新课标全国卷理科数学解析版.docx
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新课标全国卷理科数学解析版
2012年新课标全国卷理科数学试卷详解
(适用地区:
豫晋疆宁吉黑蒙冀滇)
第I卷(共60分)
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题有且只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(
,
)|
,
,
},
则B中包含元素的个数为()
A.3B.6C.8D.10
【解析】由集合B可知,
,因此B={(2,1),(3,2),(4,3),(5,4),(3,1),(4,2),
(5,3),(4,1),(5,2),(5,1)},B的元素10个,所以选择D。
【点评】本题主要考察复数的运算,属简单题。
2.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有()
A.12种B.10种C.9种D.8种
【解析】先安排甲组,共有
种,再安排乙组,将剩余的1名教师和2名学生安排到乙组即可,共有1种,根据乘法原理得不同的安排方案共有12种,故选择A。
【点评】本题主要考集合的基础知识,子集的含意。
3.下面是关于复数
的四个命题:
:
;
:
;
:
的共轭复数为
;
:
的虚部为
。
其中的真命题为()
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
【解析】因为
,所以
,
,
的共轭复数为
,
的虚部为
,所以
,
为真命题,故选择C。
【点评】本题主要考察椭圆的简单几何性质,标准方程的求解。
4.设
、
是椭圆E:
(
)的左、右焦点,P为直线
上一点,
是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为()
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示,
是等腰三角形,
,
,
,
,
,又
,
所以
,解得
,因此
,故选择C。
【点评】本题主要考察空间点到面的距离,及解三角形的知识。
5.已知{
}为等比数列,
,
,则
()
A.7B.5C.-5D.-7
【解析】因为{
}为等比数列,
所以由已知得
,
解得
或
,
所以
或
,
因此
,,故选择D。
【点评】本题主要考察等差数列的通项公式及裂项法求和。
6.如果执行右边和程序框图,输入正整数
(
)和
实数
,
,…,
,输出A,B,则()
A.
为
,
,…,
的和
B.
为
,
,…,
的算术平均数
C.
和
分别是
,
,…,
中最大的数和最小的数
D.
和
分别是
,
,…,
中最小的数和最大的数
【解析】由程序框图可知,A表示
,
,…,
中最大的数,
B表示
,
,…,
中最小的数,故选择C。
【点评】本题主要考察程序框图的应用。
7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为()
A.6B.9C.12D.15
【解析】由三视图可知,该几何体为
三棱锥A-BCD,底面△BCD为
底边为6,高为3的等腰三角形,
侧面ABD⊥底面BCD,
AO⊥底面BCD,
因此此几何体的体积为
,故选择B。
【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。
8.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在
轴上,C与抛物线
的准线交于A,B两点,
,则C的实轴长为()
A.
B.
C.4D.8
【解析】设等轴双曲线C的方程为
,
即
(
),
抛物线
的准线方程为
,
联立方程
,解得
,
因为
,
所以
,从而
,
所以
,
,
,
因此C的实轴长为
,故选择C。
【点评】本题主要考察双曲线和抛物线的几何性质。
9.已知
,函数
在(
,
)上单调递减,则
的取值范围是()
A.[
,
]B.[
,
]C.(0,
]D.(0,2]
【解析】因为
,
,所以
,
因为函数
在(
,
)上单调递减,
所以
,解得
,故选择A。
【点评】本题主要考察三角函数的图象和性质。
10.已知函数
,则
的图像大致为()
【解析】
的定义域为
且
,排除D;
因为
,
所以当
时,
,
在(-1,0)上是减函数;
当
时,
,
在
上是增函数。
排除A、C,故选择B。
【点评】本题主要考察函数的图象与性质,用流氓做法,排除即可。
11.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为()
A.
B.
C.
D.
【解析】如图所示,根据球的性质,
知
平面
,则
。
在直角
中,
,
,
所以
。
因此三棱锥S-ABC的体积
,故选择A。
【点评】本题主要考察锥体和球的性质。
12.设点P在曲线
上,点Q在曲线
上,则
的最小值为()
A.
B.
C.
D.
