人教A版高中数学必修四模块综合检测卷.docx
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人教A版高中数学必修四模块综合检测卷
高中数学学习材料
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模块综合检测卷
(测试时间:
120分钟 评价分值:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设向量a=(1,0),b=,则下列结论中正确的是(C)
A.|a|=|b|B.a·b=
C.a-b与b垂直D.a∥b
解析:
a-b=,(a-b)·b=0,所以a-b与b垂直.故选C.
2.点P从出发,沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点,则Q点的坐标为(C)
A.B.
C.D.
解析:
由三角函数的定义知,Q点的坐标为=.故选C.
3.函数f(x)=Asin(ωx+φ)<)的图象如图所示,则f(0)=(D)
A.1B.C.D.
解析:
由图象知A=1,T=4=π,∴ω=2,把代入函数式中,可得φ=,
∴f(x)=Asin(ωx+φ)=sin,∴f(0)=sin=.故选D.
4.将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为(B)
A.B.C.0D.-
解析:
利用平移规律求得解析式,验证得出答案.
y=sin(2x+φ)Y=sin=sin.
当φ=时,y=sin(2x+π)=-sin2x,为奇函数;
当φ=时,y=sin=cos2x,为偶函数;
当φ=0时,y=sin,为非奇非偶函数;
当φ=-时,y=sin2x,为奇函数.故选B.
5.已知sin(π+α)=且α是第三象限的角,则cos(2π-α)的值是(B)
A.-B.-C.±D.
解析:
sin(π+α)=⇒sinα=-,又∵α是第三象限的角,∴cos(2π-α)=cosα=-.故选B.
6.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象,可以将函数y=sin3x的图象(D)
A.向右平移个单位B.向左平移个单位
C.向右平移个单位D.向左平移个单位
解析:
y=sin3x+cos3x=sin,故只需将y=sin3x向左平移个单位.
7.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则a与b的夹角等于(C)
A.30° B.60°
C.120° D.90°
解析:
c⊥a,c=a+b⇒(a+b)·a=a2+a·b=0⇒
a·b=-1⇒cosa,b==-⇒a,b=120°.
故选C.
8.函数f(x)=,x∈(0,2π)的定义域是(B)
A.B.
C.D.
解析:
如下图所示,
∵sinx≥,∴≤x≤.故选B.
9.(2015·新课标全国高考Ⅰ卷)设D为△ABC所在平面内一点=3,则(A)
A.=-+ B.=-
C.=+ D.=-
解析:
由题知=+=+=+(-)=-+,故选A.
10.已知α∈,cosα=-,则tan等于(B)
A.7B.C.-D.-7
解析:
因为α∈,cosα=-,所以sinα<0,即sinα=-,tanα=.
所以tan===,故选B.
11.函数f(x)=sin(x+φ)在区间上单调递增,常数φ的值可能是(D)
A.0B.C.πD.
12.设向量a=(a1,a2),b=(b1,b2),定义一种向量积:
a⊗b=(a1,a2)⊗(b1,b2)=(a1b1,a2b2).已知向量m=,n=,点P在y=cosx的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动,且满足=m⊗+n(其中O为坐标原点),则y=f(x)在区间上的最大值是(D)
A.2B.2C.2D.4
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上)
13.已知单位向量e1与e2的夹角为α,且cosα=,向量a=3e1-2e2与b=3e1-e2的夹角为β,则cosβ=________.
解析:
因为a2=9+4-2×3×2×=9,b2=9+1-2×3×1×=8,a·b=9+2-9×1×1×=8,
所以cosβ==.
考点:
向量数量积及夹角
答案:
.
14.已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1,x∈,则f(x)的最小值为________.
解析:
f(x)=2sin2-cos2x-1
=1-cos-cos2x-1
=-cos-cos2x
=sin2x-cos2x=2sin,
∵≤x≤,∴≤2x-≤,
∴≤sin≤1.
∴1≤2sin≤2,∴1≤f(x)≤2,
∴f(x)的最小值为1.
答案:
1
15.若将函数f(x)=sin的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是________.
解析:
由题意f(x)=sin,将其图象向右平移φ个单位,得sin=sin,要使图象关于y轴对称,则-2φ=+kπ,解得φ=--,当k=-1时,φ取最小正值.
