切线
,且
,
即
,整理得
,
即
,方程表示以
为圆心,半径为
的圆,
所以
的最大面积为
.
故答案为
.
【点睛】
本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中认真审题,利用两点间的距离公式,求得点
的轨迹方程是解答的关键,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力,属于中档试题.
13.B
【解析】
【分析】
根据圆的一般方程的形式,求得方程表示圆的条件,再根据充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.
【详解】
由方程
表示圆时,满足
且
,
所以“
且
”是“
表示圆的方程”的必要不充分条件.
故选B.
【点睛】
本题主要考查了充分条件、必要条件的判定,以及圆的一般方程的综合应用,属于基础题.
14.B
【分析】
判断直线的斜率存在,通过点在直线上,推出
的关系,再求解方程组的解,即可求解,得到答案.
【详解】
由题意,点
与
是直线
(
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