【解析】函数
与函数
互为反函数,图象关于直线
对称。
问题转化为求曲线
上点P到直线
的距离的最小值
,则
的最小值为
。
(用切线法):
设直线
与曲线
相切于点
,
因为
,所以根据导数的几何意义,
得
,
,
所以切点
,从而
,
所以
因此曲线
上点P到直线
的距离的最小值
为直线
与直线
的距离,
从而
,所以
,故选择B。
【点评】本题主要考察导数的几何意义,函数的对称性,求函数最小值的方法。
第Ⅱ卷(共90分)
本试卷包括必考题和选考题两部分。
第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答。
第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答。
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分,共20分。
13.已知向量
,
夹角为45°,且
,
,则
_________。
【答案】
。
【解析】由已知
。
因为
,所以
,
即
,解得
。
【点评】本小题主要考察平面向量的数量积的知识。
14.设
,
满足约束条件
,
则
的取值范围为___________。
【答案】[-3,3]。
【解析】
可行域如右图所示。
将目标函数
化为
。
显然当
过点B(1,2)时,
;
当
过点A(3,0)时,
。
因此
的取值范围为[-3,3]。
【点评】本小题主要考察线性规划的知识。
15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接
而成,元件1或元件2正常工作,且元
件3正常工作,则部件正常工作。
设三个
电子元件的使用寿命(单位:
小时)均服
从正态分布N(1000,502),且各个元件
能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_________。
【答案】
。
【解析】由已知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率均为
。
因此该部件的使用寿命超过1000小时的概率为
。
【点评】本小题主要考察概率与正态分布的知识。
16.数列{
}满足
,则{
}的前60项和为____________。
【答案】
。
【解析】因为
,
所以
,
,
,
,
,
,
……,
,
,
。
由
,
可得
;
由
,
可得
;
……
由
,
可得
;
从而
。
又
,
,
,…,
,
,
所以
。
从而
。
因此
。
【点评】本小题主要考察递推数列的知识。
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知
,
,
分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,
。
(1)求A;
(2)若
,△ABC的面积为
,求
,
。
【解析】
(1)根据正弦定理
,
得
,
,
,
因为
,
所以
,
即
,
(1)
由三角形内角和定理,得
,
代入
(1)式得
,
化简得
,
因为
,所以
,即
,
而
,
,从而
,解得
。
(2)若
,△ABC的面积为
,又由
(1)得
,
则
,化简得
,
从而解得
,
。
【点评】本小题主要考察正弦定理、余弦定理及三角变换的知识。
18.(本小题满分12分)
某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理。
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润
(单位:
元)关于当天需求量
(单位:
枝,
)的函数解析式;
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:
枝),整理得下表:
日需求量
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
①若花店一天购进16枝玫瑰花,
表示当天的利润(单位:
元),
求
的分布列、数学期望及方差;
②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?
请说明理由。
【解析】
(1)当
时,
;
当
时,
。
得:
。
(2)①
可取
,
,
。
,
,
。
的分布列为
,
。
②答案一:
花店一天应购进16枝玫瑰花。
理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,
表示当天的利润(单位:
元),那么
的分布列为
的数学期望为
,
的方差为
,
由以上的计算结果可以看出,
,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小。
另外,虽然
,但两者相差不大。
故花店一天应购进16枝玫瑰花。
答案二:
花店一天应购进17枝玫瑰花。
理由如下:
若花店一天购进17枝玫瑰花,
表示当天的利润(单位:
元),那么
的分布列为
的数学期望为
,
由以上的计算结果可以看出,
,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝玫瑰花时的平均利润。
故花店一天应购进17枝玫瑰花。
【点评】本小题主要考察统计、随机变量的分布列、期望、方差。
19.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=
AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD。
(1)证明:
DC1⊥BC;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小。
【解析】
(1)在
中,
,
得:
,
同理:
,
得:
。
又DC1⊥BD,
,
所以
平面
。
而
平面
,所以
。
(2)解法一:
(几何法)
由
面
。
取
的中点
,连接
,
。
因为
,所以
,
因为面
面
,所以
面
,从而
,
又DC1⊥BD,所以
面
,因为
平面
,所以
。
由
,BD⊥DC1,所以
为二面角A1-BD-C1的平面角。
设
,
,则
,
,
在直角△
,
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