中考数学分析资料隐圆最值模型.docx
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中考数学分析资料隐圆最值模型
2021年中考数学复习资料
隐圆最值模型与训练题
隐氏圆模型题训练
1如图r在AABC中,BC=4rAB二2AC,则AABC的面积的最大值为。
2•如图,AABC中■AC=6,BC=8.AB=10,圆C的半径为4,点D是圆C上一动点,连接AD,BD,贝IJAD+1BD的最小值为:
3•如图,在RtZXABC中.zACB=90°,AC=4,
BC=3,点D是AABC内一动点.且满足CD=2,
4•如图,已知菱形ABCD的边长为4,zB=60°,圆B的半径为2,P为圆B上一动点,则PD+^PC的最小值为:
6•如图,四边形ABCD是边长为4的正方形,圆
B的半径为2,P是圆B上一动点,则厲PD+4PC
的晟小值为
7•如图,边长为4的正方形的内切圆记为圆
0•P是圆0上一动点,则QPA+PB的最小值
8•如图,等边aABC的边长为6,内切圆记为
圆6P是圆O上一动点,则2PB+PC的最小值
为。
问题探究
如图,在边长为10的正方形ABCD中,点G是BD边的中点.E、F分别是AB和CD边上的点,请直接写出四边形BEFG的面积的協大值是,请探索四边形BEFG的周长是否存
在最小值,如果存在,请求出其最小值,若不存在说明理宙.Ar—~D
/
问题解决
(2)若铺小路CE所用的石材每米的造价为a元•铺小路DE所用的石材每米的造价为2a元,则当四边形CODE的面积星大时,铺设小路DE和CE的总造价是否最低?
若是,请用含a的代数式表示r若不是,请确定E的位宙使总造价最低,并求出最低造价(用含a的代数式表示)
问题解决
如图,是街心花园的一角,在扇形AOB中,zAOB=90°#0A=12米,在围墙OA和0B上分别有两个入口C和D.AC=4m,D为OB中点,出口E在弧AB上r沿CE、DE从入口到岀口铺设两条景观小路,在四边形CODE内种花,在剩余区域种草。
⑴出口E设在距M线OB多远处可使四边形CODE的面积显大?
显大面积是多少?
如图.AB为©O的直径•且点「仔丫関匕OCLAB.垂足为点6P为丫閱上任恿一点《不与点「亜合).过F点作PEOC干点F・MOPE的内心为・M半点P午半圆卜从点〃运动到点/«时.则内心刖所经过的路径长为
Ma/画此
如图,肋为0。
的直径,tL4"4・点C任半圆上,OC丄・4B.垂足为点6P为半圆上任意一点(2j点台).过P点作PE丄0C十点&设的辱为*当点P在半圆上从点〃运动到点J时,則巴也迤塑聖竺为』心
;3“十・
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、4常匕二厶°科“"5I二舟•込厶述心
隐圆最值模型
解决隐圆最值模型问题的关键点在于:
发现和确定动点的运动轨迹。
-日•确左点的运动轨迹是一个圆,就可以利用点到圆上的最短、最长距离立理求解出最短或最长线段。
下面我们来研究一下隐圆最值问题。
隐圆最小线段、最大线段问题模型头篆号:
数学频逍
求最值是常见的数学问题,几何最值又是各地中考中的热门话題•随着直线型问題逐渐被我们熟悉,圆中的最值问题也走进了我们的视野.
