15函数ya图像教案.docx
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15函数ya图像教案
1.5,函数y=a,图像教案
篇一:
1.5《函数y=asinωx+φ的图象》教学案5v
《函数y?
asin?
wx?
?
?
的图像》教案
教学目标:
1.分别通过对三角函数图像的各种变换的复习和动态演示进一步让学生了解三角函数图像各种变换的实质和内在规律。
2.通过对函数y?
asin?
wx?
?
?
?
a?
0,w?
0?
图象的探讨,让学生进一步掌握三角函数图像各种变换的内在联系。
3.培养学生观察问题和探索问题的能力。
教学重难点:
函数y=asin(wx+?
)的图像的画法和设图像与函数y=sinx图像的关系,以及对各种变换内在联系的揭示。
各种变换内在联系的揭示。
教学过程:
一、复习旧知
1.“五点法”作函数y=sinx简图的步骤,其中“五点”是指什么?
2.函数y=sin(x?
k)(k>0)的图象和函数y=sinx图像的关系是什么?
3.函数y=sinwx(w>0)的图像和函数y=sinx图像的关系是什么?
学生答:
函数y=sinwx(w>0)的图像可由函数y=sinx的图像沿x轴伸长(w1)到原来的1倍而得到,称为周期变换.?
4.函数y=asinx(a>0)的图像和函数y=sinx图像的关系是什么?
演示:
教师利用多媒体,运用制好的课件将变化过程演示给学生看,并要求学生具体观察图像上点坐标的变化,然后归纳出这种变换的实质是:
横坐标不变,纵坐标伸长(a>|)或缩小(01.函数y=asin(wx+?
)的图像的画法。
为了探讨函数y=asin(wx+?
)的图像和函数y=sinx图像的关系,我们先来用“五点法”作函数y=asin(wx+?
)的图像。
例:
作函数y=3sin(2x+?
)的简图。
3
z?
z?
?
?
?
解:
⑴设z=2x+,那么3xin(2x+)=3sin?
,x==?
,分别取z=0,,223326
?
,?
?
?
7?
5?
3?
?
,2?
,则得x为?
,,,,,所对应的五点为函数y=3sin(x?
)236123126
篇二:
1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象
(一)教案
1.5函数y=asin(ωx+?
)(a>0,ω>0)的图象
教材:
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(a版)》必修4课题:
1.5函数y=asin(ωx+?
)的图象一、教学目标:
1、知识与技能
1.?
对y=sin(x+?
)的图像的影响。
2.ω对y=sin(ωx+?
)的图像的影响。
3.a对y=asin(ωx+?
)的图像的影响。
4.y=asin(ωx+?
)的图像的画法。
2、过程与方法
1.会用相位变换、周期变换、振幅变换分别作y=sin(x+?
)、y=sin(ωx+?
)、y=asin(ωx+?
)的图像。
2.会用五点法和图形变换法作出y=asin(ωx+?
)的图像。
3、情感态度价值观
1.渗透数形结合思想、增强作图能力;了解由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想;培养全面分析、抽象和概括的能力。
2.培养动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,并解决问题。
二、教学重点、难点
1、教学重点:
将参数a,ω,?
对函数y=asin(ωx+?
)图象的影响的问题进行分解,从而学习如何将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。
2、教学难点:
ω对函数y=asin(ωx+?
)的图象的影响规律的概括
3、教学关键:
理解三个参数a、ω、φ对函数y=asin(ωx+?
)(ω>0,a>0)图像的影响。
三、课前准备
教师准备:
教学课件
四、教学过程:
一、导入新课,提出课题
师:
数学研究生活实际,那在某次实验里面,我们测得交流电电流y随着时间x变化的图象图
(1),如果将图象局部放大,便得到图
(2),看图
(2)它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似,那这个图象,它是一个形如y=asin(ωx+?
)的函数,那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢?
这就是这节课要研究的问题。
揭示课题:
函数y=asin(ωx+?
)的图像
(一)(板书)
(1)
(2)
二、推进新课
师:
要研究这个函数跟正弦函数的关系,那我们看这个解析式y=asin(ωx+?
