辽宁省大连渤海高级中学高二数学下学期期中试题文.docx
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辽宁省大连渤海高级中学高二数学下学期期中试题文
渤海高中2018-2019学年度第二学期期中
高二数学文学科试题
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.i是虚数单位,复数
的共轭复数是( )
A.2+iB.2-iC-1+2iD.-1-2i
2.演绎推理“因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=
x是指数函数,所以y=
x是增函数”所得结论错误的原因是( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误
3.满足条件|z-i|=|3-4i|的复数z在复平面上对应点的轨迹是( )
A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆
4.已知x,y取值如表:
x
0
1
3
5
6
y
1
m
3m
5.6
7.4
画散点图分析可知,y与x线性相关,且求得回归直线方程为
=x+1,则m等于( )
A.0.5B.1C.1.5D.2
5.i为虚数单位,复平面内表示复数z=
的点在( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.用反证法证明命题:
“若a,b∈N,ab能被3整除,那么a,b中至少有一个能被3整除”时,假设应为( )
A.a,b都能被3整除B.a,b都不能被3整除
C.a,b不都能被3整除D.a不能被3整除
7.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如表所示的列联表:
优秀
非优秀
总计
甲班
10
b
乙班
c
30
总计
105
已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为
,则下列说法正确的是( )
A.列联表中c的值为30,b的值为35
B.别联表中c的值为15,b的值为50
C.根据列联表中的数据,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,能认为“成绩与班级有关系”
D.根据列联表中的数据,在犯错误的概率不超过0.05的前提下,不能认为“成绩与班级有关系”
8.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长,其中只有一位当选.有人走访了四位同学,甲说:
“是乙或丙当选”,乙说:
“甲、丙都未当选”,丙说:
“我当选了”,丁说:
“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的,则当选的同学是( )
A.甲B.乙C.丙D.丁
9.已知数组(x1,y1),(x2,y2),…,(x10,y10)满足线性回归方程
=
x+
,则“(x0,y0)满足线性回归方程
=
x+
”是“x0=
,y0=
”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
10.(2018·广州模拟)在直角坐标系xOy中,曲线C1和曲线C2的参数方程分别为
(θ为参数)和
(t为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C1与C2的交点的极坐标为()
A.(1,1)B(1,
)C
,
)D(
,1)
11.执行如图所示的程序框图,若输入n=10,则输出S等于( )
A.
B.
C.
D.
12.已知x>0,由不等式x+
≥2
=2,x+
=
+
+
≥3
=3,…,可以推出结论:
x+
≥n+1(n∈N+),则a等于( )
A.2nB.3nC.n2D.nn
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,20分)
13.若复数z=cosθ-isinθ所对应的点在第四象限,则θ为第________象限角.
14.在极坐标系中,直线4ρcos(θ﹣
)+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为________.
15.已知圆C的参数方程为
(θ为参数),直线l的极坐标方程为ρcos
=
,若极轴与x轴的非负半轴重合,则直线l被圆C截得的弦长为________.
16.在推导等差数列前n项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=________.
三、解答题(本大题共6小题,共70分)
17.(本小题满分10分)已知复数z满足:
|z|=1+3i-z.
(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标;
(2)求
的共轭复数.
18.平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是
(t为参数),以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是
+ρ2sin2θ=1.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长.
19.为调查了解某高等院校毕业生参加工作后,从事的工作与大学所学专业是否专业对口,该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生,得到具体数据如下表:
专业对口
专业不对口
合计
男
30
10
40
女
35
5
40
合计
65
15
80
(1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”?
(2)求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率,并估计该校近3年毕业的2000名大学生从事的工作与大学所学专业对口的总人数.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
(3)若从从事工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙,女生丙、丁,让他们两两进行一次10分钟的职业交流,该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录,然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站,试求选取的视频恰为异性交流视频的概率.
附:
K2=
.
20.(12分)已知△ABC的三边长为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.若
,
,
成等差数列.
(1)比较
与
的大小,并证明你的结论;
(2)求证:
B不可能是钝角.
21.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为
(α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos
=3
.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.
(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标.
