极坐标与参数方程知识点总结.docx
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极坐标与参数方程知识点总结
第一部分:
坐标系与参数方程
【考纲知识梳理】
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点
在变换
x
?
x,
0
:
?
y,
的作用下,点Px,y对应到点
y
0
Px,y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
简称伸缩变换.
2.极坐标系的概念
(1)极坐标系
如图
(1)所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一
个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向
),这样就建立了一个极坐标系.
注:
极坐标系以角这一平面图形为几何背景
而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景
;平面直角
坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系
而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐
标系.
(2)极坐标
设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为
;以极轴Ox为始边,射线OM为终
边的角
xOM叫做点M
的极角,记为.有序数对,
叫做点M的极坐标,记作M,
.一般地,不作特
殊说明时,我们认为
0,
可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为0,
R。
和直角坐
标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示
.如果规定
0,0
2,那么除极点外,平面内的点可用
唯一的极坐标,
表示;同时,极坐标
表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标和直角坐标的互化
(1)互化背景:
把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图
(2)所示:
(2)互化公式:
设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是x,y,极坐标是,0,于
是极坐标与直角坐标的互化公式如表:
点M直角坐标x,y极坐标,
x
cos
2
x2
y2
互化公式
sin
tan
y
x0
y
x
在一般情况下,由tan
确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.
4.常见曲线的极坐标方程
曲线图形极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
圆心为r,0,半径为r的圆
圆心为
r,,
半径为r的圆
2
过极点,倾斜角为的直线
过点a,0,与极轴垂直的直线
过点a,,与极轴平行的直
2
线
r02
2r
22
2rsin0
(1)
R或
R
(2)
0或
0
cosa
22
sin
a0
注:
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一
即
,
2
,
都表示同一
点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同
.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式
只要求至少
有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程
点M
4
可以表示为
4
M,
2或M
2或M
4
5
等多种形式,其中,只有M
的极坐标满足方程
4
4
4
4
4
4
4
.
二、参数方程
1.参数方程的概念
一般地,在平面直角坐标系中
如果曲线上任意一点的坐标
x,y
都是某个变数t的函数
x
ft
①,并且对
ygt
于t的每一个允许值,由方程组①所确定的点Mx,y都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数
方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程
叫做普通方程.
2.参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方
程.
(2)
如果知道变数
x,y
中的一个与参数t的关系
例如
x
ft,
求出另一个变数与参数
把它代入普通方程
的关系ygt
那么
x
ft
就是曲线的参数方程
在参数方程与普通方程的互化中
必须使
x,y的取
y
gt
值范围保持一致.
注:
普通方程化为参数方程,参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题,关键在于适当地设
参数,如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示,设圆
O的半径为r,点M从初始位置M0出发,按逆时针方向在圆
O上作匀速圆周运动,设
Mx,y
x
rcos
为参数。
这就是圆心在原点
O,半径为r的圆的参数方程,其中
的几何意
,则
rsin
y
义是OM0转过的角度。
圆心为
a,b,半径为r的圆的普通方程是x
a2
y
b2
r2,
它的参数方程为:
