实变函数期末练习题课案.docx
- 文档编号:370062
- 上传时间:2022-10-09
- 格式:DOCX
- 页数:22
- 大小:206.43KB
实变函数期末练习题课案.docx
《实变函数期末练习题课案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《实变函数期末练习题课案.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
实变函数期末练习题课案
实变函数期末练习题(1-4)
姓名班级
练习1
一、单项选择题
1、下列各式正确的是()
(A)
;(B)
;
(C)
;(D)
;
2、设P为Cantor集,则下列各式不成立的是()
(A)
c(B)
(C)
(D)
3、下列说法不正确的是()
(A)凡外侧度为零的集合都可测(B)可测集的任何子集都可测
(C)开集和闭集都是波雷耳集(D)波雷耳集都可测
4、设
是
上的
有限的可测函数列,则下面不成立的是()
(A)若
则
(B)
是可测函数
(C)
是可测函数;(D)若
则
可测
5、设f(x)是
上有界变差函数,则下面不成立的是()
(A)
在
上有界(B)
在
上几乎处处存在导数
(C)
在
上L可积(D)
二.填空题
1、
_________
2、设
是
上有理点全体,则
=______,
=______,
=______.
3、设
是
中点集,如果对任一点集
都_________________________________,则称
是
可测的
4、
可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.(填“充分”,“必要”,“充要”)
5、设
为
上的有限函数,如果对于
的一切分划,使_____________________________________,则称
为
上的有界变差函数。
三、下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.
1、设
,若E是稠密集,则
是无处稠密集。
2、若
,则
一定是可数集.
3、若
是可测函数,则
必是可测函数
4.设
在可测集
上可积分,若
,则
四、解答题
1、设
,则
在
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
考生答题不得超过此线
2、求
五、证明题.
1、证明
上的全体无理数作成的集其势为
.
2、设
是
上的实值连续函数,则对于任意常数
是闭集。
考生答题不得超过此线
3、在
上的任一有界变差函数
都可以表示为两个增函数之差。
4、设
在
上可积,
,则
.
5、设
是
上
有限的函数,若对任意
,存在闭子集
,使
在
上连续,且
,证明:
是
上的可测函数。
(鲁津定理的逆定理)
练习2
一.单项选择题
1.设
是两集合,则
=()
(A)
(B)
(C)
(D)
2.下列说法不正确的是()
(A)
的任一领域内都有
中无穷多个点,则
是
的聚点
(B)
的任一领域内至少有一个
中异于
的点,则
是
的聚点
(C)存在
中点列
,使
,则
是
的聚点
(D)内点必是聚点
3.下列断言()是正确的。
(A)任意个开集的交是开集;(B)任意个闭集的交是闭集;
(C)任意个闭集的并是闭集;(D)以上都不对;
4.下列断言中()是错误的。
(A)零测集是可测集;(B)可数个零测集的并是零测集;
(C)任意个零测集的并是零测集;(D)零测集的任意子集是可测集;
5.若
,则下列断言()是正确的
(A)
在
可积
在
可积;
(B)
(C)
;
(D)
二.填空题
1、设
,则
_________。
2、设
为Cantor集,则
,
_____,
=________。
3、设
是一列可测集,则
4、鲁津定理:
__________________________________________
5、设
为
上的有限函数,如果_________________则称
为
上的绝对连续函数。
三.下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.1、由于
,故不存在使
之间
对应的映射。
2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。
3、
收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
四.解答题
1、设
,则
在
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
2、求极限
.
五.证明题
1.1、设f(x)是
上的实值连续函数,则对任意常数c,
是一开集.
2.设
使
,则E是可测集。
3.在
上的任一有界变差函数
都可以表示为两个增函数之差。
4.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
,证明:
收敛于
。
5.设
在
上可积,则对任何
,必存在
上的连续函数
,使
.
练习3
一、单项选择题
1、设
,则()
(A)
(B)
(C)
(D)
2、设
是
上有理点全体,则下列各式不成立的()
(A)
(B)
(C)
=[0,1](D)
3、下列说法不正确的是()
(A)若
,则
(B)有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集
(C)可测集的任何子集都可测
(D)凡开集、闭集皆可测
4、设
是一列可测集,
,且
,则有()
(A)
(B)
(C)
;(D)以上都不对
5、设f(x)是
上绝对连续函数,则下面不成立的()
(A)
在
上的一致连续函数(B)
在
上处处可导
(C)
在
上L可积(D)
是有界变差函数
二.填空题
1、设集合
,则
_________
2、设
为Cantor集,则
,
_____,
=_______。
3、设
是
中点集,如果对任一点集
都有_________,则称
是
可测的
4、叶果洛夫定理:
5、设
在
上可测,则
在
上可积的充要条件是|
|在
上可积.(填“充分”,“必要”,“充要”)
三、下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.
1、任意多个开集之交集仍为开集。
2、若
,则
一定是可数集.
3、
收敛的函数列必依测度收敛。
4、连续函数一定是有界变差函数。
四、解答题
1、设
,则
在
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
2、求极限
五、证明题.
1、试证
2、设f(x)是
上的实值连续函数,则对任意常数c,
是一开集.
考生答题不得超过此线
3、设
是可测集
的非负可积函数,
是
的可测函数,且
,则
也是
上的可积函数。
4、设
在
上积分确定,且
于
,则
在
上
也积分确定,且
5、设在
上
而
成立,
则有
练习4
一.单项选择题
1.设P为Cantor集,则
(A)
0(B)
(C)
(D)
2.下列说法不正确的是()
(A)
的任一领域内都有
中无穷多个点,则
是
的聚点
(B)
的任一领域内至少有一个
中异于
的点,则
是
的聚点
(C)存在
中点列
,使
,则
是
的聚点
(D)内点必是聚点
3.设
在
上
可积,则下面不成立的是()
(A)
在
上可测(B)
在
上a.e.有限
(C)
在
上有界(D)
在
上
可积
4.设
是一列可测集,
,则有()
(A)
(B)
(C)
;(D)以上都不对
5.设
为
上的有界变差函数,则下面不成立的()
(A)
在
上
可积(B)
在
上
可积
(C)
在
上
可积(D)
在
上绝对连续
二.填空题(3分×5=15分)
1、设
,则
________。
2、设
若
则
是闭集;若
,则
是__集;若
,则
是______集.
3、设
是一列可测集,则
4、叙述鲁津定理:
5、设
为
上的有限函数,如果对于
的一切划分,使成一有界数集,则称
为
上的有界变差函数。
三.下列命题是否成立?
若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.
1、A为可数集,B为至多可数集,则A
B是可数集.
2、若
,则
.
3、若
是可测函数,则
必是可测函数
4.设
在可测集
上可积分,若
,则
四.解答题
1、设
,则
在
上是否
可积,是否
可积,若可积,求出积分值。
2、求
五.证明题
1、设
是
上的实值连续函数,则对于任意常数
是闭集。
2.(6分)设
使
,则E是可测集。
3.设
为E上可积函数列,
.于E,且
,k为常数,则
在E上可积.
4.设函数列
在有界集
上“基本上”一致收敛于
,证明:
收敛于
.
5.试用Fatou引理证明Levi定理.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 函数 期末 练习题