高考数学一轮复习第12章选4系列124证明不等式的基本方法学案理.docx
- 文档编号:368938
- 上传时间:2022-10-09
- 格式:DOCX
- 页数:28
- 大小:202.48KB
高考数学一轮复习第12章选4系列124证明不等式的基本方法学案理.docx
《高考数学一轮复习第12章选4系列124证明不等式的基本方法学案理.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习第12章选4系列124证明不等式的基本方法学案理.docx(28页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
高考数学一轮复习第12章选4系列124证明不等式的基本方法学案理
2019-2020年高考数学一轮复习第12章选4系列12.4证明不等式的基本方法学案理
[知识梳理]
1.证明不等式的基本方法:
比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
2.三个正数的算术几何平均不等式
(1)定理:
如果a,b,c∈R+那么
≥
,当且仅当a=b=c时,等号成立.即三个正数的算术平均
不小于它们的几何平均
.
(2)基本不等式的推广
对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即
≥
,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立.
3.柯西不等式
(1)设a,b,c,d均为实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时等号成立.
(2)若ai,bi(i∈N*)为实数,则
≥
2,当且仅当
=
=…=
(当ai=0时,约定bi=0,i=1,2,…,n)时等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式:
设α,β为平面上的两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当α,β共线时等号成立.
[诊断自测]
1.概念思辨
(1)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时,假设为“a,b,c全不为0”.( )
(2)若
>1,则x+2y>x-y.( )
(3)|a+b|+|a-b|≥|2a|.( )
(4)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.( )
答案
(1)×
(2)× (3)√ (4)√
2.教材衍化
(1)(选修A4-5P23T1)不等式:
①x2+3>3x;②a2+b2≥2(a-b-1);③
+
≥2,其中恒成立的是( )
A.①③B.②③C.①②③D.①②
答案 D
解析 由①得x2+3-3x=
2+
>0,所以x2+3>3x;对于②,因为a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,所以不等式成立;对于③,因为当ab<0时,
+
-2=
<0,即
+
<2.故选D.
(2)(选修A4-5P25T2)已知a,b,c是正实数,且a+b+c=1,则
+
+
的最小值为________.
答案 9
解析 把a+b+c=1代入
+
+
,得
+
+
=3+
+
+
≥3+2+2+2=9,
当且仅当a=b=c=
时,等号成立.
3.小题热身
(1)(xx·聊城模拟)下列四个不等式:
①logx10+lgx≥2(x>1);②|a-b|<|a|+|b|;③
≥2(ab≠0);④|x-1|+|x-2|≥1,其中恒成立的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
答案 C
解析 logx10+lgx=
+lgx≥2(x>1),①正确.
ab≤0时,|a-b|=|a|+|b|,②不正确;
因为ab≠0,
与
同号,
所以
=
+
≥2,③正确;
由|x-1|+|x-2|的几何意义知,
|x-1|+|x-2|≥1恒成立,④正确,
综上①③④正确.故选C.
(2)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则
的最小值为________.
答案
解析 由柯西不等式得(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2),即m2+n2≥5,∴
≥
,∴所求最小值为
.
题型1 综合法证明不等式
(xx·安徽百校模拟)已知a>0,b>0,函数f(x)=|2x+a|+2
+1的最小值为2.
(1)求a+b的值;
(2)求证:
a+log3
≥3-b.
(1)当绝对值符号中x的系数相同时,利用绝对值不等式的性质消去x即可;
(2)利用a+b=1转化为如
+
=(a+b)
求解.
解
(1)因为f(x)=|2x+a|+|2x-b|+1≥|2x+a-(2x-b)|+1=|a+b|+1,
当且仅当(2x+a)(2x-b)≤0时,等号成立,
又a>0,b>0,所以|a+b|=a+b,
所以f(x)的最小值为a+b+1=2,所以a+b=1.
