与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析.docx
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与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
与平行四边形有关的常用辅助线作法归类解析
本文结合例题归纳六类与平行四边形有关的常见辅助线,供同学们借鉴:
第一类:
连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1,在平行四边形ABCD中,点E,F在对角线AC上,且AECF,
请你以F为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中
已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)
⑴连结BF
⑵BFDE
⑶证明:
连结DB,DF,设DB,AC交于点0
•••AOOC,DO0B
•••四边形ABCD为平行四边形
•四边形EBFD为平行四边形•BFDE
第二类:
平移对角线,把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2,在平行四边形ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,如果AC12,BD10,ABm,那么m的取值范围是()
A1m11B2m22C10m12D5m6
解:
将线段DB沿DC方向平移,使得DBCE,DCBE,则有四边形CDBE为平
行四边形「••在ACE中,AC12,CEBD10,AE2AB2m
故选A
•12102m1210,即22m22解得1m11
第三类:
过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例3已知:
如左下图3,四边形ABCD为平行四边形
求证:
AC2BD2AB2BC2CD2DA2
证明:
过A,D分别作AEBC于点E,DFBC的延长线于点F
22222222
•••ACAECEABBE(BCBE)ABBC2BEBC
•BECF
ABEDCF
222222
•ACBDABBCCDDA
第四类:
延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
例4:
已知:
如右上图4,在正方形ABCD中,E,F分别是CD、DA的中点,BE与
CF交于P点,求证:
APAB
证明:
延长CF交BA的延长线于点K
•••四边形ABCD为正方形
•AB//CD且ABCD,CDAD,BADBCDD90°
•1K又•••DDAK90°,DFAF•CDF也KAF
AK
CD
AB
11
•••CE-CD,DF-AD
22
•CE
DF
BCD
D900
•••BCE也CDF
•1
2
1
3
90°
2390°•CPB
90°,则
KPB900
二APAB
第五类:
延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例5如左下图5,在平行四边形ABCD中,点E为边CD上任一点,请你在该图基础
上,适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解:
延长AE与BC的延长线相交于F,则有
AEDsFEC,FABsFEC,AEDsFAB
第六类:
把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线
一1
例6已知:
如右上图6,在平行四边形ABCD中,ANBN,BEBC,NE
3
交BD于F,求BF:
BD
四边形ABCD为平行四边形
•OAOC,OBOD
AN
BN
•ON//-
BC且ON丄BC
•BE
2
2
ON
BE
^BC
•BE:
ON
2:
3
•BF2
3
FO3
BF
2
•BF
:
BD
1:
5
BO
5
解:
连结AC交BD于点O,连结ON
BD
2
BF
FO
综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:
连对角线,平移对角线,延长一边中点与
顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形,
为证明解决问题创造条件。
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形问题巧转换,变为△和□
平移腰,移对角,两腰延长作出高。
如果出现腰中点,细心连上中位线。
上述方法不奏效,过腰中点全等造。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
梯形的辅助线
口诀:
梯形冋题巧转换,变为△和□=平移腰,移对角,两腰延长作出咼。
如果出现腰中点,细心连上中位线。
上述方法不奏效,过腰中点全等造。
通常情况下,通过做辅助线,把梯形转化为三角形、平行四边形,是解梯形问题的基本思路。
至于选取哪种方法,要结合题目图形和已知条件。
常见的几种辅助线的作法如下:
作法
图形
平移腰,转化为三角形、平行四边形。
AET>z/z7\\BQfHC
平移对角线。
转化为三角形、平
行四边形。
BC
bUEK
BC-EHDf
延长两腰,转
化为三角形。
E
BC
作咼,转化为
直角三角形和矩形。
A」bzZL
中位线与腰中
点连线。
BC
Ad
B二
CF
(一)、平移
1、平移一腰:
例1.如图所示,在直角梯形ABCD中,ZA=90
//DC,AD=15,AB=16,BC=17.求CD的长.解:
过点D作DE//BC交AB于点E.
又AB//CD,所以四边形BCDE是平行四边形•所以DE=BC=17,CD=BE.
在RtQAE中,由勾股定理,得
AE2=DE2—AD2,即卩AE2=172—152=64.
