普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试理科数学全国1卷试题与答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如
需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1
i
1.设z
2i,则|z|
1
i
A.0
B.
1
1
D.2
C.
2
2.已知集合A
xx2
x2
0,则eRA
A.x1x2
B.x1x2
C.x|x
1
x|x2
D.x|x1
x|x2
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该
地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,
得到如下饼图:
建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例
则下面结论中不正确的是
A.新农村建设后,种植收入减少
B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上
C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍
D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4.记Sn为等差数列
an的前n项和.若3S3
S2S4,a1
2,则a5
A.12
B.10
C.10
D.12
5.设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数,则曲线yf(x)在点(0,0)处的
切线方程为
A.y2xB.yxC.y2x
D.yx
6.在△ABC中,AD为BC边上的中线,
E为AD的中点,则EB
A.
3
AB
1AC
B.
1AB
3AC
C.
3AB
1AC
4
4
4
4
4
4
D.
1AB
3AC
4
4
7
.某圆柱的高为
2
,底面周长为
16
M在正视图上的对应
,其三视图如图.圆柱表面上的点
点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为
B,则在此圆柱侧面上,从
M到N
的路径中,最短路径的长度为
A.217B.25C.3
D.2
8.设抛物线C:
y2=4x的焦点为F,过点(–2,0)且斜率为2的直线与C交于M,N两点,
3
则FMFN=
A.5B.6C.7
D.8
ex,x
0,
2个零点,则
a的
9.已知函数f(x)
g(x)f(x)xa.若g(x)存在
lnx,x
0,
取值范围是
A.[–1,0)
B.[0,+∞)
C.[–1,+∞)
D.[1,+∞)
10.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.
此图由三个半圆构成,
三个半圆
的直径分别为直角三角形
ABC
的斜边
BC,直角边
AB,AC.△ABC的三边所围成的
区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自
Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则
A.p1=p2
B.p1=p3
C.p2=p3
D.p1=p2+p3
11.已知双曲线C:
x2
y2
1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条
3
渐近线的交点分别为
M、N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=
A.3
B.3
C.23
D.4
2
12.已知正方体的棱长为
1,每条棱所在直线与平面
α所成的角都相等,则
α截此正方体所
得截面面积的最大值为
A.33
B.23
C.32
D.
3
4
3
4
2
二、填空题:
本题共
4小题,每小题
5分,共
20分。
x
2y
2
0
13.若x,y满足约束条件
x
y
1
0,则z3x
2y的最大值为_____________.
y
0
S
an
的前
n
项和.若
S
2a
n
1
,则
S
_____________.
14.记n为数列
n
6
15.从2位女生,4位男生中选
3人参加科技比赛,且至少有
1位女生入选,则不同的选法
共有_____________种.(用数字填写答案)
16.已知函数fx2sinxsin2x,则f
x的最小值是_____________.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、
证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,
每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
60分。
17.(12分)
在平面四边形ABCD中,ADC90,A45,AB2,BD5.
(1)求cosADB;
(2)若DC22,求BC.
18.(12分)
如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC
折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.
(1)证明:
平面PEF平面ABFD;
(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
19.(12分)
设椭圆C:
x2
y2
1的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标
2
为(2,0).
(1)当l与x轴垂直时,求直线
AM的方程;
(2)设O为坐标原点,证明:
OMAOMB.
20.(12分)
某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,
如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再
根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为
p(0p1),且各件产品是否为不合格品相互独立.学科&网
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以
(1)中确定的p0作为p
的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件
不合格品支付25元的赔偿费用.
(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,
求EX;
(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?
21.(12分)
已知函数f(x)
1
xalnx.
x
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点
x1,x2
fx1
fx2
a2
.
,证明:
x2
x1
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程
](10分)
在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为yk|x|
2.以坐标原点为极点,
x轴正半轴
为极轴建立极坐标系,曲线C2
的极坐标方程为
2
2cos30.
(1)求C2的直角坐标方程;
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知f(x)|x1||ax1|.
(1)当a1时,求不等式f(x)1的解集;
(2)若x(0,1)时不等式f(x)x成立,求a的取值范围.
参考答案:
123456789101112
CBABDABDCABA
13.6
14.
63
15.16
3
3
16.
2
17.(12分)
BD
AB
解:
(1)在△ABD中,由正弦定理得
Asin
.
sin
ADB
5
2
ADB
2
由题设知,
,所以sin
.
sin45
sinADB
5
由题设知,ADB
90,所以cosADB
2
23
1
.
25
5
2
(2)由题设及
(1)知,cosBDCsinADB.
5
在△BCD中,由余弦定理得
BC2
BD2
DC2
2BDDCcosBDC
25
8
2
5
2
2
2
5
25.
所以BC5.
18.(12分)
解:
(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,所以BF⊥平面PEF.
又BF平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)作PH⊥EF,垂足为H.由
(1)得,PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长,建立如图所示的空间直
角坐标系H-xyz.
