全国二卷理科数学高考真题与答案解析.docx
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全国二卷理科数学高考真题与答案解析
2016年全国高考理科数学试题全国卷2
—.选择题:
本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的
K已知z=(m+3)+(m-l)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取值范围是()
A={1,2,3),B={xl(x+l)(x-2)<0,xeZ},则AUB=(
已知向量
动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()
6、上左2图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为()
a=(l,m),b=(3,-2),且(a+b)丄b,贝Um=(
B•-6
TT
7、若将函数y=2sin2x的图像向左平移12个单位长度,则平移后图象的对称轴为()
kTTTTkTTTTkTTITkTTTT
A.x二-(keZ)B・x二—干(kuZ)C・x=-存Z)D・x=—(keZ)
2626212212
8、中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,上左3图是实现该算法的程序框图。
执行该程序框图,若输入的
x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=()
A・7
B.12
C•17
D•34
3
幵->
则sin2a=(
)
9、若cos(4-a5)=
7
1
1
7
A.
B.一
C
D・-
25
5
5
25
10.从区间[0,1]随机抽取2n个数Xi,X2,…,Xn,yi,y2,…,yn,构成n个数对(xi,yi),(X2J2),…,(Xn.yn),其
Z(Xi+yi)=()
i土
(4)如果m〃n,a〃B,那么m与a所成的角和n与B所成的角相等。
15、有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:
“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:
“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:
“我
的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是.
16、若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+l)的切线,则b=
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17、(本题满分12分)Sn为等差数列{an}的前n项和,且ai=l,S?
=28。
记bn=Dgan],其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[lg99]=l.
(1)求b1,bn,bioi;
(2)求数列{bn}的前1000项利
18、(本题满分12分)某险种的基本保费为a(单位:
元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的本年
度的保费与其上年度的出险次数的关联如下:
上年度出险次数
0
1
2
3
4
$5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
[]
一年内出险次数
()
1
2
3
4
25
概率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;
(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.
19、(本小题满分12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E、F分别在AD、CD
5
上,AE=CF=,"EF交BD于点H.将△DEF沿EF折至U△D'EF位置,0D'=
4
(1)证明:
DH丄平面ABCD;
(2)求二面角B-D'A-C的正弦值.
20、(本小题满分12分)已知椭圆E:
t+3=1的焦点在X轴上,A是E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,
M两点,点N在E上,MA丄NA.
(1)当t=4,IAMI=IANI时,求△AMN的面积;
⑵当2IAMI=IANI时,求k的取值范围.
x-2
21、(本小题满分12分)
(1)讨论函数f(x)=x+2e的单调性,并证明当x>0时,(x-2)e+x+2>0;
ex-ax-a
(2)证明:
当ae[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值。
设g(x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.
x
请考生在22、23、24题屮任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号22、(本小题满分10分)[选修4-1:
几何证明选讲]如图,在正方形ABCD屮,E、G分别在边DA,DC±(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF丄CE,垂足为F.
(1)证明:
B,C,G,F四点共圆;
(2)若AB=1,E为DA的屮点,求四边形BCGF的面积.
23、(本小题满分10分)[选修4-4:
坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy屮,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
/x=tcosa_
(2)直线1的参数方程是、(t为参数),1与C交于A,B两点,IABI=10,求畅斜率.
9=tsina
24、(本小题满分10分)[选修4-5:
不等式选讲]己知函数f(x)=lx-l+lx+-I,M为不等式f(x)<2的解集.
