教师招聘考试真题中学数学科目及答案.docx
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教师招聘考试真题中学数学科目及答案
教师招聘考试真题[中学数学科目]
(满分为120分)
第一部分数学教育理论与实践
一、简答题(10分)
教育改革已经紧锣密鼓,教学中应确立这样的思想“以促进学生的全面发展为本,以提高全体学生的数学素质为纲”,作为教师要该如何去做呢?
谈谈高中数学新课程改革对教师的要求。
二、论述题(10分)
如何提高课堂上情境创设、合作学习、自主探究的实效性?
第二部分数学专业基础知识
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的。
1.复数(1+i)(1-i)=(
)
A.2
B.-2
C.2i
D.-2i
2
(3x2+k)dx=10,则k=(
2.
)
0
A.1
B.2
C.3
D.4
3.在二项式(x-1)6的展开式中,含
x3的项的系数是(
)
A.-15
B.15
C.-20
D.20
4.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如右图所示,
时速在[50,60)的汽车大约有(
)
A.30辆
B.40辆
C.60辆
D.80辆
5.某市在一次降雨过程中,降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似
地表示为
t2
)
f(t)=,则在时刻t=10min的降雨强度为(
100
A.
1
1
C.
1
D.1mm/min
mm/min
B.mm/min
mm/min
5
4
2
6.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f
(1)=2,则f(-3)等于
(
)
A.2
B.3
C.6
D.9
7.已知函数f(x)=2x+3,f-1(x)是f(x)的反函数,若
mn=16(m,n∈R+),则f-1(m)+f-1(n)
的值为(
)
A.-2
B.1
C.4
D.10
8.双曲线x2
-y2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是
F1,F2,过F1作倾斜角为
a2
b2
30°的直线交双曲线右支于
M点,若MF2垂直于x轴,则双曲线的离心率为(
)
A.6
B.3
C.2
3
D.
3
9.如图,α⊥β,α∩β=l,A∈α,B∈β,A,B到l的距离分别是a和b,AB与α,
β所成的角分别是θ和φ,AB在α,β内的射影分别是m和n,若a>b,则()
A.θ>φ,m>nB.θ>φ,m C.θ<φ,m y≥1 10.已知实数x,y满足y≤2x-1如果目标函数z=x-y的最小值为-1,则实数m等于() x+y≤m A.7 B.5 C.4 D.3 二、填空题(本大题共 5小题,每小题 3分,共 15分)把答案填在题中横线上。 2 2 与该椭圆有共同焦点,且一条渐近线是 11.x+4y=16的离心率等于 x+3y=0的双曲线方程是 。 12.不等式|x+1|+|x-2|≥5的解集为 。 y=sin θ+1 13.在直角坐标系xOy中,已知曲线 C的参数方程是 x=cos θ(θ 是参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴,则曲线 C的极坐标方程 可写为 。 14.已知函数f(x)=2x,等差数列{ax}的公差为2,若f(a2+a4+a6+a8+a10)=4, 则log2[f(a1)·f(a2)·f(a3)·,·f(a10)]= 。 15.已知: 如右图,PT 切⊙O 于点 T,PA 交⊙O 于A、B 两点且与直径 CT 交于点 D, CD=2,AD=3,BD=6,则 PB= 。 三、解答题(本大题共 5小题,共 45分。 )解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 16.(本小题满分 8分) 在△ABC中,∠B=,AC=2 5,cosC= 25。 