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《二次函数》预习提纲
一、二次函数的概念和图像
1、二次函数的概念
一般地,如果y=ajc+Zzx+c(d,b,c是常数,qhO),那么y叫做x的二次函数,
y=aj(?
+bx+c(a,b,c是常数,ghO)叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像:
二次函数的图像是一条关于x=~—对称的曲线,这条曲线叫抛物线。
2a
抛物线的主要特征:
①有开口方向;②有对称轴;③有顶点。
几种特殊的二次函数的图像特征如下:
函数解析式
开口方向
对称轴
顶点坐标
y=ax2
当a>0时
x=0(y轴)
(0,0)
y=ax1+k
开口向上
x=0(y轴)
(0,k)
y=a(x-/t)2
当a<0时
x=h
(/?
0)
y=a(x—hf+k
开口向下
x=h
(h,k)
y=a^C+bx+c
b
x=
2a
b4ac-h2
(,)2a4a
例:
二次函数y=a(x+ni)2-\-n的图象如图,则一次函数y=mx+n的图彖经过()
A.第一、二、三彖限B.第一、二、四彖限C.第二、三、四彖限考点:
二次函数的图象;一次函数的性质。
解:
・・•抛物线的顶点在第四彖限,
•I-m>0,n<0,
・••一次函数y=nix+n的图象经过二、三、四象限,故选C.
2.二次函数的解析式
(1)二次函数有四种表达形式
1二次一项式型:
形如y=ax2(a是常数,且aHO),x取任意实数。
2二次二项式型:
形如y=ax2+bx(a是常数,且aHO,b是常数,bHO),x取任意实数。
3二次二项式型:
形如y二ax?
+c(a是常数,且aHO,c是常数,cHO),x取任意实数。
4二次三项式型:
形如y二ax'+bx+c(a是常数,且aHO,b是常数,bHO,c是常数,cHO),x収任意实数。
(2)不论是哪一种表示形式,都必须规定aHO,否则,就没有了二次项,二次函数就没有意义了。
(3)二次函数解析式的三种形式:
(1)一般式:
y=ax2+处+(?
(0,/?
(?
是常数,qhO)
(2)顶点式:
y=a(x-/if+k(a,h,k是常数,a^O)
(3)交点式:
y=d(x_x】)(兀_花)(aHo)
当抛物线y=+〃X+C与X轴有交点时,即对应二次好方程+bx+c=0有实根兀]和兀2存在时,根据二次三项式的分解因式ox2-vbx+c=a(x-x,)(x-x2),二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式丁=以兀一兀])(兀一兀2)(详0)。
如果没有交点,则不能这样表示。
例:
将抛物线y=3x2向上平移3个单位,再向左平移2个单位,那么得到的抛物线的解析式为()
A.y=3(x+2)2+3B.y=3(兀一2尸+3C.y=3(x+2)2-3D.j=3(x-2)2-3
考点:
二次函数图象与几何变换。
解:
由“上加下减”的原则可知,将抛物线y=3+向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:
y—3x2+3;
由“左加右减”的原则可知,将抛物线y=3x2+3向左平移2个单位所得抛物线的解析式为:
y—3(x+2)~+3.
故选A.