),它分别有三个参数,一个是a,一个是ω,还有一个是?
,那如果以此式研究它的话,有点困难,并且难以看出这三个参数的影响,因此我们一个一个去研究它。
探究一:
参数?
对y=sin(x+?
)的图像的影响
1、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数y=sinx和y=sin(x-数图像,并比较这两个函数图像的关系
教师引导学生从图像直接看出来只要将y=sinx的图像向右平移
?
)的函3
?
个单位便得到
3
函数y=sin(x-
?
)的图像。
3
?
)的图像?
4
?
个单位,4
1.1、请说明怎么由y=sinx得图像得到y=sin(x+
教师用多媒体动画演示让学生发现:
只需将y=sinx图像向左平移就能够得到函数y=sin(x+
?
)的图像4
1.2、怎样由函数y=sinx图象得到y=sin(x+?
)的函数图象?
思考1:
如果再变换?
的值,类似的情况是否不断出现?
结论:
函数y=sin(x+?
)的图象可由函数y=sinx的图象向左(?
>0)或向右(?
<0)平移|?
|个单位而得到,这种变换实际上是纵坐标不变,横坐标增加(或减少)|?
|个单位,这种变换称为平移变换。
思考2:
当?
改变时,?
改变了该函数的那些性质?
结论:
教师利用几何画板为学生演示,让学生发现?
其实只是改变了函数图像的位置,其他的没有改变。
探究二:
参数ω对y=sinωx的图像的影响
2、用五点作图法在同一个坐标系里作出函数y=sinx和y=sin2x的简图,并讨论这两个函数图象的关系
学生通过作图,发现把y=sinx图像上点的横坐标缩短到原来的不变,得到函数y=sin2x的函数图像。
思考3:
如果某时候你没有图像,你能否从解析式上看出来这个规律呢?
教师引导学生从列表中看出这些点的关系,当y取1的时候对应的那两个自变量
1
x,2x中的x恰好是sinx里面x的倍,曲线上每一个点都有这种规律,导致
2整条曲线都有这样的关系,当然可以取一些其他的点,这样我们就可以得到y=sinx和y=sin2x的关系
1
倍,纵坐标2
?
?
)得图像得到y=sin(2x+)的图像?
33
?
教师引导学生观察图像得出要想得到y=sin(2x+)的图像,只需将函数y=
3
1?
sin(x+)上点的横坐标变为原来的倍,纵坐标不变,就可以了
232.1、请说明怎么由y=sin(x+
2.2、如何由y=sinx图象得到函数y=sinωx(ω>0)的图象呢?
结论:
将上述结论一般化,归纳出y=sinωx(ω>0)的图像与y=sinx图象的关系
当ω>1时,y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的便得到y=sinωx的图象
当(0<ω思考4:
ω改变时,ω究竟影响了函数图像的什么性质?
结论:
教师通过几何画板展示,引导学生发现ω实际上就是影响了这个函数的周期
探究三:
参数a对y=asinx的图像的影响
师:
前面我们研究了2个参数,接下来研究第三个参数3、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数y=sinx和y=并讨论着两个函数图像的关系学生通过作图发现:
要想得到y=点的纵坐标缩短到原来的
1
sinx的图像2
1
sinx的图像,只需将y=sinx图像上所有2
1
sinx的简图,2
1
倍(纵坐?
1
倍(纵坐标不变)?
1
倍,其中横坐标不变,那么我们就可以得到y=2
思考5:
如果某时候你没有图像,从解析式上看它是怎么样的?
?
教师引导学生观察表格中的点发现:
比如x取的时候,他们的纵坐标一个是1,
2
111
另外一个是,恰好就是1的倍,因此就形成了这么一种特殊的关系
222
?
?
3.1、怎么由y=sin(2x+)的图像得到y=3sin(2x+)的图像?
33
?
教师通过几何画板展示引导学生发现:
将y=sin(2x+)横坐标保持不变,纵
3?
坐标扩大到原来的3倍,就可以得到y=3sin(2x+)的图像
33.2、怎么由y=sinx的图像得到y=asinx的图像呢?
