15 一元二次方程的应用 教案湘教版九年级上.docx

15 一元二次方程的应用 教案湘教版九年级上.docx

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15一元二次方程的应用教案湘教版九年级上

1.3一元二次方程的应用

（1）

教学目标

1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。

2、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。

重点难点

重点：

建立一元二次方程模型解决一些代数问题。

难点：

把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。

教学过程

（一）复习引入

1、回顾：

你已经学过了用什么样的方程解应用题？

“列方程解应用题”你有什么经验？

让学生自己总结，因人而异，教师可以加以引导归纳。

2、填空：

（1）当x=时，代数式3x-5与3-2x的值互为相反数。

（2）当x=，y=时，代数式2x+y的值为6，代数式3x-y的值为9。

（3）一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当b2-4ac0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac0时，方程没有实数根。

（二）创设情境

前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用，数学的价值。

（三）讲解例题

　　1、展示课本P.19~P.20，例1，例2。

说明和建议：

（1）让学生明确解这尖题的步骤是：

首先用方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。

（2）对于基础较好学生可让他们自己探索解题方法，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验，教师加以适当的总结。

2、展示课本P.21，例3。

注意：

（1）利用“复习引入”中的内容让学生明确，当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），有两个相等的实数根。

（1）解这类题,首先要将方程整理成关于x2的一般形式,从而正确地确定x的二次项系数、一次项系数及常数项a，b，c（此题是用t表示），然后把问题化归为解一个（此题是关于t的）一元二次方程。

（四）应用新知

课本P.21，练习第1，2题

（五）课堂小结

1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？

2、在本节课的解题中要注意一些什么问题？

（六）思考与拓展

将进货单价为40元的商品按50元售出时，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润。

（1）写出x与y之间的关系式；

（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？

[解]

（1）商品的单价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是50-10x个，则依题意得y=[（50+x）-40]（500-10x），即y=-10x2+1000x+5000。

（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000。

整理，得x2-40x+300=0。

解得x1=10,x2=30。

所以商品的单价右定为50+10=60（元）或50+30=80（元）

当商品和单价为60元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）

布置作业

课本习题1.A组第1，2题，选做B组第1题。

教学后记：

1.3一元二次方程的应用

（2）

教学目标

1、会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释。

2、让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识。

重点难重

重点：

应用一元二次方程解决实际问题。

难点：

从实际问题中建立一元二次方程的模型

教学过程

（一）复习引入

1、复习列方程解应用题的一般步骤：

（1）审题：

仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；

（2）设未知数：

用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；

（3）列方程：

根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；

（4）解方程：

求出所给方程的解；

（5）检验：

既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；

（6）作答：

根据题意，选择合理的答案。

2、说一说，菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？

（二）讲解例题

1、展示课本P.22例4，按下列步骤讲解：

（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；

（2）确定本题的等量

关系是：

菱形的面积=×矩形面积；

（3）引导学生根据题意设未知数；

（4）引导学生根据等量关系列方程；

（5）引导学生求出所列方程的解；

（6）检验所求方程的解合理性；

（7）根据题意作答；

（8）按课本P.22∽P.23格式写出解答过程。

注意：

设未知数和作答时都不要漏写单位。

2、展示课本P.23例5，让学和仿照例4解答此题，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验。

在检验所求方程解的合理性时，教师要特别注意用图形引导学生思考，作出正确判断。

（三）应用新知

课本P.24，练习。

（四）课堂小结

1、用“

（1）审、

（2）设、（3）列、（4）解、（5）验、（6）答”六个字概括列方程解应用题的六步，使学和生对方程解应用题的步骤更熟悉。

2、在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。

（五）思考与拓展

如图1-2，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，

（1）如果子的顶端下滑1米，那么底端也将滑动1米吗？

（2）梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端距离。

[解]

（1）设底端将滑动x米，

依题意，得72+（x+6）2=102

解得x1=-6-（不合题意，舍去），

x2=-6＞-6=1（米）

-6＞-6＞1

（2）设顶端下滑x米则底端正好滑动x米，

依题意，得（8-x）2+（6+x）2=102

解得x=2（米）

答：

（略）

布置作业

课本习题1.3中A组第3题，选做B组第3题。

教学后记：

1.3一元二次方程的应用（3）

教学目标

1、会熟练地列出一元二次方程解应用题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。

2、在组织学生自主探索、相互交流、协作学习的过程中，培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志，在探索中获得成功的体验。

重点难点

重点：

会熟练地列出一元二次方程解应用题。

难点：

将实际问抽象为一元二次方程的模型

教学过程

（一）复习引入

提问：

1、列方程解应用题的基本步骤是什么？

2、利用一元二次方程解决实际问题时，特别要注意什么？

（二）探究新知

把学生分成若干个学习小组，让他们以小组为单位按课本P.24~P.26“探究”栏目设计的程序，进行探究学习，

然后各组之间相互交流，教师加以适当引导归纳，得出正确结论。

（三）讲解例题

例某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出350-10a件，物价局规定商品的利润不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，则每件商品的售价为多少元？

