广东省清远市清城区届高三上学期期末考试A卷数学理试题附答案.docx

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广东省清远市清城区届高三上学期期末考试A卷数学理试题附答案

广东省清远市清城区高三第一学期期末统考（A）卷

数学（理）试题

（本卷满分150分，时间120分钟）

一、选择题（60分，每题5分）

1．若集合

（）

A．

B．

C．{2，3}D．2，3

2.已知复数

（

为虚数单位）.则其共轭复数

在复平面内所对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3．已知倾斜角为

的直线l与直线x－2y+2=0平行，则

的值为（）

A．

B．

C．

D．

4．设

，

，那么“

”是“

”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5.执行如图所示的程序框图，则输出

的值是（）

A.10B.12

C.100D.102

6.已知某几何体的三视图如图所示，

则该几何体的表面积为（）

A.40B.30C.36D.42

7．如图所示，点

，

是曲线

上一点，向矩形

内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（）

A．

B．

C．

D．

8．已知矩形

，

分别是

、

的中点，且

，现沿

将平面

折起，使平面

⊥平面

，则三棱锥

的外接球的体积为（）

A．

B．

C．

D．

9.已知函数

在区间（0、1）内任取两个实数

、

，且

，若不等式

恒成立，则实数

的取值范围为（）

A.

B.

C.

D.

10．函数

的最小正周期是

，若其图象向右平移

个单位后得到的函数为奇函数，则函数

的图象（）

A．关于点

对称B．关于

对称C．关于点

对称D．关于

对称

11．已知双曲线c：

，以右焦点F为圆心，|OF|为半径的圆交双曲线两渐近线于点M、N（异于原点O），若|MN|=

，则双曲线C的离心率是（）

A．

B．

C．

D．

12．已知函数

，（b，c∈R），集合

，若存在

则实数

的取值范围是（）

A．

B．

或

C．

D．

或

二、填空题（20分，每题5分）

13.已知向量

满足

且、

则

与

的夹角

为。

14.已知函数

有两个零点，则实数

的取值范围是．

15.已知

，删除数列

中所有能被2整除的数，剩下的数从小到大排成数列

，则

．

16.已知函数

及

，若对于任意的

，存在

使得

恒成立且

，则称

为“兄弟函数”已知函数

是定义在区间

上的“兄弟函数”，那么函数

在区间

上的最大值为

三、解答题（70分）

17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱

中，底面

是边长为2的等边三角形，过

作平面

平行于

，交

于

点．

（1）求证：

；

（2）若四边形

是正方形，且

，求二面角

的余弦值．

18.（本小题满分12分）

已知函数

．

（1）求函数

的单调区间：

（2）是否存在实数

，使得对任意的

，都有函数

的图像在

的图像的下方？

若存在，请求出整数

的最大值；若不存在，请说理由：

（参考数据：

）

19．（本小题满分12分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：

吨）进行统计，最近50天的统计结果如下表：

日销售量

1

1．5

2

天数

10

25

15

频率

若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．

（1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1．5吨的概率；

（2）已知每顿该商品的销售利润为2千元，

表示该种商品某两天销售利润的和（单位：

千元），求

的分布列和数学期望．

20.（本小题满分12分）

以椭圆

的四个顶点为顶点的四边形的四条边与

：

共有6个交点，且这6个点恰好把圆周六等分.

（Ⅰ）求椭圆

的方程；

（Ⅱ）若直线

与

相切，且与椭圆

相交于

，

两点，求

的最大值.

21.（12分）选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系

中，曲线

的参数方程为

（其中

为参数），

曲线

，以坐标原点

为极点，

轴的在半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求曲线

的普通方程和曲线

的极坐标方程；

（Ⅱ）若射线

与曲线

分别交于

，

两点，求

.

22．（10分）选修4—5：

不等式选讲

已知函数

．（Ⅰ）若不等式

的解集为

，求实数

的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若存在实数

使

成立，求实数

的取值范围．

数学（理）答案

一、1-12：

CADBACABCACD

二、13.

14.

15、

16.2

三、

17、

（1）证明见解析；

（2）

解析：

（1）

证：

连结

，设

与

相交于点

，

连接

，则

为

中点，

∵

平面

平面

平面

，

∴

，∴

为

的中点，

又∵

是等边三角形，∴

；

（2）

因为

，所以

，

又

，所以

，又

，所以

平面

，

设

的中点为

的中点为

，以

为原点，

所在的直线为

轴，

所在的直线为

轴，

所在的直线为

轴，建立空间直角坐标系

．

则

，

即

，

设平面

的法向量为

，

由

，得

，令

，得

，

设平面

的法向量为

，

由

，得

，令

，得

，

∴

．

18.解：

（1）函数

的定义域是

，

．

当

时，

对任意

恒成立，

所以，函数

在区间

单调递增；

当

时，由

得

，由

得

，

所以，函数在区间

上单调递增，在区间

上单调递减．

（2）假设存在实数

满足题意，则不等式

对

恒成立，

即

对

恒成立，

令

，则

，

令

，则

，

∵

在

上单调递增，

，

且

的图象在

上连续，

∴存在

，使得

，即

，则

，

∴当

时，

单调递减；

当

时，

单调递增，

则

取到最小值

，

∴

，即

在区间

内单调递增，

，

∴存在实数

满足题意，且最大整数

的值为1

19.解：

（1）

，

，

依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率

，

设5天中该种商品有

天的销售量为1．5吨，而

，

所以

．

（2）

的可能取值为4，5，6，7，8，

，

，

，

，

，

所以

的分布列为：

4

5

6

7

8

0．04

0．2

0．37

0．3

0．09

的数学期望

（千元）．

20.本小题主要考查圆的方程、椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，分类与整合思想等，满分12分.

解法一：

（Ⅰ）如图，依题意

.

因为

，所以

，得

.

故椭圆的方程为

.

（Ⅱ）当直线

的斜率不存在时，直线

的方程为

，

代入

，得

，此时

，

当直线

的斜率存在时，设直线

的方程为

，

因为直线

与

相切，所以

，即

.

由

，消去

，整理得

，

，

由

，得

.

设

，

，则

，

，

所以

，

所以

.

当且仅当

，即

时，

取得最大值

.

综上所述，

的最大值为

.

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）当直线

的斜率不存在时，直线

的方程为

.

代入

，得

，此时

.

当直线

的斜率存在时，设直线

的方程为

，

因为直线

与

相切，所以

，即

.

由

，消去

，整理得

，

，

由

，得

.

设

，

，则

，

，

所以

，

所以

令

，因为

，所以

.

于是

.

由

，得

，所以当

，即

，解得

，

故

时，

取得最大值

.

综上所述，

的最大值为

.

21.选修4-4：

坐标系与参数方程

本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等，满分12分.

解：

（Ⅰ）由

得

，

所以曲线

的普通方程为

.

把

，

，代入

，

得

，

化简得，曲线

的极坐标方程为

.

（Ⅱ）依题意可设

.

因为曲线

的极坐标方程为

，

将

代入曲线

的极坐标方程得

，

解得

.

同理将

代入曲线

的极坐标方程得

.

所以

.

22．解：

（Ⅰ）由

得

，∴

，即

，

∴

，∴

．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，令

，

则，

∴

的最小值为4，故实数

的取值范围是

．