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11平稳过程下遍历性
第四节遍历过程(历经过程)
要讨论平稳随机过程的数字特征,就应该知道一族样本函数,而样本函数往往需要大量的观察试验,然后用数理统计的点估计理论进行估计才能取得,其要求是很高的。
讨论平稳随机过程的历经性就是讨论能否在较宽松的条件下,用一个样本函数去近似计算平稳过程的均值和相关函数等数字特征。
一.时间均值和时间相关函数
设随机过程{X(t),t∈T=(-∞,+∞)}
l
任意固定e∈S,样本函数X(e,t)=x(t),x(t)在区间[-l,l](l>0)上的函数平均值定义为
x(t)=1
2l
⎰-l
x(t)dt
x(t)在(-∞,+∞)上的函数平均值定义为
x(t)
=lim1⎰
x(t)dt
l
l→+∞2l-l
当e变化时
X(t)=
X(e,t)
=lim1⎰
X(e,t)dt
l
l→+∞2l-l
定义1
X(t)=
X(e,t)
=lim1⎰
X(e,t)dt
l
l→+∞2l-l
称为随机过程X(t)对于参数t的平均值,通常称为X(t)的时间均值.
显然X(t)是一个随机变量.
可以记Y=X(t)
定义2∀t,τ∈(-∞,+∞)
X(t)X(t
+τ)=
X(e,t)X(e,t
+τ)
=lim1⎰
X(e,t)X(e,t
+τ)dt
l
l→+∞2l-l
称为随机过程X(t)的时间相关函数.
显然X(t)X(t
+τ)
=lim1⎰
X(e,t)X(e,t
+τ)dt
l
l→+∞2l-l
是一个随机过程.
可以记Y(τ)=
X(t)X(t+τ)
例1.求随机相位正弦波
X(t)
=acos(ωt
+Θ)
的时间均值和时间相关函数.
解:
时间均值
X(t)=
X(e,t)
=lim1⎰
X(e,t)dt
l
l→+∞2l-l
l
=lim1⎰
acos(ωt
+
Θ)dt
l→+∞
=
2l-l
a⋅
1sin(ω
t+Θ)|l
2l
lim
l→+∞
ω-l
=lima
sin(ωl+Θ)-sin(-ωl+Θ)=0
l→+∞2ωl
时间相关函数
X(t)X(t+τ)=lim1⎰
l
X(e,t)X(e,t+τ)dt
l→+∞2l-l
=lim1⎰
acos(ωt
+Θ)⋅acos[ω(t
+τ)+Θ]dt
l
l→+∞2l-l
=lima2⎰
cosωτ+cos[ω(2t+τ)+Θ]dt
l
l→+∞2l-l2
=a2
cosωτ
2
a2
由第二节例1知μX
=0,
RX(τ)=
cosωτ
2
结论
这样,对于随机相位正弦波,用时间平均和集平均分别算得的均值和自相关函数是相等的,并且与t无关.称均值和相关函数都具有各态遍历性。
二.各态遍历性
定义3设X(t)是一个平稳过程T=(-∞,+∞)或T=[0,+∞)
(1)如果
P{X(t)=
E[X(t)]=
μX}=1
则称过程X(t)的均值具有各态遍历性;
(2)如果P{X(t)X(t
+τ)=
E[X(t)X(t
+τ)]=
RX(τ)}=1
则称过程X(t)的自相关函数具有各态遍历性.
(3)均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程称为遍历过程,或者说,该平稳过程具有遍历性.
遍历过程的例子
由前面例题的结果,知随机相位正弦波是平稳过程,且
μX=
E[X(t)]=0,
X(t)=0
于是有
P{X(t)=
E[X(t)]=
μX}=
P{S}=1
RX(τ)=
E[X(t)X(t
+τ)]=
a2cosωτ
2
2
X(t)X(t
+τ)=
a2cosωτ
于是有
P{X(t)X(t
+τ)=
E[X(t)X(t
+τ)]=
RX(τ)}=
P{S}=1
故X(t)是均值和自相关函数都具有各态遍历性的平稳过程,即随机相位正弦波是遍历过程.
不具各态遍历性的例子:
设X(t)=Y,Y是一个随机变量,且DY≠0.则
(1)X(t)是平稳过程;
(2)X(t)的均值不具有各态遍历性.
解
(1)
E[X(t)]=EY
是常数
E[X
2(t)]=
EY2
是常数
E[X(t)X(t
+τ)]=
EY2
与t无关
由定义,X(t)是平稳过程.
(2)
X(t)=
X(e,t)
=lim1⎰
X(e,t)dt
l
l→+∞2l-l
=lim1
⎰Ydt=Y
l
l→+∞2l-l
利用定理
DX=0⇔
P{X
=EX}=1
由条件DY≠0,得
P{X
(t)=Y
=EY
=μX}≠1
所以X(t)的均值不具有各态遍历性.