[解]依题意得（a-21）（350-10a）=400

整理得a2-56a+775=5

解得a1=25，a2=31

又因为21×（1+20%）=25.2

而a1=25＜25.2，a2=31＞25.2，

所以a=25

答：

每件售价为25元

点评：

（1）要掌握关系式：

利润=销售价-进价，从而得出：

“卖出商品的利润=卖出一件商品的利润×卖出的件数”这个等量关系。

（2）要注意题目的限制条件。

（四）应用新知

课本P.26，练习

（五）课堂小结

1、列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和等量关系。

2、列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题（解一元二次方程）求解。

（六）思考与拓展

在一个长为50米，宽30米的矩形空地上建造一个花园，要求修筑同样宽的道路，使余下的部分种植花草，且使花草的总面积是整块空地面积的，请你画出设计图，并计算路宽。

说明与建议：

（1）让学生分成几个小组共同设计，然后每个小组派一人上台演示自己小组所设计的方案，教师给出相应评价。

（2）下面提供两种设计方案：

方案一如图1-3，阴影部分是宽为x米的两条垂条直的

道路，则依题意有（50-x）（30-x）=×

30×50。

整理得x2-80x+375=0

解得x1=5＜30，x2=75＞30

依题意只能取x1=5（米）

方案二如图1-4阴影部分是宽为x米的道路，则依题意

有（50-2x）（30-2x）=×30×50，

整理得4x2-160x+375=0

解得x1=2.5＜30，x2=37.5＞30

依题意只能取x1=2.5（米）。

布置作业

课本习题1.3中A组第4题，选做B组第2题。

教学后记：

1.3一元二次方程的应用（4）

教学目标：

１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。

教学过程：

一、自主平台

１、列一元二次方程解应用题的一般步骤是：

（１）______________________________________________；

（２）______________________________________________；

（３）______________________________________________；

（４）______________________________________________；

（５）______________________________________________；

（６）______________________________________________。

２、从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了。

你知道竹竿有多长吗？

请根据这一问题列出方程。

３、列方程的关键是准确找出_______________关系。

二、新知探索

例１、一个三位数，十位上的数字比它个位上的数字大３，百位上的数字等于个位上的数字的平方。

已知这个三位数比它的个位上的数字与十位上

的数字的积的２５倍大２０２，求这个三位数。

思考：

（１）一个三位数与它各个数位上的数字有何关系？

也就是如何用各个数位上的数字表示三位数？

（２）由题意知，十位上的数字、百位上的数字都与个位上的数字有关，因此你可以设_____上的数字为______，那么______位上的数字为______，______位上的数字为________。

这个三位数可表示为_________。

解：

例２、如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器。

求这块铁皮的长和宽。

思考：

如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是_____，长是________。

从而可以根据相等关系：

______________，可以列出方程求解。

解：

三、知识应用

１、两个数的和为１６，积为４８。

求这两个数。

２、有一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大６，把这个两位数个位数字与十位数字对调，再与原数相乘，积为３６２７。

求这个两位数。

３、一个

直角三角形的三边长是连续整数。

求这三条边长。

４、一个多边形有１４条对角线，那么这个多边形的边数是多少？

５、等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多４cm，下底比高多20cm，求这个等腰梯形的高。

６、有一张长为80cm，宽为60cm的薄钢片，在4个角上截去相同的4个边长为的小正方形，然后做成底面积为1500cm3　无盖的长方体盒子。

求截去小正方形的边长。

７、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组互赠了１８２件。

求全组人数。

四、拓展延伸

如图所示，在一个长为５０米，宽为３０米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的７５％，等宽且互相垂直的两条路的面积占２５％，求路的宽度。

1.3一元二次方程的应用（5）

教学目标

1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关增长率问题．

2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。

教学重点：

学会用列方程的方法解决有关增长率问题．

教学难点：

有关增长率之间的数量关系．

教学过程：

一、新课引入：

（1）原产量+增产量=实际产量．

（2）单位时间增产量=原产量×增长率．

（3）实际产量=原产量×（1+增长率）．

二、新课讲解：

例1 某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长的百分率是多少？

分析：

设月平均增长的百分率为x．

注意以下几个问题：

（1）为计算简便、直接求得，可以直接设增长的百分率为x．

（2）认真审题，弄清基数，增长了，增长到等词语的关系．

（3）用直接开平方法做简单，不要将括号打开．

练习1.某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨，三月份上升到7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？

练习2．教材P.96中3．

练习3．若设每年平均增长的百分数为x，分别列出下面几个问题的方程．

（1）某工厂用二年时间把总产值增加到原来的b倍，求每年平均增长的百分率．

（2）某工厂用两年时间把总产值由a万元增加到b万元，求每年平均增长的百分数．

（3）某工厂用两年时间把总产值增加了原来的b倍，求每年增长的百分数．

以上学生回答，教师点拨．引导学生总结下面的规律：

设某产量原来的产值是a，平均每次增长的百分率为x，则增长一次后的产值为_________，增长两次后的产值为__________，…………增长n次后的产值为____________．