三、二次函数的】
即当兀=-需时,y最值=
4ac-b2
""4a
如果口变量的取值范圉是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),
如果自变量的取值范围是X.<^ 2a h4cic—b? 在此范围内,则当x=-^-时,y最伉=: ;若不在此范围内,则需要考虑函数在<^ 例: 如图,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0),C(3,0),0(3,4).以A为顶点的抛物线y二ax'+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同吋动点Q从点C出发,沿 线段CD向点D运动•点P,Q的运动速度均为每秒1个单位.运动时间为t秒.过点P作PE丄AB交AC 于点E. (1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式; (2)过点E作EF丄AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时, AACG的面积最大? 最大值为多少? (3)在动点P,Q运动的过程中,当t为何值吋,在矩形 ABCD内(包括边界)存在点H,使以C,Q,E,H为顶点的 四边形为菱形? 请直接写出t的值. 分析: (1)根据矩形的性质可以写岀点A得到坐标;由顶点A的坐标可设该抛物线的顶点式方程为y二a (x-1)知4,然后将点C的坐标代入,即可求得系数a的值(利用待定系数法求抛物线的解析式); (2)利用待定系数法求得直线AC的方程y二・2x+6;由图形与坐标变换可以求得点P的坐标(1,4・t),据此可以求得点E的纵坐标,将其代入直线AC方程可以求得点E或点G的横坐标;然后结合抛物线方程、图形与坐标变换可以求得GE=4■仝、点A到GE的距离为二,C到GE的距离为2■丄;最后根据三角形的 422 而积公式可以求得Saacg=Saaeg+Saceg=■丄(t・2)2+1,由二次函数的最值可以解得1=2时,Smcg的最 4 大值为1;(3)因为菱形是邻边相等的平行四边形,所以点II在直线EF上. 解答: 解: (1)A(1,4).・••(1分) 由题意知,可设抛物线解析式为y二a(x-1)稈4 •・•抛物线过点C(3,0), /.0=a(3-1)2+4,解得,a=-1, ・・・抛物线的解析式为y二-(x-1)'+4,即y=-x2+2x+3.…(2分) (2)VA(b4),C(3,0), •••可求直线AC的解析式为y二・2x+6. •••点P(1,4-t).…(3分) 将y=4-t代入yf+6中,解得点E的横坐标为E+寺…(4分) ・••点G的横坐标为1+乞,代入抛物线的解析式中,可求点G的纵坐标为4・七2 2 22 ・・.GE二(4-二)-(4-t)二t-亘・・•(5分) 44 又点A到GE的距离为二,C到GE的距离为2- 22 即S^c讦S^eg+Smeg二丄・EG・Z+丄・EG(2・兰) 2222 二丄・2(t-£)二-丄(t-2)2+1.…(7分) 244 当t二2时,Sam的最大值为1・…(8分) ⑶t=-|mt=20-8V5-―分) X (说明: 每值各占(2分),多出的值未舍去,每个扣1分) 点评: 本题考查了二次函数的综合题.其屮涉及到的知识点有待定系数法求二次函数的解析式,待定系 数法求一次函数的解析式以及三角形而积的求法. 四、二次函数的性质 1、二次函数的性质 两数 二次函数 y=ax1+-c(a,b,cM常数,么工0) a>0 a<0 图像 性质 (1)抛物线开口向上,并向上无限延伸; (2)对称轴是x=-—,顶点坐标是(-仝, 2a2a 4ac-b2 ); 4a 亠#b (3)在对称轴的左侧,即当xv——时,y随x 2a 的增大而减小;在对称轴的右侧,即当 b x>时,y随X的增大而增大,简记左减 2a 右增; (4)抛物线有取低点,当x二时,y有取小 2a 什4ac-b2 值,〉最小值一4a (1)抛物线开口向下,并向下无限延伸; (2)对称轴是x=-2,顶点坐标是(-仝, 2a2a 4ac-b2 ); 4。 h (3)在对称轴的左侧,即当XV——时,y随 2a X的增大而增大;在对称轴的右侧,即当 x>时,y随x的增大而减小,汕记左 2a 增右减; (4)抛物线有最高点,当x=-—时,y有最 2a 亠"^cic-b2 大值,y最大值_4° 2^二次函数ymqx2+〃x+c(a,Z? c是常数,qhO)中,ci、b、c的含义: 。 表示开口方向: a>0时, 抛物线开口向上,QVO时,抛物线开口向下 b与对称轴有关: 对称轴为x=-2la c表示抛物线与y轴的交点坐标: (0,c) 例2・已知二次函数y=2(x-3)2+l.下列说法: ①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.则其屮说法正确的有() A.1个B.2个C.3个D.4个 考点: 二次函数的性质。 分析: 结合二次函数解析式,根据函数的性质对各小题分析判断解答即可. 