x
a
rcos
y
b
为参数。
rsin
4.椭圆的参数方程
以坐标原点O为中心,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为x2
y2
1ab
0其参数方程为
a2
b2
x
acos
为参数,其中参数
称为离心角;焦点在y
轴上的椭圆的标准方程是
y
bsin
y2
x
2
1a
x
bcos
为参数其中参数
仍为离心角,通常规定参数
的
a2
b2
b0其参数方程为
asin
y
范围为
0,2
。
注:
椭圆的参数方程中,参数
的几何意义为椭圆上任一点的离心角,要把它和这一点的旋转角
区分开
来,除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外(即在
0到2
的范围内),在其他任何一点,两个
角的数值都不相等。
但当
0
时,相应地也有
0
,在其他象限内类似。
22
5.双曲线的参数方程
以坐标原点
O为中心,焦点在
x轴上的双曲线的标准议程为
x2
y
2
0,b0其参数方程为
a2
1a
b2
x
asec
为参数,其中
0,2
且
3
。
y
btan
2
2
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是
y2
x2
1a
0,b
x
bcot
a2
b2
0其参数方程为
为参数,其
y
acsc
中0.2且
以上参数
都是双曲线上任意一点的离心角。
6.抛物线的参数方程
以坐标原点为顶点,开口向右的抛物线
y2
2px
p0的参数方程为
x
2pt2
t为参数
y
2pt
7.直线的参数方程
经过点M0
x0,y0,倾斜角为
的直线l
的普通方程是yy0
tan
x
x0而过M0x0,y0
,
2
倾斜角为
x
x0
tcos
t为参数。
的直线l的参数方程为
y0
tsin
y
注:
直线参数方程中参数的几何意义:
过定点M0x0,y0,倾斜角为
的直线l的参数方程为
x
x0
tcos
M
x,y为终点的有向线段
y
y0
t为参数,其中t表示直线l上以定点M0为起点,任一点
tsin
M0M的数量,当点M在M0上方时,t>0;当点M在M0下方时,t<0;当点M与M0重合时,t=0。
我们也可以把参数
t理解为以M0为原点,直线l向上的方向为正方向的数轴上的点
M的坐标,其单位长
度与原直角坐标系中的单位长度相同。
【要点名师透析】
一、坐标系
(一)平面直角坐标系中的伸缩变换
〖例〗在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换
x/
3x
:
y
2y/
(1)求点A1,
2经过变换所得的点
A的坐标;
3
B
(3,1)
,求点B的坐标;
(2)点B经过
变换得到点
2
(3)求直线l:
y
6x经过变换后所得到直线的
l方程;
C:
x2y21
(4)求双曲线64经过变换后所得到曲线C的焦点坐标。
(二)极坐标与直角坐标的互化
A(2,
4
),B(2,5
)
〖例
2〗在极坐标系中,如果
4
为等边三角形
ABC的两个顶点,求顶点
C的极坐标
(
0,0
2)。
(三)求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P,Q分别在∠AOB的两边OA,OB上,∠AOB=,⊿POQ的面积为8,求PQ中点M的
3
极坐标方程。
(四)极坐标的应用
〖例〗如图,点A在直线x=4上移动,⊿OPA为等腰直角三角形,⊿OPA的顶角为∠OPA(O,P,A依次按顺时针方向排列),求点P的轨迹方程,并判断轨迹形状。
二、参数方程
(一)把参数方程化为普通方程
〖例〗已知曲线
C:
(t为参数),C:
(
为参数)。
(1)化C,C
的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;
(2)若C上的点P对应的参数为t
,Q为C上的动点,求
中点
到直线
2
x
3
2t
C3:
2
(t为参数)距离的最小值。
y
t
(二)椭圆参数方程的应用
在平面直角坐标系中,点是椭圆上的一个动点,求
的最大值
解答:
(三)直线参数方程的应用
〖例〗过点作倾斜角为的直线与曲线交于点,求的值及相应
的的值。
解析:
(四)圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C的参数方程是为参数),且曲线C与直线=0相交于两点A、B
(1)求曲线C的普通方程;
(2)求弦AB的垂直平分线的方程(3)求弦AB的长【感悟高考真题】
1.在极坐标系中,点(2,3)到圆
2cos
的圆心的距离为()
2
2
(A)2(B)
2.在极坐标系中,圆
41
9(C)9(D)3
2sin的圆心的极坐标是()
(1,
)
(1,
2
)
(A)
2
(B)
(C)(1,0)
(D)
(1,
)
x
cos
3.在直角坐标系
xOy中,曲线C1的参数方程为
y
1
sin
(为参数).在极坐标系(与直角坐标系
xOy有相同的长度单位,且以原点O为极点,以x
轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为
(cos
sin)
10,则C1与C2的交点个数为______
x
2cos
4.直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
y
3sin
(
为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy
取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,曲线C2的方程为
(cossin)10,则C1与C2的交点个数为___
5.