所以AE=8.
所以BE=AB—AE=16—8=8.
即CD=8.
例2如图,梯形ABCD的上底AB=3,下底CD=8,腰AD=4,求另一腰B
C的取值范围
解:
过点B作BM//AD交CD于点M,
在经CM中,BM=AD=4,
CM=CD—DM=CD—AB=8—3=5,
所以BC的取值范围是:
5—4 2、平移两腰: 例3女口图,在梯形ABCD中,AD//BC,ZB+ZC=90°,AD=1,BC=3,E、 F分别是AD、BC的中点,连接EF,求EF的长。 Bqfnc 解: 过点E分别作AB、CD的平行线,交BC于点G、H,可得 ZEGH+/EHG=ZB+ZC=90° 则生GH是直角三角形 因为E、F分别是AD、BC的中点,容易证得F是GH的中点 所以EF^GH^(BCBGCH) 11 —(BCAEDE)—[BC(AEDE)] 22 11 (BCAD)(31)1 22 3、平移对角线: 例4、已知: 梯形ABCD中,AD//BC,AD=1,BC=4,BD=3,AC=4,求梯形ABCD的面积. 解: 如图,作DE//AC,交BC的延长线于E点. o(ADBC)DH S梯形ABCD 2 例5如图,在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AD=3,BC=7,BD=5、2, 求证: AC丄BD。 解: 过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E, 易得四边形BCED是平行四边形, 贝UDE=BC,CE=BD=52, 所以AE=AD+DE=AD+BC=3+7=10。 在等腰梯形ABCD中,AC=BD=52, 所以在MCE中,AC2CE2(5、2)2(5、2)2100AE2, 从而AC丄CE,于是AC丄BD。 例6如图,在梯形ABCD中,AB//CD,AC=15cm,BD=20cm,高DH= 12cm,求梯形ABCD的面积 解: 过点D作DE//AC,交BC的延长线于点E, 。 则四边形ACED是平行四边形, 所以S梯形ABCD SDBE 由勾股定理得 EH..DE2DH2,AC2DH2 152122 9(cm) 即S ABD SACD SDCE BHBD2 DH2 、202 12216(cm) SDBE ^BEDH1 (916)12150(cm2) 所以 是150cm2。 2 2 ,即梯形ABCD的面积 (二)、延长 即延长两腰相交于一点,可使梯形转化为三角形 例7如图,在梯形ABCD中,AD//BC,ZB=50°,Q=80°,AD=2,BC=5,求CD的长 解: 延长BA、CD交于点E。 在经CE中,/B=50°,Q=80°。 所以ZE=50。 ,从而BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 所以CD=EC—ED=5—2=3 例8.如图所示,四边形ABCD中,AD不平行于BC,AC=BD,AD=BC. 判断四边形ABCD的形状,并证明你的结论.D....C 解: 四边形ABCD是等腰梯形. 证明: 延长AD、BC相交于点E,如图所示. VAC=BD,AD=BC,AB=BA, /•/DAB^/CBA. •••/DAB=/CBA. 又AD=BC,: DE=CE,/EDC=ZECD. E •zEDC=/EAB,aDC//AB. 又AD不平行于BC, •四边形ABCD是等腰梯形. (三)、作对角线 即通过作对角线,使梯形转化为三角形。 例9如图6,在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB丄AD,BC=CD,BE丄C D于点E,求证: AD=DE。 解: 连结BD, 由AD//BC,得ZADB=ZDBE; 由BC=CD,得ZDBC=ZBDC。 所以ZADB=ZBDE。 又ZBAD=ZDEB=90°,BD=BD, 所以Rt经AD级t经ED, 得AD=DE。 (四)、作梯形的高 1、作一条高 例10如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC,ZABC=90°,AB=2DC,对 角线AC丄BD,垂足为F,过点F作EF//AB,交AD于点E,求证: 四边形AB FE是等腰梯形。 例11、在等腰梯形ABCD中,AD//BC,AB=CD,ZABC=60°,AD=3c m,BC=5cm, 求: ⑴腰AB的长;⑵梯形ABCD的面积. 