22.(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位:
百万元)之间有如下对应数据:
x
2
4
5
6
8
y
30
40
60
50
70
(1)画出散点图;
(2)求回归直线方程;
(3)试预测当广告费支出为10百万元时,销售额多大?
参考公式和数据:
=
,
=y-
x;
x
=145,
y
=13500,
xiyi=1380.
答案
1 A 2A 3C4C5.C6 B7C8C9.B10.C
11 A12.D
二、13.一14.215.2
16.S=44.5.
三、17.已知复数z满足:
|z|=1+3i-z.
(1)求z并求其在复平面上对应的点的坐标;
(2)求
的共轭复数.
解
(1)设z=x+yi(x,y∈R),由已知,得
=1+3i-(x+yi)=(1-x)+(3-y)i.
由
得
所以z=-4+3i.
其在复平面上对应的点的坐标为(-4,3).
(2)由
(1)知z=-4+3i,
所以
=
=
=
=
=3+4i,共轭复数为3-4i.
18.平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是
(t为参数),以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是
+ρ2sin2θ=1.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)求直线l与曲线C相交所得的弦AB的长.
解析:
(1)因为x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程是
+y2=1.
(2)将
代入
+y2=1得,
t2+
t-1=0,
Δ=(
)2-4×
×(-1)=16>0.
设方程的两根是t1,t2,则t1+t2=-
,t1t2=-
,
所以|AB|=|t1-t2|=
=
=
=
.
19.为调查了解某高等院校毕业生参加工作后,从事的工作与大学所学专业是否专业对口,该校随机调查了80位该校2015年毕业的大学生,得到具体数据如下表:
专业对口
专业不对口
合计
男
30
10
40
女
35
5
40
合计
65
15
80
(1)能否在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”?
(2)求这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率,并估计该校近3年毕业的2000名大学生从事的工作与大学所学专业对口的总人数.
(3)若从从事工作与所学专业不对口的15人中选出男生甲、乙,女生丙、丁,让他们两两进行一次10分钟的职业交流,该校宣传部对每次交流都一一进行视频记录,然后随机选取一次交流视频上传到学校的网站,试求选取的视频恰为异性交流视频的概率.
附:
K2=
.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
解析:
(1)根据列联表中的数据,得K2=
=
≈2.051<3.841,∴不能在犯错误的概率不超过5%的前提下,认为“毕业生从事的工作与大学所学专业对口与性别有关”.
(2)这80位毕业生从事的工作与大学所学专业对口的概率为
=
,由此估计该校近3年毕业的2000名大学生中从事的工作与大学所学专业对口的人数为
×2000=1625.
(3)两两进行一次10分钟的职业交流的所有结果为(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁),共有6个基本事件,其中异性交流的有4个基本事件,∴所求概率为P=
=
.
20.(12分)已知△ABC的三边长为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.若
,
,
成等差数列.
(1)比较
与
的大小,并证明你的结论;
(2)求证:
B不可能是钝角.
(1)解 大小关系为
<
.
证明如下:
要证
<
,只需证
<
,
由题意知a,b,c>0,只需证b2 ∵ , , 成等差数列,∴ = + ≥2 , ∴b2≤ac. 又a,b,c任意两边均不相等,∴b2 故所得大小关系正确. (2)证明 假设B是钝角,则cosB<0, 而cosB= > > >0. 这与cosB<0矛盾,故假设不成立. ∴B不可能是钝角. 21.在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρcos =3 . (1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程. (2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时点P的直角坐标. 解: (1)曲线C1的参数方程为 (α为参数),普通方程为x2+ =1, 曲线C2的极坐标方程为ρcos =3 , 即ρcosθ+ρsinθ-6=0,直角坐标方程为x+y-6=0. (2)设P(cosα, sinα),则|PQ|的最小值为P到x+y-6=0距离, 即 = , 当且仅当α=2kπ+ (k∈Z)时,|PQ|取得最小值2 , 此时P . 22.(12分)某种产品的广告费支出x与销售额y(单位: 百万元)之间有如下对应数据: x 2
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- 辽宁省 大连 渤海 高级中学 数学 学期 期中 试题