(1)(坐标系与参数方程选做题)若曲线的极坐标方程为
=2sin4cos,以极点为原点,极轴为x
轴正半轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为
.
6.(2011·陕西高考理科·T15C)直角坐标系xoy中,以原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
x
3cos
设点A,B分别在曲线C1:
y
4
sin
(
为参数)和曲线C2:
1上,则|AB|的最小值为
.
7.(坐标系与参数方程选做题)直角坐标系
xOy中,以原点为极点,
x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
x
3
cos
设点A,B分别在曲线C1:
y
sin
(
为参数)和曲线C2:
1上,则|AB|的最小值为
.
8.(2011.天津高考理科
.T11).已知抛物线C的参数方程为
x
8t2
(t为参数)若斜率为
1的直线经过抛
y
8t
物线C的焦点,且与圆(x-4)
2
+y2=r2(r>0)相切,则r=________.
x
5cos
x
5
t2
R)
≤<
)
4
(t
(0
9.(坐标系与参数方程选做题)已知两曲线参数方程分别为
y
sin
和y
t
,它们
的交点坐标为
.
x
3cos(为参数)
10.
(2)在直角坐标系
xOy中,直线l
的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为
ysin
.
(I)已知在极坐标系(与直角坐标系
xOy取相同的长度单位,且以原点
O为极点,以x轴正半轴为极轴)
中,点P的极坐标为
4,,判断点P与直线l位置关系;
2
(II)设点Q是曲线C上的一个动点,求它到直线
l的距离的最小值.
x
5cos
11.选修4-4:
坐标系与参数方程(本小题满分
10分)在平面直角坐标系
xOy中,求过椭圆
y
3sin(
x
4
2t
为参数)的右焦点,且与直线
y
3
t(t为参数)平行的直线的普通方程。
12.(2011·新课标全国高考理科·T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
uuuv
uuuv
为参数)M是C1上的动点,P点满足OP
2OM,P点的轨迹为曲线C2
x2cos
y22sin(
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3与C1的异于极点的交点为A,与C2
的异于极点的交点为B,求AB.
13.(2011·新课标全国高考文科·T23)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
x
2cos
uuuv
uuuv
y
22sin(
为参数)M是C1上的动点,P点满足OP
2OM,P点的轨迹为曲线C2
(Ⅰ)求C2的方程
(Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
3与C1的异于极点的交点为
A,与C2
的异于极点的交点为
B,求AB.
14.(2011·辽宁高考理科·T
23)(本小题满分10
分)(选修4-4:
坐标系与参数方程)在平面直角坐标系
x
cos
为参数)
y
sin
(
xOy
中,曲线
C1
的参数方程为
,曲线
C2的参数方程为
x
acos
b0,
为参数)
y
bsin
(a
.在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
l:
θ=a与
π
C1,C2各有一个交点.当
a=0时,这两个交点间的距离为
2,当a=2
时,这两个交点重合.
(I)分别说明C1,C2是什么曲线,并求出
a与b的值;
π
π
(II)设当
=4时,l与C1,C2的交点分别为
A1,B1,当a=-4时,l与C1,
C2的交点为
A2,B2,求四边形A1A2B2B1
的面积.
x
1
t
15.
极坐标p
cos
和参数方程
y
2
t
(t为参数)所表示的图形分别是(
D)
A.直线、直线B.直线、圆
C.圆、圆
D.圆、直线
16.极坐标方程(p-1)(
)=(p
0)表示的图形是
(A)两个圆
(B)两条直线
(C)一个圆和一条射线
(D)一条直线和一条射线
2sin
与
pcos
1
的交点的极坐标为______.
17.在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2)π中,曲线ρ=
x
cos
(
为参数,0
)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,
18.已知P为半圆C:
sin
y
点M在射线OP上,线段OM与C的弧
的长度均为
。
3
(I)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点
M的极坐标;
(II)求直线A
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- 坐标 参数 方程 知识点 总结