4 5 (Ⅰ)求sinA; (Ⅱ)记BC的中点为D,求中线AD的长。 17.(本小题满分8分) 在一次数学考试中,第14题和第15题为选做题。 规定每位考生必须且只须在其中选做 一题。 设 4名考生选做这两题的可能性均为 1。 2 (Ⅰ)其中甲、乙2名学生选做同一道题的概率; (Ⅱ)设这4名考生中选做第15题的学生数为ξ个,求的分布列及数学期望。 18.(本小题满分8分) 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,侧面PAD⊥底面ABCD, 且PA=PD= 2 AD,若E、F分别为PC、BD的中点。 2 (Ⅰ)EF//平面PAD; (Ⅱ)求证: 平面PDC⊥平面PAD; (Ⅲ)求二面角B-PD-C的正切值。 19.(本小题满分 9分) 已知函数 fx=x 3+3ax-1,gx=f ′x-ax-5,其中 f′x 是 f(x)的导函数。 (Ⅰ)对满足 -1≤a≤1的一切 a的值,都有 gx<0,求实数 x的取值范围; (Ⅱ)设 a=-m2,当实数 m在什么范围内变化时,函数 y=fx 的图像与直线 y=3 只有一 个公共点。 20.(本小题满分12分) 2 +y 2 2 2 把由半椭圆x 2 2=1(x≥0)与半椭圆x 2+ y2=1(x≤0)合成的曲线称作“果圆”,其中 a b b c a2=b2+c2,a>0,b>c>0。 如下图所示,点 F0,F1,F2是相应椭圆的焦点, A1,A2和B1,B2 分别是“果圆”与 x,y轴的交点。 (1)若△F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程; (2)当|A1A2|>|B1B2|时,求b的取值范围; a (3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦。 试研究: 是否存在实数 k, 使斜率为k的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上? 若存在,求出所有可能的 k 值;若不存在,说明理由。 四、教学技能(10分) 21.结合教学实际,谈谈在具体数学教学中如何有效处理生成与预设的关系。 教师招聘考试模拟考卷[中学数学科目] 第一部分数学教育理论与实践 一、简答题 【答案要点】 (1)首先是从更新教育观念出发,建立由应试数学变为大众数学的新观点, 培养学生学数学、懂数学、用数学的意识,使之具有基本的数学素质。 (2)牢牢抓住课堂教学这个主阵地,从数学知识、数学意识、逻辑推理和信息交流四个层面入手,向40分钟要效益,克服重理论,轻实践,重结果,轻过程的倾向,冲破“讲得多”,“满堂灌”等束缚,更新教学方法,提高教学质量。 (3)数学教师素质的提高刻不容缓,教师必须有能力进行数学素质教育,这就需要教师 在观念层次、知识层次、方法层次等方面都能达到相应的高度,这样才能有效地开发学生的 数学潜能,达到提高数学素质的最终目的。 “大众数学的目标是人人学有用的数学,人人学好数学,人人学更多的数学”。 它要求 教学要重过程,重推理,重应用,以解决问题为出发点和归宿,它要求教学是发展的,动态 的,这有利于学生能力发展的要求。 教师要在新的教学观的指导下,充分发挥学生的主观能动性,让学生逐步学会求知和创 新,从而为学生获得终身学习的能力、创造的能力和长远发展的能力打好基础。 二、论述题 【答案要点】谈到课堂教学的实效性大家都不约而同地谈到一个问题——数学学习情境 的创设。 创设学习情境是为了更有效地引导学生学习数学、研究数学,是为学生的数学学习服务的。 而不是为了创造情境而创造情境,创设情境一定是围绕着教学目标,紧贴教学内容,遵循儿童的心理发展和认知规律。 在课堂实践中教师们用智慧为学生创设了多种有利于促进 学习的学习环境。 1.创设数学与生活紧密联系的学习环境 2.创设有思维价值的数学活动情境 3.创设源于数学知识本身的问题情境 4.创设思维认知冲突的问题情境 合作、自主探究学习首先要给学生独立思考、自主探究的空间。 一个人没有自己的独立 思考,没有自己的想法拿什么去与别人交流? 因此,独立思考是合作学习的重要基础。 