由
(1)可得,DE⊥PE.又DP=2,DE=1,所以PE=
3.又PF=1,EF=2,故PE⊥PF.
可得PH
3
3
EH
.
2
2
则H(0,0,0),
P(0,0,
3),D(
1,3,0),DP
(1,3,
3),HP
(0,0,
3)为平面
2
2
2
2
2
ABFD的法向量.
HPDP
3
3
设DP与平面ABFD所成角为
,则sin|
|
4
.
|HP||DP|
3
4
3
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
4
19.(12分)
解:
(1)由已知得F(1,0),l的方程为x=1.
由已知可得,点
A的坐标为(1,2)或(1,
2).
2
2
所以AM的方程为y
2x
2或y
2x
2.
2
2
(2)当l与x轴重合时,
OMA
OMB
0.
当l与x轴垂直时,OM为AB的垂直平分线,所以
OMA
OMB.
当l与x轴不重合也不垂直时,设l的方程为yk(x
1)(k
0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1
2,x2
2
,直线MA,MB的斜率之和为
y1
y2
.
kMAkMB
x22
x12
由y1
kx1k,y2
kx2
k得
kMA
2kx1x2
3k(x1
x2)
4k
kMB
(x1
2)(x2
2)
.
将y
k(x1)代入x2
y2
1得
2
(2k21)x2
4k2x2k2
20.
所以,x1
x2
4k2
x1x2
2k2
2.
2k2
1
2k2
1
则2kx1x2
3k(x1
x2)
4k
4k3
4k
12k3
8k3
4k
2k2
1
0.
从而kMA
kMB
0,故MA,MB的倾斜角互补,所以
OMA
OMB.
综上,
OMA
OMB.
20.(12分)
解:
(1)20件产品中恰有
2件不合格品的概率为
f(p)
C202p2(1
p)18.因此
f(p)C202
[2p(1
p)18
18p2(1
p)17]
2C202p(1
p)17(1
10p).
令f
(p)
0
,得p
0.1
.当p
(0,0.1)
时,f
(p)
0
;当p
(0.1,1)
时,f(p)
0.
所以f(p)的最大值点为p0
0.1.
(2)由
(1)知,p
0.1.
(i)令Y表示余下的
180件产品中的不合格品件数,依题意知
Y:
B(180,0.1)
,
X
20
2
25Y,即X
4025Y.
所以EX
E(40
25Y)
40
25EY
490
.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为
400元.
由于EX
400,故应该对余下的产品作检验.
21.(12分)
解:
(1)f(x)的定义域为(0,
),f(x)
1
1
a
x2
ax
1.
x2
x
x2
(i)若a
2
,则f
(x)
0,当且仅当a
2,x
1
时f(x)
0,所以f(x)在(0,
)
单调递减.
(ii)若a
2,令f(x)
0得,x
a
a2
4
a
a2
4
.
2
或x
2
当x
(0,
a
a2
4
a
a2
4
)时,f(x)
0;
2
)U(
2
当x(a
a2
4,a
a2
4)
时,
f(x)
0
.
所以
f(x)
在
2
2
(0,a
a2
4),(a
a2
4,
)单调递减,在(a
a2
4,a
a2
4)单调递
2
2
2
2
增.
(2)由
(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当
a
2.
由于f(x)的两个极值点
x1,x2满足x2
ax
1
0,所以x1x2
1,不妨设x1
x2,则
x21.由于
f(x1)
f(x2)
1
lnx1
lnx2
lnx1
lnx2
2lnx2
,
x1
x2
x1x2
1a
x1
x2
2a
x1
x2
2a1
x2
x2
所以f(x1)
f(x2)
a
2等价于1
x2
2lnx2
0.
x1
x2
x2
设函数g(x)
1
2lnx,由
(1)知,g(x)在(0,
)单调递减,又g
(1)
0
,从
x
x
而当x
(1,
)时,g(x)
0.
所以1
x2
2lnx2
0
,即f(x1)
f(x2)
a2
.
x2
x1
x2
22.[选修4—
4:
坐标系与参数方程
](10
分)
解:
(1
)由x
cos
,y
sin
得C2的直角坐标方程为
(x
1)2
y2
4.
()由()知C2是圆心为
A(
1,0),半径为
2的圆.学
&
科网
2
1
由题设知,C1是过点B(0,2)
且关于y轴对称的两条射线.
记y轴右边的射线为
l1,y
轴左边的射线为
l2.由于B在圆C2
的外面,故
C1与C2有且仅有三个公共点等价于
l1与
C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或
l2与C2只有一个公共点且
l1与C2有两
个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时,
A到l1所在直线的距离为
2,所以
|
k
2|
k2
2,故
4或k
1
k
0.
3
4时,l1与C2只有一个公共点,
经检C2验,当k
0时,l1与C2没有公共点;当k
3
l2与有两个公共点.
当l2
与C2只有一个公共点时,A到l2
所在直线的距离为
2,所以
|k
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