平稳过程均值具各态遍历性的判别定理
引理设{X(t),-∞ 2l E[X (t)] =μX= E[X (t)] D[X(t)]= lim1 l l→+∞ ⎰0(1- τ)[R X 2lX (τ)-μ2 ]dτ 定理三(均值各态遍历定理) 平稳过程{X(t),-∞ 2l 态遍历性的充要条件是 l lim1 l→+∞ ⎰0(1- τ)[R 2lX (τ)-μ2 ]dτ=0 X 证根据方差的性质以及引理 X(t)= E[X (t)]= E[X (t)]=μX 以概率1成立的充要条件是 D[X(t)]=0 再由引理,即得证. 例2讨论随机电报信号(见第二节例5)过程 的均值的各态历经性. X 解: 已知随机电报信号过程为零均值平稳 过程,且 R(τ)=I2e-2λ|τ| ⎰0 12l (1 τ)[R(τ)-μ2]dτ - l lim l→+∞ 2lXX =lim1⎰2l(1-τ )I2e-λτdτ l→+∞l02l 11-e-4λl2 2λl =lim l→+∞ (1- 4λl )I=0 因此过程的均值具有各态历经性. 三遍历过程的数字特征 对于遍历过程,一次试验获得的一个样本函数便可确定过程的数字特征。 设X(t)是一个遍历过程,从一次试验所得到的样本函数x(t)来确定出该过程的均值和自相关函数,即 l ⎰ lim1 l→+∞l0 x(t)dt =μX lim1lx(t)x(t+τ)dt=R (τ). l→+∞l⎰0X 如果试验记录x(t)只在时间区间[0,l ]给出,则有以下估计式: = μ≈μˆ1lx(t)dt, XXl⎰0 R(τ)≈Rˆ(τ)=1l-τ x(t)x(t +τ)dt,0≤τ XXl-τ⎰0 例3设s(t)是一个周期为T的周期函数, Θ~U(0,T),称X(t)=s(t+Θ)为随机相位周 期过程. 试证: (1)X(t)=s(t+Θ)是平稳过程; (2)X(t)=s(t+Θ)是遍历过程. 证 (1)Θ的概率密度 ⎧1,0<θ f(θ) =⎨T +∞ ⎩0,其它 μX(t)=E[X(t)]=E[s(t+Θ)]= ⎰-∞s(t+θ)f(θ)dθ T ⎰ 1 1 =⎰0s(t+θ)Tdθ=T t+Tt s(u)du 0t+T =1(⎰T +⎰+⎰)s(u)du 1 T0 T =T⎰0 tT s(u)du= μX(常数) RX(t,t +τ)= E[X(t)X(t +τ)]= E[s(t +Θ)s(t+τ +Θ)] T =⎰0s(t+θ)s(t+τ +θ)1dθT t+T 1 =T⎰ts(u)s(u+τ)du T 1 =T⎰0 s(u)s(u+τ)du =RX (τ) ψ2(t)=E[X2(t)]=R (0) <+∞ XX 所以X(t)是平稳过程 l (2) X(t) =lim1⎰ s(t + Θ)dt =lim1 nT ⎰ s(t + Θ)dt l→+∞ 2l-l n→+∞ 2nT-nT 这是因为,对任意l>1存在正整数n,使得 l=nT +r,0≤r lim2l=1 l→+∞⇔ n→+∞ n→+∞ 2nT 1⎰ s(t + Θ)dt l ⎰ 2l-l =1[⎰-nT s(t +Θ)dt+ nT ⎰ s(t +Θ)dt+ nT+r s(t +Θ)dt] 2l-nT-r -nTnT |1[⎰ - nT s(t +Θ)dt+ nT+r s(t +Θ)dt]| r 2l-nT-rnT ⎰ =|1[0 2l-r s(t +Θ)dt+ ⎰0s(t +Θ)dt]| ⎰ ≤1[0|2l-r s(t +Θ)|dt +⎰0| s(t +Θ)|dt] ⎰ ≤1[0|2l-T s(t +Θ)|dt +⎰0| s(t +Θ)|dt] r T ⎰ T ⎰ =1[0 2l-T |s(u)|dt +⎰0|s(u)|dt]→0,(l →+∞) ⎰ 1nT s(t + Θ)dt 2nT-nT =12n⎰T s(t + Θ)dt 2nT0 ⎰ T = = ⎰ 1T+Θ1 TΘs(u)duT0 s(u)du =μX X(t) =lim1⎰ s(t + Θ)dt l l→+∞ 2l-l lim =1 n→+∞2nT nT ⎰ -nT s(t+Θ)dt=μX X(t)X(t +τ) =lim1 2l l l→+∞ ⎰-ls(t +Θ)s(t+τ + Θ)dt =lim1⎰nT s(t+Θ)s(t+τ + Θ)dt n→+∞ 2nT -nT =12n⎰T s(t+Θ)s(t+τ + Θ)dt T 1 2nT0 T+Θ 1 =T⎰Θs(u)s(u+τ)du =T⎰0s(u)s(u+τ)du =RX (τ) 所以有 P{X(t)= E[X(t)]= μX}= P{S}=1 P{X(t)X(t+τ)=E[X(t)X(t+τ)]=RX(τ)}=P{S}=1 故X(t)是遍历过程. 例4设平稳过程X(t)的自相关函数RX(τ)是以T为周期的周期函数.证明: 对于任意t,等式X(t+T)=X(t)以概率1成立。 证明: 因为X(t)是平稳过程,所以 E[X(t)]=μE[X(t)X(t+τ)]=R(τ)E[X2(t)]=R (0) XXX 令Y=X(t+T)-X(t) 则EY=E[X(t+T)]-E[X(t)]=0,由于 P{X(t+T)= X(t)}=P{X(t+T)-X(t)=0}=P{Y =EY} 因此P{X(t +T)= X(t)}=1⇔ P{Y =EY}=1 我们知道 P{Y =EY}=1⇔DY=0 问题归结为证明DY=0 DY= EY2 -(EY)2 =E[X(t +T)- X(t)]2 =E[X(t +T)]2 - 2E[X(t +T)X(t)]+E[X(t)]2 =RX (0)- 2RX (T)+ RX(0) =2[RX (0)- RX(T)] 由于RX(τ)是以T为周期的周期函数,故 RX(0)=RX(T) 于是DY=0,故 P{X(t +T)= X(t)}=1
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