3 平行线2.docx
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3平行线2
年级
初一
学科
数学
内容标题
平行线2
编稿老师
巩建兵
一、学习目标:
1.掌握平行线的性质;
2.理解什么是命题,什么是定理;
3.会区分真命题和假命题.
二、重点、难点:
重点:
平行线的性质.
难点:
如何区分平行线的性质和判定.
三、考点分析:
对于本节内容在中考中要求会用平行线的性质进行推理和计算,了解命题的概念,会区分命题的题设和结论,会把命题改写成“如果……那么……”的形式,通常以填空题、选择题和计算题的形式出现.
1.平行线的性质
性质1两条平行线被第三条直线所截,同位角相等.
性质2两条平行线被第三条直线所截,内错角相等.
性质3两条平行线被第三条直线所截,同旁内角互补.
三条性质的共同之处是由两条直线平行的位置关系得到角与角间的数量关系.它与平行线的判定是互为相反的两个过程.
2.命题、定理
判断一件事情的语句叫做命题.命题都是由题设和结论两部分构成.题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.命题都可以写成“如果……那么……”的形式,“如果”后接题设部分,“那么”后接结论部分.
如果题设成立,那么结论一定成立,这样的命题叫做真命题.命题中题设成立时,不能保证结论一定成立,这样的命题叫做假命题.对于错误命题,通过举反例的形式说明其错误.
经过推理证实的真命题叫做定理.定理可以作为继续推理的依据.
知识点一:
平行线的性质
例1.如图所示,各图中,a∥b,计算∠1的度数.
思路分析:
题意分析:
由两直线平行可以得到角与角间的相等或互补关系.
解题思路:
图
(1)中,由垂直标记知∠2=90°,由两直线a∥b可得同位角∠1=∠2=90°;图
(2)中,由对顶角可得∠2=36°,根据a∥b可得同旁内角互补即∠1=180°-∠2=144°;图(3)中由邻补角的意义知∠2=60°,因a∥b根据两直线平行,内错角相等得∠1=∠2=60°.
解答过程:
(1)因为a∥b(已知),
所以∠1=∠2(两直线平行,同位角相等).
又因为∠2=90°(已知),
所以∠1=∠2=90°.
(2)因为∠2=36°(对顶角相等),
又因为a∥b(已知),
所以∠1=180°-∠2=180°-36°=144°(两直线平行,同旁内角互补).
(3)因为∠2=180°-120°=60°(补角定义),
又因为a∥b(已知),
所以∠1=∠2=60°(两直线平行,内错角相等).
解题后的思考:
由两直线平行,分别寻求同位角、内错角,并利用它们的相等关系转化角;寻求同旁内角,并利用互补关系转化角.
例2.如图所示,已知∠1=73°,∠2=107°,∠3=79°,求∠4的度数.
思路分析:
题意分析:
由题意知∠1+∠2=180°,得c∥d,∠3和∠4是直线c、d被直线b所截形成的同旁内角.
解题思路:
观察图形,可以看到∠1和∠2、∠3和∠4均是同旁内角,由∠1+∠2=180°,可得c∥d,所以∠3+∠4=180°,又因为∠3=79°,故可求得∠4的度数.
解答过程:
因为∠1=73°,∠2=107°(已知),
所以∠1+∠2=73°+107°=180°.
所以c∥d(同旁内角互补,两直线平行).
所以∠3+∠4=180°(两直线平行,同旁内角互补).
因为∠3=79°,
所以∠4=180°-∠3=180°-79°=101°.
解题后的思考:
根据题目中的数据找出各量之间的关系是解答此题的关键.
例3.如图所示,直线a∥b,点B在直线b上,且AB⊥BC.∠1=55°,则∠2的度数为()
A.35°B.45°C.55°D.125°
思路分析:
题意分析:
本题考查了平行线的性质和平角、直角的定义.
解题思路:
由“两直线平行,同位角相等”和平角定义、直角定义可得∠2=180°-90°-55°=35°.故排除B、C、D,选A.
答案:
A
解题后的思考:
解答本题时,所求角和已知角之间的关系有两个:
一是两直线平行,同位角相等;二是∠1的同位角与∠ABC、∠2组成平角.
例4.如图所示,AB∥DC,E是BC上一点,∠1=∠2,∠3=∠4,AE与ED垂直吗?
请说明理由.
思路分析:
题意分析:
∠2、∠3和∠AED构成平角,要说明AE⊥ED,就是要说明∠AED=90°的角.
解题思路:
要说明两直线垂直,只能用垂直定义,即直线AE与ED相交成90°的角.
解答过程:
AE⊥ED.
过点E作EF∥AB,因为AB∥DC(已知),
所以EF∥DC(如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行),
所以∠1=∠5,∠4=∠6(两直线平行,内错角相等).