例2 某产品原来每件600元，由于连续两次降价，现价为384元，如果两个降价的百分数相同，求每次降价的百分数？

分析：

设每次降价的百分数为x．

第一次降价后，每件为600-600x=600（1-x）（元）．

第二次降价后，每件为600（1-x）-600（1-x）·x=600（1-x）2（元）．

解：

引导学生对比“增长”、“下降”的区别．如果设平均每次增长或下降的百分数为x，则产值a经过两次增长或下降到b，可列式为a（1+x）2=b或a（1-x）2=b．

练习4.教材P.96中4．

三、课堂小结：

1．善于将实际问

题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．

2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．

3．我们只学习一元一次方程，一元二次方程的解法，所以只求到两年的增长率．3年、4年……，n年，应该说按照规律我们可以列出方程，随着知识的增加，我们也将会解这些方程．

四、作业:

教材P.99习题4.3中1.2.教材P.102复习题中7.

自我评价：

一、选择题:

将下列各题中唯一正确答案的序号填在题后括号内。

1.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元,则平均每次调价的百分率是（）　A、9%　　　B、10％　　　C、11％　　　D、12％

2.某商品连续两次降价，每次都降20﹪后的价格为

元，则原价是（）

（A）

元（B）1.2

元（C）

元（D）0.82

元

3.一工厂计划2007年的成本比2005年的成本降低15%，如果每一年比上一年降低的百分率为x，那么求平均每一年比上一年降低的百分率的方程是（）

　　A、（1-x）2=15%　B、（1+x）2=1+15%　C、（1-x）2=1+15%　D、（1-x）2=1-15%

二、填空题：

4.某林场第一年造林200亩，第一年到第三年共造林728亩，若设每年增长率为x，则应列出的方程是________________________。

5..某工厂第一季度生产机床400台，如果每季度比上一季度增长的百分数相同，结果第二季度与第三季度共生产了1056台机床，这个百分数是_______.

三、列方程解应用题.

6..某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。

7.．某厂1月份生产零件2万个，一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率.

*8..某工厂计划两年内把产量翻一番，如果每年比上一年提高的百分数相同，求这个百分数。

9.某科技公司研制成功一种产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，贷款的合同上约定两年到期时，一次性还本付息，利息为本金的8﹪。

该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本息外，还盈余72万余。

若该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，试求这个百分数。

10.某人购买了1000元债券，定期一年，到期兑换后他用去了440元，然后把剩下的钱又全部购买了这种债券，定期仍为一年，到期后他兑现得款624元。

求这种债券的年利率。

11.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份营业额的月平均增长率。

1.3一元二次方程的应用（6）

教学目标：

１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性；

２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。

教学过程：

一、情境问题

问题1、一根长22cm的铁丝。

（1）能否围成面积是30cm2的矩形？

（2）能否围成面积是32cm2的矩形？

并说明理由。

分析：

如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm，那么矩形的宽是__________。

根据相等关系：

矩形的长×矩形的宽=矩形的面积，

可以列出方程求解。

解：

问题2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=3cm。

点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动。

如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤3）。

那么，当t为何值时，△QAP的面积等于2cm2?

解：

二、练一练

1、用长为100cm的金属丝制作一个矩形框子。

框子各边多长时，框子的面积是600cm2？

能制成面积是800cm2的矩形框子吗？

解：

2、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△PBQ的面积等于8cm2？

解：

三、课后自测：

1、如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动。

经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？

2、如图，在Rt△ABC中，AB=BC=12cm，点D从点A开始沿边AB以2cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，问点D出发几秒后四边形DFCE的面积为20cm2？

3、如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。

在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B为追上时的位置）？

4、如图，把长AD=10cm，宽AB=8cm的矩形沿着AE对折，使D点落在BC边的F点上，求DE

的长。

5、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。

（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？

如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。

1.3一元二次方程的应用（7）

教学目标

1、使学生会用列一元二次方程的方法解决有关商品的销售问题．

2、进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力和分析问题解决问题的能力，培养学生应用数学的意识。

教学重点：

学会用列方程的方法解决有关商品的销售问题．

教学难点：

如何找出商品的销售问题中的等量关系。

教学过程：

一、预习尝试：

某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？

二、典型示例：

例1、 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施。

经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件。

如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

例２、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，椐市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克。

针对这种水产品的销售情况，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

（月销售利润＝月销售量×销售单价－月销售成本．）

三、课堂小结：

1．善于将实际问题转化为数学问题，严格审题，弄清各数据相互关系，正确布列方程．培养学生用数学的意识以及渗透转化和方程的思想方法．

2．在解方程时，注意巧算；注意方程两根的取舍问题．

四、作业:

教材P.100习题4.3中9.

分层训练：

一、基础巩固

　1、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。

如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？

2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元。

为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施。

调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张。

商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？

二、拓展延伸：

3、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个。

调查表明：

这种台灯的售价每上涨一元，其销售量就将减少10个。

为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？

这时应进台灯多少个？

4、某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。

根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：

在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售200件。

请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利9100元？

5、某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出200件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商

品每件的销售价每提高0.5元其销售量就减少10件，问应将每件售价定为多少元时，才能使每天利润为640元？

三、探究创新：

6、某商场销售某种品