结论:
当a>1时,将y=sinx图像上点的纵坐标伸长到原来的a倍,(横坐标不变)便
得到了y=asinx的图像
当0?
?
3.1、怎么由y=sin(2x+)的图像得到y=3sin(2x+)的图像?
33
?
教师通过几何画板展示引导学生发现:
将y=sin(2x+)横坐标保持不变,纵
3?
坐标扩大到原来的3倍,就可以得到y=3sin(2x+)的图像
3思考6:
a改变时,a改变了这个函数的那个性质?
结论:
a影响了这个函数的值域,也就是最大值与最小值。
五、练习:
(课本练习1,2)六、小结与布置作业
(一)小结:
1、函数图象的变换过程
2、作正弦型函数y=asin(?
x+?
)的图象的方法:
(1)利用变换关系作图;
(2)用“五点法”作图.
3、本课蕴含着数形结合、类比、由简单到复杂、由特殊到一般等数学思想方法。
(二)布置作业:
1、教材P57习题1.5第1、2、
(1)、(3)题。
2、课下思考:
由y?
sinx到y?
asin(wx?
?
)的变换过程?
篇三:
1.5函数y=asinωx+φ的图象示范教案(人教a必修4)
1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象
教学目的:
1、理解振幅变换和周期变换和平移变换;会用图象变换的方法画y=asin(ωx+?
)的图象;2、会用“五点法”画y=asin(ωx+?
)的图象;3、会求一些函数的振幅、周期、最值等;
4、渗透分类讨论的数学思想,提高分析和解决问题的能力。
教学重点、难点
重点:
用图象变换的方法画y=asin(ωx+?
)的图象。
难点:
理解振幅变换和周期变换和平移变换。
教学过程:
一、复习引入:
1.正弦曲线
2.余弦曲线
3.五点法做图二、讲授新课:
1、函数图象的左右平移变换?
?
y?
sin(x?
)y?
sin(x?
)的简图,并指出它如在同一坐标系下,作出函数和们与y?
sinx图象之间的关系。
?
y?
sin(x?
)的周期为2?
,我们来作这个函数在长度为一个周期的解析:
函数
3
闭区间上的简图。
34
3
?
3?
?
2?
7?
5?
、?
、?
、2?
?
、、、、
26363。
所对应的五点当z取0、2时,x取3?
?
5?
y?
sin(x?
)x?
[?
,]
3,33图象上起关键作用的点。
是函数
设
,那么
,
x?
?
3
?
zsin(x?
?
3
)?
sinzx?
z?
?
类似地,对于函数
y?
sin(x?
?
)
4,可列出下表:
描点作图(如下)
利用这类函数的周期性,可把所得到的简图向左、右扩展,得出及
y?
sin(x?
?
3,x?
R
)
y?
sin(x?
?
)
4,x?
R的简图(图略)。
由图可以看出,
y?
sin(x?
?
3的图象可以看作是把y?
sinx的图象上所有的点向左
)
?
?
y?
sin(x?
)
4的图象可以看作是把y?
sinx的图象上所有平行移动3个单位而得到的,
?
的点向右平行移动4个单位得到的。
注意:
一般地,函数y?
sin(x?
?
)(?
?
0)的图象,可以看作是把y?
sinx的图象上
所有的点向左(当?
?
0时)或向右(当?
?
0时)平行移动|?
|个单位而得到的。
2、函数图象的纵向伸缩变换
如在同一坐标系中作出y?
2sinx及
y?
1
sinx2的简图,并指出它们的图象与
y?
sinx的关系。
解析:
函数y?
2sinx及
的简图。
y?
1
sinx2的周期T?
2?
,我们先来作x?
[0,2?
]时函数
列表:
描点作图,如图:
利用这类函数的周期性,我们可以把上图的简图向左、向右扩展,得到
1
sinx,x?
R
y?
2sinx,x?
R及2的简图(图略)。
从上图可以看出,对于同一个x值,y?
2sinx的图象上点的纵坐标等于y?
sinx的
y?
图象上点的纵坐标的两倍(横坐标不变),从而y?
2sinx,x?