其次, 合作学习要有明确的问题解决的目标,明确小组成员分工,组织好组内、组际之间的交流。 对学生的自主探索、合作交流,教师要加强指导。 除了培养学生合作的意识外,还要注意对 学生合作技能的训练和良好合作习惯的培养。 如倾听的习惯、质疑的能力,有条理汇报交流 的能力,合作探究的方法策略等。 对良好习惯的养成,合作探究技能的培养要持之以恒。 当 然,自主探究、合作学习都需要空间,教师要为学生的活动搭好台,留有比较充分的时间和 空间,以确保自主探究、合作学习的质量,使课堂教学的实效性得以落实。 第二部分数学专业基础知识 一、选择题 1.A【解析】(1+i)(1-i)=1-i2=2 2.A【解析】原式=x3+|kx|2=8+2k-0=10∴k=1 0 3.C【解析】略 4.C【解析】0.03×10×200=60 f(10)-f(9) 102 92 1 5.A【解析】 = - =(mm/min) 1 100 100 5 6.C【解析】令x=y=0,f(0+0)=f(0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0 令x=1,y=-1,f(-1)=f(0)=f (1)+f(-1)-2=0∴f(-1)=0 f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)+2=2 f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=6 7.A【解析】f-1(x)=log2x-3 f-1(m)+f-1(n)=log2m+log2n-6=log2(mn)-6=log216-6=4-6=-2 8.B【解析】|MF1|=2|MF2||MF2|=2a b2=2a2 b2 |MF1|-|MF2|=2a|MF2|= a ∴ 2 c2 a2+b2 3a2 e = a2= a2 = a2=3 e=3 m= AB2-b2 sin =bAB sin>sin 9.D【解析】n= AB2-a2 m>nsin =aAB a>b a>b > 10.B【解析】Zmin=x-y= m+1 2m-1 ∴m=5 - =-1 3 3 二、填空题 11. 3,x 2 -y2 =1 2 9 3 【解析】x 2 +y2 =1 ∴a=4,b=2,c=23 16 4 ∴e=c= 2 3 = 3设双曲线方程为 x2 y2 1 a 4 2 a2 b2 c2 =12 b = 3 2 2 x2 y 2 ∴a 3 a =9,b=3 ∴ - =1 c2 =a2+b2 9 3 12.x∈(-∞,-2)∪(3,+∞) 【解析】利用绝对值的几何意义。 13.ρ=2sinθ 【解析】略 14.-6 【解析】a2+a4+a6+a8+a10=5a6 5a6 ∴f(5a6)=2=4∴5a6=2 5 48 ∴a6==a1+5d∴a1= 5 2 原式=log22a1+a2+ +a10 =a1+a2+,+a10 =10(a1+a10)=5(a1+a1+9d)=-62 15.15 【解析】利用勾股定理和余弦定理。 三、解答题 2 5 5 16.【解析】(Ⅰ)由cosC= 5 C是三角形内角,得sinC=1-cos2C= 5 ∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC = 2 2 5 2 5 3 2 5 2 5 10 10 (Ⅱ)在△ACD 中,由正弦定理, BC = AC BC= AC sinA= 25 3 10=6 sinA sinB sinB 2 × 10 2 AC=25,CD= 1 2 5 BC=3,cosC= · 2 5 AC2CD22AC·CD·cosC· 由余弦定理得: AD= = 20 9 2 2 5 2 5 3 5 5 17.【解析】 (Ⅰ)设事件A表示“甲选做 14题”,事件B表示“乙选做 14题”,则甲、 乙2名学生选做同一道题的事件为“ AB+AB”,且事件A、B相互独立 ∴P(AB+AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B), = 1×1 +(1- 1 )×(1- 1 )= 1 2 2 2 2 2 (Ⅱ)随机变量ξ的可能取值为 0,1,2,3,4.