解答: 解: ①・・・2>0,・・・图象的开口向上,故本小题错误; 2图象的对称轴为直线x=3,故本小题错误; 3其图彖顶点坐标为(3,1),故本小题错误; 4当x<3时,y随x的增大而减小,正确; 综上所述,说法正确的有④共1个.故选A. 例3.设二次函数y二x'+bx+c,当xWl时,总有yNO,当1WxW3时,总有yWO,那么c的取值范闱是 ()A.c=3B.c$3C.1WcW3D.cW3 考点: 二次函数的性质。 分析: 因为当xWl时,总有y$0,当1WxW3时,总有yWO,所以函数图彖过(1,0)点,即1+b+c二0①,有题意可知当x=3时,y二9+3b+cW0②,所以①②联立即可求出c的収值范围. 解答: 解: ・・•当xWl吋,总有y$0,当1WxW3吋,总有yWO, ・•.函数图象过(1,0)点,即1+b+c二0①, ・.•当1WxW3时,总有yWO, 当x二3时,y=9+3b+cW0②, ①②联立解得: cN3, 故选B. 五、二次函数与一元二次方程: 1.二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与x轴交点情况): 一元二次方程or2+加+c=0是二次函数y=ax1+bx-vc当函数值y=0时的特殊情况. 图象与兀轴的交点个数: 1当4=Z? 2-4dc>0时,图象与兀轴交于两点力(西,0),3(兀2,0)(兀|工%2),其中的兀1,吃是一元二次 方程用+加+*0(心0)的两根.这两点间的距离血十_咄="订4"・ 2当△=()时,图象与兀轴只有一个交点; 3当时,图象与兀轴没有交点. r当a>0时,图象落在兀轴的上方,无论x为任何实数,都有y>0; 2,当时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有y<0・ 2.抛物线j=ax2+bx+c的图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c); 3.二次函数常用解题方法总结: (1)求二次函数的图象与兀轴的交点坐标,需转化为一元二次方程; (2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式; ⑶根据图象的位置判断二次函数y=ax2+bx+c中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c•的符号判断图象的位置,要数形结合; ⑷二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与兀轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. A>0 抛物线与兀轴有两个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 A=0 抛物线与X轴只有一个交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 A<() 抛物线与兀轴无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. 数有关的还有二次三项式,二次三项式衣+加+c@工0)本身就是所含字母X的二次函数;下面以G>0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系: 例1・已知抛物线尸k(x+1)(x-|)与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,则能使AABC为等腰三角形 的抛物线的条数是()A.2B.3C.4D.5 考点: 抛物线与x轴的交点。 分析: 根据抛物线的解析式可得C(0,3),再表示出抛物线与x轴的两个交点的横坐标,再根据ABC是等腰三角形分三种情况讨论,求得k的值,即可求出答案. 解答: 解: 根据题意,得C(0,-3).令y=0,则k(x+1)(x・£)二0,乂=・1或*更, kk 设A点的坐标为(-1,0),则B(-? 0), k 1当AC二BC时,0A二0B二1,B点的坐标为(1,0),总二1,k二3; k 2当AC=AB时,点B在点A的右面时, VAC=^12+32-V10,则AB=AC=V10,B点的坐标为(帧-1,0), k3 3当AOAB吋,点B在点A的左面吋,B点的坐标为(帧,0),k辭; k10 所以能使AABC为等腰三角形的抛物线的条数是3条;故选B. 点评: 此题考查了抛物线与x轴的交点,此题要能够根据解析式分别求得抛物线与坐标轴的交点,结合等腰三角形的性质和勾股定理列出关于k的方程进行求解是解题的关键. B.3 D.9 例2: 二次函数y=ax2^bx的图彖如图,若一元二次方程ax2+hx+m=0有实数根,则加的最大值为 考点: 抛物线与X轴的交点。 解: ・・•抛物线的开口向上,顶点纵坐标为-3, /ea>0.