解: 作AE丄BC于E,DF丄BC于F,又vAD//BC, •••四边形AEFD是矩形,EF=AD=3cm VAB=DC 1 BEFC-(BCEF)1cm 2 v在Rt△KBE中,/B=60°,BE=1cm ••AB=2BE=2cm,AE3BE3cm 例12如图,在梯形ABCD中,AD为上底,AB>CD,求证: BD>AC。 证: 作AE丄BC于E,作DF丄BC于F,贝U易知AE=DF D 在Rt△KBE和Rt△DCF中, 因为AB>CD,AE=DF。 所以由勾股定理得BE>CF。 即BF>CE在Rt^BDF和RtMAE中 由勾股定理得BD>AC (5)、作中位线 1、已知梯形一腰中点,作梯形的中位线 例13如图,在梯形ABCD中,AB//DC,O是BC的中点,/AOD=90 求证: AB+CD=AD。 证: 取AD的中点E,连接OE,则易知OE是梯形ABCD的中位线,从而 1- OE=—(AB+CD)® 2 在△KOD中,/AOD=90°,AE=DE 1 所以OEAD② 2 由①、②得AB+CD=AD 2、已知梯形两条对角线的中点,连接梯形一顶点与一条对角线中点,并延 长与底边相交,使问题转化为三角形中位线。 例14如图,在梯形ABCD中,AD//BC,E、F分别是BD、AC的中点, 求证: (1)EF//AD; (2)EF1(BCAD) 证: 连接DF,并延长交BC于点G,易证△AFD也/CFG 贝UAD=CG,DF=GF 由于DE=BE,所以EF是/3DG的中位线 1 从而EF//BG,且EF^BG 因为AD//BG,BGBCCGBCAD 1 所以EF//AD,EF^(BCAD) 3、在梯形中出现一腰上的中点时,过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。 例15、在梯形ABCD中,AD//BC,ZBAD=900,E是DC上的中点,连接AE和BE,求ZAEB=2/CBE。 Da 解: 分别延长AE与BC,并交于F点 v/BAD=900且AD//BC •••zFBA=1800-ZBAD=900 又VAD//BC •••JDAE=/F(两直线平行内错角相等) zSAED=ZFEC(对顶角相等) DE=EC(E点是CD的中点) •••ZADE也zECE(AAS) •••AE=FE 在EABF中/FBA=900且AE=FE •BE=FE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) •在许EB中ZEBF=/FEB ZAEB=ZEBF+ZFEB=2ZCBE 例16、已知: 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB丄BC,E是CD中点, 试问: 线段AE和BE之间有怎样的大小关系? 解: AE=BE,理由如下: 延长AE,与BC延长线交于点F. ••DE=CE,/AED=ZCEF, ZDAE=ZF •ZADE也ECE ••AE=EF ••AB丄BC,.-.BE=AE. EF丄AB于F点, 例17、已知: 梯形ABCD中,AD//BC,E为DC中点, AB=3cm,EF=5cm,求梯形ABCD的面积. 解: 如图,过E点作MN//AB,分别交AD 的延长线于M点,交BC于N点. ••DE=EC,AD/BC •ZDEM也ENE 四边形ABNM是平行四边形 ••EF丄AB, •'S梯形ABCD=SdBNM=ABXEF=15cm2 【模拟试题】(答题时间: 40分钟) cm. =8,则此等腰梯形的周长为( BCD的面积为() A.130B.140C.150D.160 相垂直,且AD=30,BC=70,求BD的长. D C 5.如图所示,已知等腰梯形的锐角等于60。 ,它的两底分别为15cm和49 cm,求它的腰长. an 6.如图所示,已知等腰梯形ABCD中,AD//BC,AC丄BD,AD+BC=10, DE丄BC于E,求DE的长. △n 7.如图所示,梯形ABCD中,AB//CD,ZD=2ZB,AD+DC=8,求AB 的长. nc **8.如图所示,梯形ABCD中,AD//BC, (1)若E是AB的中点,且AD +BC=CD,则DE与CE有何位置关系? (2)E是ZADC与/BCD的角平分线的交点,贝UDE与CE有何位置关系?
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