圆中的最值问题多出现在动点轨迹圆中.即动点的轨迹是一个潜在的圆。
然后在确定动点轨迹为圆后,可以依据点到圆上的聂小线段长度、最大线断线长度来进行线段最值得求解。
隐圆最值问題从整体上划分有一个基本模型,对应两个类型的题型。
基本模型:
点到圆上聂小距离、最大距藹问题。
沃条号「数学频逍
基本题型;
(1)定点定长定圆问題
(2)定线定角定圆问题
基本模型
如图1、2,平面内有一定点月和一动点几点P的运动轨谨是圆0,连结.40并延长.分别交圆于从(两点.则朋为"的聂小仏M为〃的聂大值,即聂小值为彳%最大值为川0+半径.头.条号:
数学频逍
图1
阳2
例1如图3,在中,厶CE=90。
,Z.ABC=50°,将MX绕顶点「顺时针旅转,得到AA例C,只0分别長"、MN的中点,AC=2t逹结P0,则旅转时/V长度的最大值畏().
(A)2亦(B)2^3(C)76(D)3
分析:
连结他,点戸是定点,点°是动点,欲求理长度的最大值,就得知道©的运动轨迹.
在这里,可以利用点Q是RZ4NC斜边的中点,得出(◎是定值,到定点的距离尊于宦值,由圆的定义可以联想到运动轨建是圆.
再结合基本模型,可以得出代?
长度的聂大值为POC073,所以选D.
例2(2015年宁波考纲)如图4,二次函数y=ax2+bx+c(a^O)的图象交x轴于点
心,0),3(4,0),交y轴于点C,过3,C»ia,并连结AC.
(1)求二次函数的解折式和直线BC的解析式.
(2)点厂長线段上的一点,过点F作MBC内接正方形DEFG9便得边QE
头条号:
数学频道
落在工轴上,点G在%上,GF交V轴于点
①求该正方形的边长;
②将线段EF延长,交抛物线于点",那么点F是/〃/的中点吗?
请说明理由.
(3)在
(2)的条件下,将线段BF绕点Z?
旅转,在族转的过程中,点尸始终为(7••的中
总请直接写出线段"的最大值.
E头条号;数学频道
图4
分析⑴二次函数解析式为"-护+詁+2直线解析式为y=-|x+2⑵①%②不是;
(3)本题中,O是定点,P畏动点,取眈的申点K,连绪BF.PK,由题意,得PK=+bF=+^K(2J)
■7
所以P的运动轨迹是一个以K为圆心,专忝为半径的圆,所以OP的最大值为OK+泸弋炳
例3(2016年宁波考纲〉如图5,隹導廉RjMBC申,朋=BC=2.点p为萼屢
RZBC所在平面内一点.且满足巴1丄PB.則P「的取值范围为.
分析:
根据条件可知线段M〃是定值.且川〃所对的张角厶是定值.根据同弧所对的
圆周丸相等可知.动点"的运动轨谥在过点4、b、卩三点的圆周上(不与久n
又因为上二90°.所以皿恰好是直径。
连结(0并延长交圆。
分别为人■故"最小,最大,所以尸c的取值范图为石一1SPCS般十I
例4(2013年武汉中考题)如图6,E、F長正方形/依(7)的边AD±两个动点,满足AEH连结心交〃。
于点s连结处交处于点〃。
若正方形的边长为乙
分析:
衽确定动点〃的轨迹时,需要我们先去证明厶〃—9(T。
因为AEf
易证MBE=MJCF,得到少CF=MBE,由正方形对称性可知^AG=MXG,得到/DCF=ZDAG、所以厶HB=9Qo.再考虑到E、尸是边川D上两个动点,所以动点"的轨迹是以M中点为圆心,£曲为半径的£圆,连接仞,故可求得M长度的最小值是75-1.
例5(2016年宁波考纲)如图7,00半径为3.RZBC的顶点R,B在G)O上.
ZB=90。
点G在0。
内,且lanJ=|,当点・4在圆上运动时,O「的最小值为(〉
4
⑷42(B)|(0幕(D>|
D
分析:
。
是定点.「是动点,确定点c的运动轨迹是本题的难点•延长・"•交圆于点
并延长,交圆于点F,连结皿.头条号;数学频道
因为tan/f=^,所以ZJO为定值,即ZBCfi为定值.