(2)证明:
由
(1)知,a+b=1,
所以
+
=(a+b)
=1+4+
+
≥5+2
=9,
当且仅当
=
且a+b=1,即a=
,b=
时取等号.
所以log3
≥log39=2,
所以a+b+log3
≥1+2=3,即a+log3
≥3-b.
方法技巧
综合法证明不等式的方法
1.综合法证明不等式,要着力分析已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.
2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质成立的前提条件.
冲关针对训练
(xx·浙江金华模拟)已知x,y∈R.
(1)若x,y满足|x-3y|<
,|x+2y|<
,求证:
|x|<
;
(2)求证:
x4+16y4≥2x3y+8xy3.
证明
(1)利用绝对值不等式的性质得
|x|=
[|2(x-3y)+3(x+2y)|]≤
[|2(x-3y)|+|3(x+2y)|]<
=
.
(2)因为x4+16y4-(2x3y+8xy3)
=x4-2x3y+16y4-8xy3
=x3(x-2y)+8y3(2y-x)
=(x-2y)(x3-8y3)
=(x-2y)(x-2y)(x2+2xy+4y2)
=(x-2y)2[(x+y)2+3y2]≥0,
∴x4+16y4≥2x3y+8xy3.
题型2 分析法证明不等式
设a,b,c>0,且ab+bc+ca=1.
求证:
(1)a+b+c≥
;
(2)
+
+
≥
(
+
+
).
含根式的不等式考虑分析法.
证明
(1)要证a+b+c≥
,由于a,b,c>0,因此只需证明(a+b+c)2≥3,即证a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≥3,而ab+bc+ca=1,故需证明a2+b2+c2+2(ab+bc+ac)≥3(ab+bc+ac),即证a2+b2+c2≥ab+bc+ac.
因为ab+bc+ca≤
+
+
=a2+b2+c2(当且仅当a=b=c时等号成立),
所以原不等式成立.
(2)
+
+
=
.
在
(1)中已证a+b+c≥
,因此要证原不等式成立,只需证明
≥
+
+
,即证a
+b
+c
≤ab+bc+ca.
而a
=
≤
,b
=
≤
,c
=
≤
,
所以a
+b
+c
≤ab+bc+ca(a=b=c=
时等号成立).所以原不等式成立.
方法技巧
分析法证明不等式的思路
用分析法证明不等式时,分析的过程是寻求结论成立的充分条件,而不一定是充要条件,同时要正确使用“要证”“只需证”这样的连接“关键词”.
分析法与综合法常常结合起来使用,称为分析综合法,其实质是既充分利用已知条件,又时刻瞄准解题目标,即不仅要搞清已知什么,还要明确干什么,通常用分析法找到解题思路,用综合法书写证题过程.
冲关针对训练
1.若a≥b>0,试证:
2a3-b3≥2ab2-a2b.
证明 要证明2a3-b3≥2ab2-a2b成立,
只需证2a3-b3-2ab2+a2b≥0,
即证2a(a2-b2)+b(a2-b2)≥0,
即证(a+b)(a-b)(2a+b)≥0.
∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,
从而(a+b)(a-b)(2a+b)≥0成立,
∴2a3-b3≥2ab2-a2b.
2.若m>0,a,b∈R,试证:
2≤
.
证明 因为m>0,所以1+m>0.
所以要证原不等式成立,
只需证(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2-2ab+b2)≥0,
即证(a-b)2≥0,
而(a-b)2≥0显然成立,故原不等式得证.
题型3 反证法证明不等式
(xx·湖南高考)设a>0,b>0,且a+b=
+
.证明:
(1)a+b≥2;
(2)a2+a<2与b2+b<2不可能同时成立.
否定形式的命题考虑用反证法.
证明 由a+b=
+
=
,a>0,b>0,
得ab=1.
(1)由基本不等式及ab=1,有a+b≥2
=2,即a+b≥2,当且仅当a=b=1时等号成立.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 高考 数学 一轮 复习 12 章选 系列 124 证明 不等式 基本 方法 学案理