R的值域为[-2,2],最大值为2,最小值为-2。
1
sinx2类似地,的图象,可以看作是把y?
sinx的图象上所有点的纵坐标缩短到
1111
y?
sinx,x?
R?
,
22]原来的2倍(横坐标不变)而得到的,从而的值域是[2,最
11
?
大值为2,最小值为2。
注意:
对于函数y?
asinx(a>0且a≠1)的图象,可以看作是把y?
sinx的图象
y?
上所有点的纵坐标伸长(当a>1时)或缩短(当01y?
sinx
2的简图,并指出它们与y?
sinx图象间的关系。
如作函数y?
sin2x及
2?
T?
?
?
y?
sin2x2解析:
函数的周期,我们来作x?
[0,?
]时函数的简图。
?
3?
、?
、、2?
2设2x?
z,那么sin2x?
sinz,当z取0、2时,所对应的五点是函数
z?
x?
y?
sinz,z?
[0,2?
]图象上起关键作用的五点,这里2,所以当x取0、4、?
3?
、、?
24时,所对应的五点是函数y?
sin2x,x?
[0,?
]的图象上起关键作用的五
点。
列表:
1
y?
sinx
2的周期函数
列表:
T?
2?
?
4?
12,我们来作x?
[0,4?
]时函数的简图。
描点作图,如图:
利用这类函数的周期性,我们可以把上面的简图向左、右扩展,得出y?
sin2x,x?
R
1y?
sinx
2,x?
R的简图(图略)及。
x0
从上图可以看出,在函数y?
sin2x的图象上横坐标为2(x0?
R)的点的纵坐标同
x?
?
x0?
sin(2?
0)?
sin?
1
y?
sinx上横坐标为x0的点的纵坐标相同(例如,当2时,22,
sinx0?
sin
?
2
?
1
)。
因此,y?
sin2x的图象可以看作是把y?
sinx的图象上所有点的横
1
坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的。
1y?
sinx
2的图象可以看作是把y?
sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原类似地,
来的2倍(纵坐标不变)而得到的。
注意:
一般地,函数y?
sin?
x(?
?
0且?
?
1)的图象,可以看作是把y?
sinx的图
1
象上所有点的横坐标缩短(当?
?
1时)或伸长(当0?
?
?
1时)到原来的?
倍(纵坐标不变)而得到的。
4、函数y?
asin(?
x?
?
)的图象
作函数y?
asin(?
x?
?
)的图象主要有以下两种方法:
(1)用“五点法”作图
用“五点法”作y?
asin(?
x?
?
)的简图,主要是通过变量代换,设z?
?
x?
?
,由
?
3
?
z取0,2,?
,2,2?
来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出
图象。
(2)由函数y?
sinx的图象通过变换得到y?
asin(?
x?
?
)的图象,有两种主要途径:
“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”。
法一:
先平移后伸缩
(?
?
0)或向右(?
?
0)
y?
sinx?
向左?
?
?
?
?
?
?
?
y?
sinx(?
?
)
纵坐标不变
平移|?
|个单位
?
?
?
y?
sin(?
x?
?
)?
?
?
?
?
?
?
1横坐标变为原来的倍
横坐标不变
法二:
先伸缩后平移
a倍
?
纵坐标变为原来的?
?
?
?
?
?
?
?
y?
asin(?
x?
?
)
1
横坐标变为原来的倍
纵坐标不变
?
?
?
y?
sinx?
?
?
?
?
?
?
(?
?
0)或向右(?
?
0)
y?
sin?
x?
向左?
?
?
?
?
?
?
?
y?
sin?
(x?
?
)
横坐标不变
平移||个单位
?
a倍?
纵坐标变为原来的?
?
?
?
?
?
?
?
y?
asin(?
x?
?
)
?
|
|?
|可以看出,前者平移个单位,后者平移?
个单位。
原因在于相位变换和周期变换
|
都是针对变量x而言的。
因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移的先后顺序,否则
必然会出现错误。
当函数y?
asin(?
x?
?
)(a>0,?
?
0,x?
[0,?
?
))表示一个振动量时,a就表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离,通常把它叫做这个振动的振幅;往复振动一次
?