4
因为00半径为3.=S所以肋二符合定线定角定圆这种类型.故点C•的运
动轨迹是过丛c,E三点的圆弧且在Oo内部.
不妨设圆心为a,连结0占,0.0
因为Z^C£+ZD=180°,ZOt=ZD
所以乙BCE+g=180°
易得ZO、=ZACB=ZFEB
所以A/・:
q()为直角三角形,且tanq斗
因为0—3所以()上丄0.0=—
44
所以最小值为OQ-OiE=g
例6(2016年宁波考纲)边长为3的等边“肚的顶点轴的正半轴上移动,
顶点〃在射线OD上移动.厶OD=30J则顶点「到原点O的最大距离为
头条号:
数学频道
分析:
此题戾点是点(儿动点是点C,尽管血9=3是确定的,但由于点4〃都是在动的,故确便点C的运动轨迹时难度仍较大.
不妨换个角度来希问思,正难则反,把正2BC看咸是不动的,此时平面直角坐标系在动,原点O在运动时满足ZAOB=30°,而ZAOD所对的边•也是不变的,符合定线定角定QD这种类型.所以点O的运动轨迹是过点4B.O三点的圆弧(优弧血上),取圆心E,连结Q.EB
因为ZAOB=30°9所以ZJ£B=60。
t
是边长为2的正三角形,CE=2爲.
连绪阳并延长,交圆子点O,此时co聂大,最大值为CE+半径=2、厅+2
从上面的几个例子中可以发现,模型中难度叔大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型,但在实际的解题过程中,会遇到各种困难,这时就需要我们利用题目的巳知条件,挖掘潘在的结论,把隐藏在里面的圆还原出来.
e*…一•一勺2,点p是啊c
1一
深度剖析一类隐含圆的动点问题
挖掘隐含条件破解动点问题
一、动点问题中可构建圆的基本结论
1.“定线定角”隐藏着外接圆
如图1,已知线段AB二1,点C是直线AB上方的一个动点,ZACB=30°,动点C的路径是什么?
想一想:
在直线AB上方找这样的点C,能找到多少个?
把这些点连起来成的图形是怎样的图形?
通过思考可知,在直线AB上方可以找到无数个点C,耙这些点连结起来是一条圆弧.
再想一想:
如何画出弧所在的圆?
根据条件,圆周角是30°,圆心角是60°,画等边三角形AABC就可以了.0点就是圆心,半径就是线段AB的长,可以画岀一个圆.
实际上,这个问题可以这样理解:
如图1,因为C点是动点,则A,B,C三点构成的AABC是一个动三角形,其中线段AB是立长,Z是一个泄角,且线段AB所对的角是Z.由'‘同圆或等圆中相等的圆周角所对的弦相等”可知,点C是在AABC的外接圆上运动.画圆的关键是找圆心,左半径.因为AB是弦,00的圆心是在AB的垂直平分线上,ZC是圆周角,所以在圆中所对的圆心角ZC是60°,即ZA0B二60°,0A二0B,画等边三角形AAOB,圆的半径R二4,动点C构成O0的一段优弧,即点C的路径长就是优弧ACB的长.
变式其它条件不变,ZC的度数改为45°,60°,«(0°<«<90°),求点C路径.
图2
如图2,线段AB二4是定值,当ZC=
或等圆中相等的圆周角所对的弦相等”,可知这些问题中所求C点应在某个圆上运动.构画出圆,从
而使问题中原本隐含的条件和信息在圆中展现岀来.
2.“公共料边的直角三角形”隐藏着外接圆
如图3,已知线段AB二1,画出平而内满足ZACB二90°的所有动点C组成的图形.
想一想,能画出的是什么图形?
经过分析思考可知,所有动点C组成的图形是圆(图4)・
图3图4
再想一想:
圆心怎么找?
半径是多少?
€)0各点都是使ZACB二90°的点C吗?