22
⑴求
(2)证明:
当a,beM时,la+bl 参考答案 WORD格式整理 1n解析: /.m+3>0,m-lvO,-3 2、解析: B={xl(x+l)(x-2)<0,xeZ}={xl-l 3、解析: 向量a+b=(4,m-2),T(a+b)丄b,: •(a+b)•b=10-2(m-2)=0 解得m=8,故选D. 4、解析: 圆x2+y2-2x-8y+13=0化为标准方程为: (x-i),+(y-4),=4,故圆心为(1.4),d= la+4-II 4 =1,解得a二一, 3 故选A. 5、解析一: E-F有6种走法,F-G有3种走法,由乘法原理知, 解析二: 由题意,小明从街道的E处出发到F处最短有C? 条路, 4 老年公寓可以选择的最短路径条数为C2・C」18条,故选Bo 43 共 再从 6X3=18种走法,故选 F处到G处最短共有 B- C】条路,则小明到 3 6、解析: 几何体是圆锥与圆柱的组合体, 设圆柱底面圆半径为r,周长为c,圆锥母线长为1,圆柱高为h 由勾股定理得: 1=^"+(2 由图得r=2,c=2nr=4n, V2 3)二4,S衣二nr 1 +ch+cl=4n+16n+8n=28, 2 故兀选C・ 7、解析: 由题意,将函数 、n一11 称轴为2x4-=+kn,kw乙即x二+ 62 y=2sin2x的图像向左平移PTen keZ,故选 62 12 Bo 个单位得y=2sin2(x+12)=2sin(2x+6), 则平移后函数的对 8、解析: 第一次运算: X2+5=17,故选C. s=0X2+2=2,第二次运算: s=2X2+2=6, 第三次运算: s=6 解法二: 对cos(H 3・°n S1112a=cos( -52 3 展卄后直按半方 7,故选D. ・■■•G 25 4_a5)= 解法三: 换元法 io、m: 由题意得: n)在如图所示方格中,而平方和小于 1的点均在如图的阴影中 专业技术参考资料 兀/4m4m 由儿何概型概率计算公兀知一一,•••n二丁我选C. 1nn 2\/~2 FFFFsinMq 1212Dl 沟p=p—―I 11、解析: _MF2-MFi,由正弦定理得一MF2-MF1sinFi-sinF? ft2.故选A. L 3 x+11 12、解析: 由f(-x)=2-f(x)得f(x)关于(0,1)对称,而y=——=1+-也关于(0,1)对称, XX /.对于每一组对称点Xi+x'i=0,yi+y*i=2, m m IB m + yi)=E& 2—=m,故选B. M iT i_1 2 4 5 312 63 13、解桁: •/cosA=— cosC- tsinA-,sinC-, /.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsin^=, 5 13 513 65 ba 21 由正弦定理: sinB=sinA»解得b=13・ a 14、解析: 对于①,m丄n,m丄a,n〃B,贝lja,B的位置关系无法确定,故错误;对于② n// 因为,所 以过直线n作平面Y与平面0相交于直线c,则口〃5因为m丄a,/.m丄c,二m丄n,故②正确;对于③,由两个平面平行的性质可知正确;对于④,由线面所成角的定义和等角定理可知其正确,故正确的有②③④ 15、解析: 由题意得: 丙不拿(2,3),若丙(1,2),则乙(2,3),甲(1,3)满足;若丙(1,3),则乙(2,3),甲(1,2)不满足; 故甲(1,3),— 1 r 16、解析: y=lnx+2的切线为: y=xi '11 1x[= y=ln(x+l)的切线为: y二-x+ln(x2+1)-2,•: XiX2+1 X2+1X2+1X2 __lnxi+l=ln(x2+l)- X2+1 11 解得xi二,X2二-o/.b=lnxl+1=1"lfl2. 22 a4-ai 17、解析: (1)设{an}的公差为d,S7=7a4=28,.Ia4=4,・*.d=3=1,an=ai+(n-l)d=n. /.bi=[lgai]=[lg1]=0,bii=[lgaii]=[lg11]=1,bioi=[lgaioi]=[lglOl]=2. (2)记{bn}的前n项和为Tn,则Tiooo=bi+b2+...+biooo=[lgai]+[lga2]+...+[lga1000]. 