,它叫做振动的周期;单位时间内往复振动的次数叫做振动的频率;?
x?
?
叫做相位,?
叫做初相(即当x=0时的相位)。
所需要的时间三、典型例题
例1.用两种方法将函数y?
sinx的图象变换为函数分析1:
T?
2?
f?
1?
?
T2?
,它
y?
sin(2x?
?
3的图象。
)
x?
2x?
2(x?
?
6
)?
2x?
?
3
篇四:
1.5函数y=asin(ωx+φ)的图象
(一)教案
1.5函数y=asin(ωx+?
)(a>0,ω>0)的图象
教材:
人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(a版)》必修4课题:
1.5函数y=asin(ωx+?
)的图象一、教学目标:
1、知识与技能
1.?
对y=sin(x+?
)的图像的影响。
2.ω对y=sin(ωx+?
)的图像的影响。
3.a对y=asin(ωx+?
)的图像的影响。
4.y=asin(ωx+?
)的图像的画法。
2、过程与方法
1.会用相位变换、周期变换、振幅变换分别作y=sin(x+?
)、y=sin(ωx+?
)、y=asin(ωx+?
)的图像。
2.会用五点法和图形变换法作出y=asin(ωx+?
)的图像。
3、情感态度价值观
1.渗透数形结合思想、增强作图能力;了解由简单到复杂,由特殊到一般的化归思想;培养全面分析、抽象和概括的能力。
2.培养动与静的辩证关系,善于从运动的观点观察问题,并解决问题。
二、教学重点、难点
1、教学重点:
将参数a,ω,?
对函数y=asin(ωx+?
)图象的影响的问题进行分解,从而学习如何将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。
2、教学难点:
ω对函数y=asin(ωx+?
)的图象的影响规律的概括
3、教学关键:
理解三个参数a、ω、φ对函数y=asin(ωx+?
)(ω>0,a>0)图像的影响。
三、课前准备
教师准备:
教学课件
四、教学过程:
一、导入新课,提出课题
师:
数学研究生活实际,那在某次实验里面,我们测得交流电电流y随着时间x变化的图象图
(1),如果将图象局部放大,便得到图
(2),看图
(2)它跟我们上节课讲得正弦曲线非常相似,那这个图象,它是一个形如y=asin(ωx+?
)的函数,那这个函数跟正弦函数究竟有什么关系呢?
这就是这节课要研究的问题。
揭示课题:
函数y=asin(ωx+?
)的图像
(一)(板书)
(2)
(1)
二、推进新课
师:
要研究这个函数跟正弦函数的关系,那我们看这个解析式y=asin(ωx+?
),它分别有三个参数,一个是a,一个是ω,还有一个是?
,那如果以此式研究它的话,有点困难,并且难以看出这三个参数的影响,因此我们一个一个去研究它。
探究一:
参数?
对y=sin(x+?
)的图像的影响
1、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数y=sinx和y=sin(x?
数图像,并比较这两个函数图像的关系
教师引导学生从图像直接看出来只要将y=sinx的图像向右平移函数y=sin(x?
?
)的函4
?
个单位便得到4
?
)的图像。
4
1.1、请说明怎么由y=sinx得图像得到y=sin(x+
?
)的图像?
3
教师用多媒体动画演示让学生发现:
只需将y=sinx图像向左平移就能够得到函数y=sin(x+
?
个单位,3
?
)的图像3
1.2、怎样由函数y=sinx图象得到y=sin(x+?
)的函数图象?
思考1:
如果再变换?
的值,类似的情况是否不断出现?
结论:
函数y=sin(x+?
)的图象可由函数y=sinx的图象向左(?
>0)或向右(?
<0)平移|?
|个单位而得到,这种变换实际上是纵坐标不变,横坐标增加(或减少)|?
|个单位,这种变换称为平移变换。
思考2:
当?
改变时,?
改变了该函数的那些性质?
结论:
教师利用几何画板为学生演示,让学生发现?