通过画图可让我们联想到:
直径所对的圆周角是90°直角,从而画出隐藏的圆.
再根据“90°的圆周角所对的弦是直径”可知,AB是圆的直径,圆心是AB的中点,所以半径是2•点C在点A、点B处不能构成直角三角形,所以动点C组成的图形是除A,B两点的圆.
二、实际应用
例1如图5,在平而直角坐标系中,点0为坐标原点,A,B,C三点的坐标分别为
(73,0),(373,0),(0,5),且ZADB二60°,点D在第一象限.求线段CD的最小值.
V
解如图6,由"筋=60。
,作等腰MP3,且Z加=120。
,则P为圆心,过P点作PE丄AB于E,垂足为E・
"(点0)/(3矗0),
・•・E(2VI0),PE=lP4=2PE=2,二尸(2屈1).
•••C(0,5),
・•・PC=7(2^)2+(5-l)2=712+16=728=2^7・当P.D.C三点共线时,CD最短.
又•・•PD=PA=2,
:
.CD=PC-PD=2护-2,
即CD最小值为2命-2・
注:
这道题中ZADB-600是左角,线段AB二2J3是泄线段,由基本结论可知,存在一个隐圆,圆的半径是左值,求最值的问题就转化成圆外一点到圆上一点的最值问题.
例2如图7,正方形ABCD的边长为2,P是对角线BD上的一个动点(不与B,D重合),连结AP,过点B作BH丄AP,H为垂足,连结DH,求线段DH的最小值.
解如图8,取曲的中点O,连结OH.OD,则0.4=1.
■BH丄AP;SABH是直角三角形,
.\OH=AO=-.4B=1,
2
在RZOD中,
OZ)=Jo才+血?
=JF+2?
=.
在中,0H+DN>0Df
二当O:
D:
H三点共线时,DH的长度最小,此时,
DH=0D-0H=后一\・
注:
解题的关键是找到共斜边的宜角三角形隐藏的外接圆.解题中要能自己创造图形,挖掘问题本质,就能知其然,也知其所以然,从而牢固建立系统的知识体系,而且能灵活应用所学的知识解决问题.
三、反思
1.认真审题找突破口
中考试卷中常会出现动点问题,其中一类动点题,看似无圆,但其中隐藏着圆的模型•如"左线左角”、"有公共斜边的直角三角形”等.我们应通过去伪成真,让“圆”形显露,再利用圆的性质解决问题.
2.抓准延伸点思维持续生长
在审题时要寻找题目中的特征,挖掘隐含条件,抓准知识的延伸点,让自己的思维持续生长.平时要注意积累解题方法,它对你来说就是一种解题模式,当你碰到类似问题或求解英他问题时,就能起到指引作用.解题后要归纳、总结和反思,使思维品质不断提升.
3.找出数学模型求出正确结果
在平时的学习中,对基础知识、基本图形、基本方法、基本结论要进行深人研究,把解题的过程当作建立数学模型的过程,并在建模过程中培养自己的数学应用能力•变与不”都是相对的,变的是几何问题或图形,不变的是解题思路和数学本质•在解题过程中,要抓住图形的特点,从中发现解决该问题的数学模型,并快速求岀正确结果.
11.如图,在锐角△ABC中,AB=4,BC=5,ZACB=45•,在ZkABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中,点M为线段AB的中点,点N是线段A[C]上的动点,则线段MN的长度的最大值是,最小值是.