当OWlga n 当lgan=3时,n=1000./.Tiooo=OX9+1X90+2X900+3X1=1893. A,P(A)=1-P(A)=l-(0.30+0.15)=0.55• 18、 (1)设续保人本年度的保费咼于基本保费为事件 专业技术参考资料 20、解析: (1)当匸4时,椭圆E的方程为4+3=1,A点坐标为(-2,0),则直线AM的方程为y=k(x+2)・联立椭圆E和直线AM方程并整理得,(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0o 8k2-6_8k2-612 i+kzl+21=寸1+1? ・o 3+4k3+4k 解得x=-2或x=-2,则IAMI=寸 3+4k VAM±AN,・・・IANI二、/i+(— "3+4・(L) k 12 4 引kl+— Ikl VIAMI=IANI,k>0,・•・ 12 2 3+4k o129 =^/l+k2•,整理得(k-1)(4k—-k-4)=0, Y4 3k+k 4k2-k+4=0无实根,・・・k=l 所以△AMN的面积为丄IAMI 22 (2)直线AM的方程为y=k(x+J), 12、2144 3+449 22r222rt脈2_3^ (3+tk)x+2tMkx+tk-3t=0。 解得x=-x或x=-3+也2 联立椭圆E和直线AM方程并整理得, -2>3,整理得 ・・•椭圆E的焦点在x轴,・・・t>3,即 k3 3k+k 6k2-3k -~• (k2+l)(k-2) 3孑 -2<0,解得2 21、解析: (1)证明: f(x)=—eX,...f(x)=e(X——2)工匚。 x+2x+2(x+2)(x+2) •・•当xW(-8,2)-U(・2,+8)时,f(x)>0,・・・f(x)在(-8,2)-和(・2,+8)上单调递增。 x一2xx /.x>0时,x+2c>f(0)=-1,・*.(x-2)e+x+2>0° (ex-a)x2 -2x(ex- ax-a)x(xex-2ex+ax+2a)区十/八x+2C +a) (2)g*(x)= 4 =4=3 aG[0,1)o X XX X-2x t_2t 由 (1)知,当x>0时, f(x)二 e的值域为(-l,+8),只有一解. 使得 •e=-a,t匕(U,2]0 x+2 t+2 x-2 当xe(0,t)时g'(x)v0,g(x)单调减;当xe(t,+8)时g'(x)>0,g(x)单调增 tt~2t el-a(t+l)e+(t+l)t+2•eel 22o h(a)=t=tt+2 tt2 ee(t+1)1e 记k(t)=——,在tw(0,2]时,kf(t)=2>0,: .k⑴单调递增,•••h(a)=k(t)e(一「]・ t+2(t+2)24 DFCF 22、解析: (1)证明: VDF丄CE,ARtADEF<^RtACED,AZGDF=ZDEF=ZBCF,—=— DGBC DFCF VDE=DG,CD=BC,二DG二BC。 ・*•AGDF<^ABCF,・*.ZCFB=ZDFGo (2)VE为AD屮点,AB=1, 1 •••DG二CG二DEn•••在RtAGFC中,GF=GC,连接GB,RtABCG^RtABFG,/.SBCGF=2SABCG=2XX1X= 2 23、解: (1)整理圆的方程得x2+y2+12x+ll=0, 2222 由p二x+y、PcosB、=xPsin9=y可知圆C的极坐标方程为P+12PcosB+11=0. (2)记直线的斜率为k,则直线的方程为kx-y=0, 丨-6kl,1 J7o236k290 则k-4^^ 由垂径定理及点到直线距离公式知: 2),即1+"一4,整理得 33 111 11 111 1 24.解析: (1)当xv=时,f(x)=—-x-x==-2x,i q-1VXV匸;当= —U4,f(x)=—-x+x干=lv2恒成立;当x>- 时,f(x)=2x, 222 22 222 2 1 若f(x)<2,2 (2)当a,be(-1,1)时,W(a2-l)(b2-1)>0,即a2b2+l>a2+b2,贝lja2b2+2ab+l>a2+2ab+b2, 则(ab+l)2>(a+b)2,即 la+blvlab+ll, 证毕.
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