答案:
16.已知函数f(x)=sinωx,g(x)=sin,有下列命题:
①当ω=2时,f(x)g(x)的最小正周期是;
②当ω=1时,f(x)+g(x)的最大值为;
③当ω=2时,将函数f(x)的图象向左平移可以得到函数g(x)的图象.
其中正确命题的序号是______________(把你认为正确的命题的序号都填上).
解析:
①ω=2时,f(x)g(x)=sin2x·cos2x=sin4x,
周期T==.故①正确.
②ω=1时,f(x)+g(x)=sinx+cos2x=sinx+1-2sin2x=-2+,
∴当sinx=时,f(x)+g(x)取最大值.故②正确.
③ω=2时,将函数f(x)的图象向左平移得到
sin2=-sin2x,故③不正确.
答案:
①②
三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,A(1,-2),B(-3,-4),O为坐标原点.
(1)求·;
(2)若点P在直线AB上,且⊥,求的坐标.
解析:
(1)·=1×(-3)+(-2)×(-4)=5.
(2)设P(m,n),∵P在AB上,∴与共线.
=(4,2),=(1-m,-2-n),
∴4·(-2-n)-2(1-m)=0.
即2n-m+5=0.①
又∵⊥,
∴(m,n)·(-4,-2)=0.
∴2m+n=0.②
由①②解得m=1,n=-2,∴=(1,-2).
18.(本小题满分12分)已知tan=.
(1)求tanα的值;
(2)求2sin2α-sin(π-α)sin+sin2的值.
解析:
(1)∵tan==,∴tanα=-.
(2)原式=2sin2α-sinαcosα+cos2α
==
==.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin-2cosx.
(1)求函数f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)=,求cos的值.
解析:
(1)f(x)=2sin-2cosx
=2sinxcos+2cosxsin-2cosx
=sinx-cosx=2sin.
由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,
得-+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调增区间为[-+2kπ,π+2kπ](k∈Z).
(2)由
(1)知f(x)=2sin,即sin=.
∴cos=1-2sin2=.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-.
(1)若0<α<,且sinα=,求f(a)的值;
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间.
解析:
(1)由0<α<,且sinα=,求出角α的余弦值,再根据函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-,即可求得结论.
(2)已知函数f(x)=cosx(sinx+cosx)-,由正弦与余弦的二倍角公式,以及三角函数的化一公式,将函数f(x)化简,根据三角函数周期的公式即可得结论,根据函数的单调递增区间,通过解不等式即可得到所求的结论.
(1)因为0<α<,sinα=,所以cosα=,所以f(a)=-=.
(2)因为f(x)=sinxcosx+cos2x-
=sin2x+-
=sin2x+cos2x
=sin,
所以T==π.由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为,k∈Z.
21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点.
(1)求实数a的值;
(2)设g(x)=[f(x)]2-2,求函数g(x)的最小正周期与单调递增区间.
解析:
(1)∵函数f(x)=sinx+acosx的图象经过点,∴f=0,
即sin+acos=0.
即-+=0.解得a=.
(2)g(x)=4sin2(x+)-2
=2(1-cos(2x+)-2
=-2cos(2x+)
∴g(x)的最小正周期T==π.
令-π+2kπ≤2x+≤2kπ,k∈Z
-+kπ≤x≤kπ-,k∈Z
∴g(x)的增区间为,k∈Z.
22.(本小题满分10分)已知向量m=(sinx,-cosx),n=(cosθ,-sinθ),其中0<θ<π.函数f(x)=m·n在x=π处取最小值.
(1)求θ的值;
(2)设A,B,C为△ABC的三个内角,若sinB=2sinA,f(C)=,求A.
解析:
(1)∵f(x)=m·n=sinxcosθ+cosxsinθ=sin(x+θ),又∵函数f(x)在x=π处取最小值,∴sin(π+θ)=-1,即sinθ=1.又0<θ<π,∴θ=.
(2)由
(1)得,f(x)=sin=cosx.
∵f(C)=,∴cosC=,
∵0 ∵A+B+C=π,∴B=-A,代入sinB=2sinA中,∴sin=2sinA,∴sincosA-cossinA=2sinA, ∴tanA=,
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