12、如图,00的半径是4站,四边形ABCD为。
0的内接矩形,AD=12,M为DC的中点,E为00上一个动点,连接DE,作DF丄DE交射线EA于F,连接MF,则MF的最大值是
如图,在RtAABC中,ZC=90%AO3,BO4,圆C的半径为2,点P是圆C上的一动点,
PE_2
PB^2
CECP1
由题可知,在CB上截取,CE=L则—ZPCB为公共角^>ACPE^ACBP
=>AP+—PBmin=AP+PE>AE=,/10
CL111:
啊0的半径为「A.B为圆外两个定点』足圆上一动点•己知i-kOB.连接PA.PB,当PA»kPB取最小值时,如何确定P点的位趕©
阿氏圆娠木模型Q
己知:
圆0的半径为nA.B为圆外两个定点』是圆上一动点。
已知-kOB,连接PA,PB,当JPA金取最小值时,如何确定P点的付胃。
如图,菱形ABCD的边长为2,ZABC=60°,OA与BC相切于点E,点P是OA上的-个动点,则PB+乎PD的彊小值为•
在AABC中,ZA(B(=12,以点「为圜心,6为半径的
圆上有一个动点D・连接UKBD、CD.则2UH3BD的最小值是_・
阿氏圜解决方案,①构造母卅I似/形②刈点之.间线段般短I
75()R()P1
连接O化做线段OR~•连接朋二OP^Oiri
小加乙BOP:
.,)PW)rp_=1
・2
:
.'勺CPR三点兀线时仃录小他为CR=^7
..1PC^PB^1{PC>\PH)2(/\3r
四边形ABCD圧边长为4的正方形Q"的卜径足2/为O〃匕的动点.连接PCPD,求2PD+4胆的加小值.数学大宇
阿氏闘解决方来:
①构造皓产相似加形②两点z间线毁赧短
2
RQKP2
做线段〃(严连接卩0而访弋
ZPRQ=/DRP:
.△/"0s△肋/>.攀=_1
-ID4
“”伽4心4(亍PDW)=4(/08
/.l\CP(J[点庆线时仃址小值为
正方形的边长为4、P为内切関匕的•个动点、求逅PA+PB的彊小值
止方形的边长为4.P为内切闘上的一个功点•求运PA+p£U;小依
或a(皿十钏丿
M;PM比PA殴加三知A况|Q卢过型心.却
⑷讣.屁护忡耐丸.
【答案:
A]
“隐形圆”之“定角定角平分线模型”
一.模型解读
如图,已知AABC中,ZBAC=«(建角),AD平分ZBAC,且AD=m(定值),我们把这类三角
形称为“左角立角平分线模型”,下而我们来研究一下它可能会考查哪些问题。
过D作DH丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG,且为左值;
•?
ZBAC=a为泄角,・・・ZHDG二180°-a,
•••ZBDH+ZCDG二a,也是定角,
在AB上截取HE二CG,则厶DHE^ADGC.
•••ZBDE二ZBDH+ZCDG二a,
那么ABDE是一个左角泄髙三角形,我们可以通过研究ABDE的相关最值,来分析AABC的相关最值。
下而通过例题来说明。
二、例题分析
【例1】如图,已知/XABC中,ZBAC二60°,AD平分ZBAC,交BC于D,且AD二6,则AABC而积的最小值为_・
【简答)VZBAC=60°,AD平分ZBAC,
•••ZBAD=ZCAD=30%
过D作DH丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG=3,
.\ZBDH+ZCDG=60°,
贝ijADHE^ADGC,
易证Sig~S曲龙+2S&qg5而Sum——x3x3壬—f>
•••要使AABC面积最小,只需ABDE面积最小,
作ZXBDE的外接圆OO,过O作ON丄BE于N,连接OD,OB,OE,头莖@巧学豹学
VZBDE=60°,/.ZBOE=120°,设00的半径为r,则BE=>/3r,ON=1/,
2
•••OD+ONnDH,••"+丄r>3f:
.r>2,
2
・•・S^de=-B£P//=ixAx3=—r>3>/3,•••△BDE面积的最小值为3厉,•••△ABC面积的最小值=3a/5+2x婕=12、厅.