其实只是改变了函数图像的位置,其他的没有改变。
探究二:
参数ω对y=sinωx的图像的影响
2、用五点作图法在同一个坐标系里作出函数y=sinx和y=sin2x的简图,并讨论这两个函数图象的关系
学生通过作图,发现把y=sinx图像上点的横坐标缩短到原来的不变,得到函数y=sin2x的函数图像。
思考3:
如何由y=sinx图象得到函数y=sinωx(ω>0)的图象呢?
结论:
将上述结论一般化,归纳出y=sinωx(ω>0)的图像与y=sinx图象的关系
当ω>1时,y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的便得到y=sinωx的图象
当(0<ω思考4:
ω改变时,ω究竟影响了函数图像的什么性质?
结论:
教师通过几何画板展示,引导学生发现ω实际上就是影响了这个函数的周期
探究三:
参数a对y=asinx的图像的影响
1
倍,纵坐标2
1
倍(纵坐标不变)?
1
倍(纵坐?
师:
前面我们研究了2个参数,接下来研究第三个参数3、用五点作图法在同一个坐标系里,作出函数y=sinx和y=并讨论着两个函数图像的关系学生通过作图发现:
要想得到y=点的纵坐标缩短到原来的
1
sinx的图像2
1
sinx的图像,只需将y=sinx图像上所有2
1
sinx的简图,2
1
倍,其中横坐标不变,那么我们就可以得到y=2
思考5:
怎么由y=sinx的图像得到y=asinx的图像呢?
结论:
当a>1时,将y=sinx图像上点的纵坐标伸长到原来的a倍,(横坐标不变)便得到了y=asinx的图像
当0思考6:
a改变时,a改变了这个函数的那个性质?
结论:
a影响了这个函数的值域,也就是最大值与最小值。
探究四、函数y=sinx与y=asin(ωx+?
)的关系
师:
那好,三个参数的影响我们都研究完了,我们这节课最主要的是研究y=asin(ωx+?
)的图像与正弦曲线的关系思考7:
怎么由y?
sinx得到y?
2sin(2x?
?
3
)的图象?
思考8:
怎么由y?
sinx得到y?
asin(wx?
?
)的图象?
讨论结果:
①把从函数y=sinx的图象到函数y=asin(ωx+φ)的图象的变换过程,分解为先分别考察参数φ、ω、a对函数图象的影响,然后整合为对y=asin(ωx+φ)的整体考察.规律总结
先平移后伸缩的步骤程序如下:
y=sinx的图象
?
?
?
?
?
?
?
?
平移|?
|个单位长度
到原来
1
向左(?
?
0)或向右(?
?
0)
横坐标伸长(0?
?
?
1)或缩短(?
?
1)
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
得y=sin(x+φ)的图象
?
(纵坐标不变)
纵坐标伸长(a?
1)或缩短(0?
a?
1)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
得y=sin(ωx+φ)的图象
为原来的a倍(横坐标不变)
得y=asin(ωx+φ)的图象.
先伸缩后平移(提醒学生尽量先平移),但要注意第三步的平移.
纵坐标伸长(a?
1)或缩短(0?
a?
1)?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
y=sinx的图象
这原来的a倍(横坐标不变)
(0?
?
?
1)或缩短(?
?
1)?
横坐标伸长?
?
?
?
?
?
?
?
?
到原来的
1
得y=asinx的图象
?
(纵坐标不变)
?
?
?
?
?
?
?
?
得y=asin(ωx)的图象
向左(?
?
0)或缩短(?
?
1)
?
平移||个单位
?
得y=asin(ωx+φ)的图象..
五、典例解析
例1画出函数y=2sin(
1?
x-)的简图.36
活动:
本例训练学生的画图基本功及巩固本节所学知识方法.
(1)引导学生从图象变换的角度来探究,这里的φ=?
内容自己写出得到y=2sin(
?
1
ω=,a=2,鼓励学生根据本节所学63
1?
x-)的图象的过程:
只需把y=sinx的曲线上所有点向右平行移36
?
?
动个单位长度,得到y=sin(x-)的图象;再把后者所有点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐66
1?
标不变),得到y=sin(x-)的图象;再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
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- 15 函数 ya 图像 教案
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