且ξ~B(4, 1 ). ∴P(ξ=k)=C4k (1)k(1 1)4 k=C4k (1)4 2 (k=0,1,2,3,4) 2 2 2 所以变量ξ的分布列为 Ξ 0 1 2 3 4 P 1 1 3 1 1 16 4 8 4 16 Eξ=0×1+1×1 +2×3 +3×1+4×1=2或Eξ=np=4× 1 =2 16 4 8 4 16 2 18.【解析】解法一: (Ⅰ)证明: 连结 AC,在△CPA中EF//PA 且PA∈平面PAD ∴EF//平面PAD (Ⅱ)证明: 因为面PAD⊥面ABCD平面PAD∩面ABCD=ADCD⊥AD 所以,CD⊥平面PAD ∴CD⊥PA 又PA=PD= 2 APD= AD,所以△PAD是等腰直角三角形,且∠ 2 2 PA⊥PD CD∩PD=D,且CD、PDPCD PA⊥面PDC 又PAPAD面PAD⊥面PDC (Ⅲ)解: 设PD的中点为M,连结EM,MF,则EM⊥PD 由(Ⅱ)知EF⊥面PDC,EF⊥PD PD⊥面EFMPD⊥MF ∠EMF是二面角B-PD-C的平面角 1 2 1 1 Rt△FEM中,EF=PA= a EM= CD=a 2 4 2 2 EF 2a 2 = 4 = 故所求二面角的正切值为 tan∠EMF= 1 2 EM a 2 解法二: 如图,取AD的中点O,连结OP,OF。 ∵PA=PD,∴PO⊥AD。 ∵侧面PAD⊥底面ABCD, 平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PO⊥平面ABCD, 2 2 而O,F分别为AD,BD的中点,∴OF//AB,又ABCD是正方形,故OF⊥AD. ∵PA=PD= 2 AD,∴PA⊥PD,OP=OA=a。 2 2 以O为原点 直线 OA,OF,OP 为 x,y,z轴建立空间直线坐标系,则有 a a 0),D( a a a a A( 0,0),F(0, -,0,0),P(0,0,),B( a,0),C(-,a,0). 222222 ∵E为PC的中点,∴E(-a,a,a). 4 2 4 (Ⅰ)易知平面 PAD的法向量为 a a a OF=(0,,0)而EF=( 0,- ), 2 4 4 且OF·EF=(0,a,0)·(a,0,-a)=0,∴EF//平面PAD. 2 4 4 (Ⅱ)∵PA=( a a a a 0,- ),CD=(0,a,0)∴PA·CD=( 0,-)·(0,a,0)=0, 2 2 2 2 ∴PACD,从而PA⊥CD,又PA⊥PD,PD∩CD=D, ∴PA⊥平面PDC,而PA 平面PAD, ∴平面PDC⊥平面PAD a (Ⅲ)由(Ⅱ)知平面PDC的法向量为PA=(,0,-a2). 2 设平面PBD 的法向量为 a a n=(x,y,z).∵DP=( 0, ),BD=(-a,a,0), 2 2 ∴由n·DP 0,n·BD 0 可得 a·x+0·y+a·z=0, 2 2 -a·x+a·y+0·z=0, 令x=1,则y=1,z=-1, 故n=(1,1,-1) ∴cos n·PA= a =6 |n|·|PA| 2a 3 3 2 即二面角B-PD-C的余弦值为 6 二面角B-PD-C的正切值为 2. 3 2 19.【解析】(Ⅰ)由题意gx=3x2-ax+3a-5,令φx=3-xa+3x2-5,-1≤a≤1对-1≤a≤1,恒有gx<0,即φa<0 ∴φ1<0 3x2-x-2<0 φ-1<0 即 3x2+x-8<0 ,解得- 2 故x∈(- 3 2 1)时,对满足- 1≤a≤1的一切 a的值,都有 gx<0 3 (Ⅱ)f′x=3x2-3m2 ①当m=0时,fx=x3-1的图象与直线y=3只有一个公共点 ②当m≠0时,列表: x (-∞,|m|) -|m| (-|m|,|m|) |m| (|m|,+∞) f′(x) + 0 - 0 + F(x) ↗ 极大 ↘ 极小 ↗ ∴f(x)极小=f|x|=-2m2|m|-1<-1 又∵fx的值域是R,且在(|
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