2
由上题还可以看出,当"定角定角平分线,'的三角形面积取最小值时,它是一个等腰三角形。
【例2】如图,已知△ABC,ZBAC=120°,AD平分ZBAC,交BC于D,AD-2,求AB+AC的最小值。
【简答】•••ZBAC=120。
,AD平分ZBAC,
•••ZBAD=ZCAI>60Q,
过D作DII丄AB于H,作DG丄AC于G,则DH=DG=,AH=AG=1,
在BA的延长线上取点N,使HN=CG,则AB+AOBH+CG+AH+AG—BN+2,
要使AB+AC最小,只需BN最小。
VZBCA=120°,AZHDG=60°,AZBDH+ZCDG=120°,•••ZBDN=ZBDI1+ZCDG-120%(则ZiBDN是一个定角定高三角形)
作△BDN的外接圆QO,过O作OM丄BN于连接OB,ON,OD,
设OB=ON=OD-r,贝lJOM=!
r,BN-J3r,
2
IOM+DH •+73 2 AAB+AC-BN+2>8,AAB+AC的最小值为& 很明显,当AB+AC取得最小值时,AABC依然是一个等腰三角形。 头畀@巧喊学 三、实战练习 问题提出 (1)如图①,在MBC中,ZJCB=90°,/E平分ZCAB, 戏C=6,^=10,则点E到力B的距离为. 问题探究 (2)如图②,在\ABC中,ZC=90°,ZJ=60°,5C=2,点D为斜边ABk一点,且ZEDF=90°,ZEDF的两边交MC于点交BC于点F,若DE二DF,求四边形DECF的面积. 问题解决 (3)为了美化城市,某公园准备设计一个三角形赏花园如图③,为赏花园的大致轮廓,并将赏花园分成A5£7儿ADFC和四边形AEDF三部分,其中在四边形AEDF区域内种植64疗平方米的牡丹,在A/JED和ADFC两区域种植薰衣草,根据设计要求: Z^C=120%点、D、点E・点F分别在边BC、边肿和边AC±,且DE=DF,ZEDF=60。 为了节约种植成本,三角形赏花园川BC的面积是否存在最小值,若存在,请求出MBC面积的最小值: 若不存在,请说明由. 【解答】 (1)如图①中,作丄曲于H・疝®巧学如 图① 在RtAACB中,vZC=90°,AC=6,JS=10, ABC=V/152-^C2=>/l02-62=8, •・•应平分CAB,・•・Z.CAE=ZE4H, ・•・Z川CE=ZAHE=90°,A£=AEf : .MEC=AAEH(AAS)f /.AC=AH=69EC=EH,设EC二EH=x, 在RtAEHB中,•••EH1+BH2=BE2, ax2+42=(8-x)2,解得x=3,・・・EH=3,故答案为3. (2)如图②中,作DM丄BC于DNSN,连接CD. •••ZDNC=Z.DMC=ZMCN=90°,・•・四边形DNCM是矩形, ・・・ZNDM=90°, •••ZNDM=ZEDF, ・・・ZNDF=AMDE, •••ZDNE二DME二90°,DE=DF,: .2NF=ADME(AAS), ・•・DN=DM‘S^^DECF二知g' 在RtAACB中,vZJCB=90°,ZJ=60°5C=2, ・・・AC=BCHan30°=—,JB=2ziC=—, 33 ••S*BC 殳2x迹丄2・M+~U邑DN, 23223 本题属于四边形综合题,考査了四边形的面积,全等三角形的判怎和性质,解直角三角形等知识.解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.学会运用“左角左角平分线”模型解题,辨别该模型与前而所学的“左角龙髙”、“左角泄中线”、“泄角泄周”等模型的区别和联系! 例k问題提出匸如图;b左RlAASC中r也M8=90・,C8=4, 阿氏圆最值问题 "=6,©C半径为乙P 尝试解%为了無决这个问题,下面给出一种輕迦恿路: 如国2,连按CP.在“上取 点0便€0=1,则有寻=£=¥又•:
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