=—3,即=12d, 4d T一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根, ・・・△=/—4g力\0,即12^-46/m>0,即12-4/? ? >0,解得m<3, ・・・m的最大值为3. 故选B. 六、确定二次函数关系式的基本题型 1二次函数关系式设为: y二ax'(a=#0) 例1、有一座抛物线形拱桥,正常水位时,AB宽为20米,水位上升3米就达到警戒水位线 CD,这时水面的宽度为10米。 请你在如图1所示的平面直角坐标系中,求岀二次函数的解 析式。 解: 根据图象,知道抛物线的对称轴是y轴,顶点坐标为原点,所以,不妨设二次函数的解析式: y二ax'(a=#0), 因为,AB二20,所以,FA二FB二10, 因为,CDP0,所以,EC二ED二5 所以, 点A的坐标为(T0,必),点C的坐标为(-5,力),所以,必二aX(-10)2=100a,旳二aX(-5)2=25a, 因为,EF二3,所以,力一必二3, 所以,25aT00a二3, 解得: a二-丄,所以,所求函数的解析式: y二-丄x2o 2525 小结: 当知道抛物线的顶点坐标为原点,且对称轴是y轴时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下: 1设二次函数的解析式为: y二ax'(a#=0) 2把已知点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a的一元一次方程; 3解方程,求得a值; 4把a的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。 2二次函数关系式设为: y=ax2+bx(a#=0) 例2、王强在一次高尔夫球的练习中,在某处击球,其飞行路线满足抛物线),= 55 其中…)是球的飞行高度,…)是球飞出的水平距 2m,如图2所示。 (1)请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. (2) 请求出球飞行的最大水平距离. (3)若王强再一次从此处击球,要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞,则球飞行路线应满足怎样的抛物线,求出其解析式. 所以,抛物线y= Q +尹的开口向下, 顶点为碍 对称轴为直线x=4o 解: ⑵令y=°,得: 于+|*0, 所以,球飞行的最大水平距离是8m・ (3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变,则球飞行的最大水平距离为10m所以,抛物线的对称轴为兀=5,顶点为(5,—设此时对应的抛物线解析式为: y=ax2+bx(a#=0), 因为,抛物线经过点(10,0), 所以,100a+10b=0,即10a+b二0, 因为,抛物线经过点(5,— 5 所以,25a+5b=—,即5a+b=—, 525 叙仲16.32 解得: a=,b, 12525 所以,二次函数的解析式是: L罟宀存。 小结: 当知道抛物线经过原点,且抛物线与X轴相交,要求二次函数的解析式,通常的解题 思路如下: 1设二次函数的解析式为: y二ax'+bx(a=#0) 2把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a、b的二元一次方程组; 3解方程组,求得a、b值;④把a、b的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。 3二次函数关系式设为: y=ax2+c(a=#0) 图3 例3、桂林红桥位于桃花江上,是桂林两江四湖的一道亮丽的风景线,该桥的部分横截面如图3所示,上方可看作是一个经过A、C、B三点的抛物线,以桥面的水平线为X轴,经过抛物线的顶点C与X轴垂直的直线为丫轴,建立直角坐标系,已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱)C0=1米,FG=2米 (1)求经过A、B、C三点的拋物线的解析式。 (2)求柱子AD的高度。 解: 因为,抛物线的对称轴是y轴, 所以,设二次函数解析式为: y=ax2+c(a=/=0), 因为,二次函数图象过点C(0,1), 所以,ch, 因为,此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2米(图中用线段AD、CO、BE等表示桥柱),且FG=2米, 所以,点F的坐标是(-4,2), 所以,16a+1=2,解得: a二丄, 16 所以,二次函数的关系式是: y二丄/+1; 16 (2),因为,0D二8米, 设点A的坐标是(-8,y), 所以,y=—X(-8)2+1=5, 16 因此,柱子AD的高为5米。 小结: 当知道抛物线的顶点在y轴上,和抛物线上的一个点A(x,,yj时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下: 1设二次函数的解析式为: y二ax'+c(a=#0) 2把点的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a,c的二元一次方程组; 3解方程组,求得a、c值; 4把a、c的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。 4.二次函数关系式设为: y=a(x-h)2(a#=0) 例4、在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,0),且过点B(3,4).求该二次函数的解析式。 解: 设二次函数解析式为: y二a(x-1)2, 因为,二次函数图象过点B(3,4), 所以,4a=4, 解得: a=1,所以,二次函数解析式为: y二(x-1)2,即y二x'-2x+1。 小结: 当知道抛物线的顶点坐标: M(h,0)和抛物线上的一个点A(Xi,yj时,要求二次函数的解析式,通常的解题思路如下: 1设二次函数的解析式为: y二a(x-h)2a=/=0) 2把点A的坐标代入所设的解析式中,转化成关于a的一元一次方程; 3解方程,求得a值; 4把a的值代入所设的解析式中,得二次函数的解析式。 5•二次函数关系式设为: y=a(x-h)2+k(a*0) 例5、在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4),且过点B(3,0)•求该二次函数的解析式。 解: 设二次函数解析式为: y二a(x-1)-4, 因为,二次函数图象过点B(3,0), 所以,4a-4二0, 解得: a=1,所以,二次函数解析式为: y二(x-1)2-4,,即y=x2-2x-3o 7.中考二次函数压轴题常考公式(必记必会,理解记忆)、 1、两点间距离公式阳 (当遇到没有思路的题时,可用此方法拓展思路,以寻求解题方法)° 如图: 点A坐标为(X],yi)点B坐标为(X2,y? ) 则AB间的距离,即线段AB的长度为JdrY+(y-力)2E 2,二次函数图象的平移 1图象平移示意图 一般地,平移二次函数y二的图象便可得到二次函数y二a(x_h)2+k的图象. 上、下歿—ry=cu^+k^移 y=ajT上、下移」丄左、右移y=6/(x-h)2+k ②图象的平移方法 1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y二a(x-h)“k的形式.即y=ax2+bx+c 3+乙+£) aa [x^+2X-Lx+(±)2- 2a2a (x+±)2+±Ez^. 2a4a 所示. ③平移规律 在原有函数的基础上“力值正右移,负左移;k值正上移,负下移”.特别记忆一同左上加异右下减(必须理解记忆) 说明: ①函数中此值同号,图像顶点在y轴左侧同左,ab值异号,图像顶点必在Y轴右侧异右。 2 向左向上移动为加左上加,向右向下移动为减右下减。 y—yx=kx-\-b=(tana)x+b= 此公式有多种变形牢记 力―X 由直线上两点确定的直线的两点式方程,简称两式: 4、直线方程: ②点斜y-y{=k^x-x{) 3斜截直线的斜截式方程,简称斜截式: y=kx+b(kHO) 4截距由直线在x轴和,轴上的截距确定的直线的截距式方程,简称截距式: 专+*i 牢记口诀一-两点斜截距一两点点斜斜截截距 5、设两条直线分别为,/】: y=k}x+b{l2: y=k2x+b2若厶//乙,贝lj有厶〃厶0«=心 6,点P(x(),y0)到直线y二kx+b(即: kx-y+b二0)的距离: d= |5_刃)+闿=|5_儿+用Ji+(_1)2JQ+1 且勺工“2。 若£JL/20k、•心=一1 7,抛物线y=ax2+hx+c中,abc,的作用 (1)d决定开口方向及开口大小,这与y=ax2中的a完全•一样. (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=d+加+c的对称轴是直线 AA 兀=——,故: ①方=0时,对称轴为y轴;②->0(即°、0同号)时,对称轴在丿轴2aa 左狈! 1;③—<0(即°、b异号)时,对称轴在y轴右侧. a 口诀—同左异右 (3)c的大小决定抛物线y=a)c+/zr+c与y轴交点的位置. 当兀=0时,y=c,・・・抛物线y=a^+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c): 1c=0,抛物线经过原点; 2c〉0,与y轴交于正半轴; ③c<0,与y轴交于负半轴. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立•如抛物线的对称轴在y轴右侧,则-<0.a 例1.二次函数y二ax'+bx+l(aHO)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t=a+b+l,则t值的变化范围是() A.0 考点: 二次函数图象与系数的关系。 分析: 由二次函数的解析式可知,当x二1时,所对应的函数值y二t二a+b+1. 把
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