因为∠1=∠2,∠3=∠4(已知),
所以∠2+∠3=∠1+∠4=∠5+∠6,
因为∠2+∠3+∠5+∠6=180°(平角定义),
所以∠5+∠6=
×180°=90°,
所以∠AED=90°,即AE⊥ED.
解题后的思考:
解答几何问题时,有时需要添加辅助线,用来联系图形中某些图形的位置关系.
例5.如图所示,∠ADC=∠ABC,∠1+∠2=180°,AD是∠FDB的平分线,请说明BC为∠DBE的平分线.
思路分析:
题意分析:
从图形上看AE应与CF平行,AD应与BC平行,假设它们是平行的,这时欲说明BC为∠DBE的平分线,只需说明∠3=∠4.
解题思路:
由已知条件∠1+∠2=180°可得AE∥CF,利用它们的平行关系及∠ADC=∠ABC,可推出AD∥BC.从而∠3=∠C=∠6,∠4=∠5,由AD为∠FDB的平分线可知∠5=∠6,这样可得∠3=∠4.
解答过程:
因为∠1+∠2=180°,∠2+∠7=180°(补角定义),
所以∠1=∠7(同角的补角相等),
所以AE∥CF(同位角相等,两直线平行),
所以∠ABC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补),
又因为∠ADC=∠ABC(已知),
所以∠ADC+∠C=180°(等量代换),
所以AD∥BC(同旁内角互补,两直线平行),
所以∠6=∠C,∠4=∠5(两直线平行,同位角、内错角相等).
又因为∠3=∠C(两直线平行,内错角相等),
所以∠3=∠6(等量代换),
又因为∠5=∠6(角平分线定义),
所以∠3=∠4(等量代换),
所以BC为∠DBE的平分线.
解题后的思考:
分清平行线的性质,平行线的判定中的条件与结论,不可混用.
例6.如图所示,
(1)已知AB∥CD,BE∥CF,试说明∠1=∠2;
(2)已知AB∥CD,∠1=∠2,试说明BE∥CF;
(3)已知BE∥CF,∠1=
∠ABC,∠2=
∠BCD,试说明AB∥CD.
思路分析:
题意分析:
第
(1)题是利用两直线平行推证角的关系,第
(2)题和第(3)题是利用角的关系推证两直线平行.
解题思路:
(1)欲使∠1、∠2两角相等,可用两条直线平行的性质;
(2)欲使两条直线平行可用两直线平行的判定.
解答过程:
(1)因为AB∥CD(已知),
所以∠ABC=∠BCD(两直线平行,内错角相等).
即∠1+∠3=∠2+∠4.因为BE∥CF(已知),
所以∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).
所以∠1=∠2(等式的性质).
(2)同
(1)可得∠1+∠3=∠2+∠4,因为∠1=∠2(已知),
所以∠3=∠4(等式的性质).
所以BE∥CF(内错角相等,两直线平行).
(3)因为∠1=
∠ABC(已知),所以∠ABC=2∠1(等式的性质).
又因为∠ABC=∠1+∠3,即2∠1=∠1+∠3,
所以∠1=∠3(等式的性质),所以∠ABC=2∠3.
同理可得∠BCD=2∠4.
因为BE∥CF(已知),所以∠3=∠4(两直线平行,内错角相等).
所以∠ABC=∠BCD(等式的性质),
所以AB∥CD(内错角相等,两直线平行).
解题后的思考:
本题是平行线的判定和平行线的性质的应用,初学者容易混淆二者的区别,在解答本题的过程中,反复地运用二者意在帮助同学们正确认识二者的区别和联系.
小结:
解答平行线的问题时,要注意把平行线的性质和判定区别开来,它们的根本区别是因果关系的颠倒,这就是说:
“判定”的题设是“性质”的结论,而“性质”的题设是“判定”的结论,它们正好相反.同时,还要明确二者的用途不同,从角的关系得到的结论是两直线平行,这是平行线的判定;由已知直线平行得到角相等或互补的关系是平行线的性质.
知识点二:
命题、定理
例7.判断下列语句是不是命题,如果是命题,是正确的还是错误的.
①画直线AB;②两条直线相交,有几个交点?
③若a∥b,b∥c,则a∥c;④直角都相等;⑤相等的角都是直角;⑥如果两个角不相等,那么这两个角不是对顶角.
思路分析:
题意分析:
本题考查命题、真命题、假命题的有关概念.
解题思路:
因为①②不是对某一事情作出判断的句子,所以①②不是命题;在③④⑤⑥四个命题中,③④⑥都是正确的命题,⑤是错误的命题.
解答过程:
①②都不是命题,③④⑤⑥都是命题,③④⑥是正确的命题,⑤是错误的命题.
解题后的思考:
如①这样的祈使句、②这样的疑问句不表示判断,不是命题.对于假命题可举反例说明.
例8.指出下列命题的题设和结论,并将其改写成“如果……那么……”的形式.
①同位角相等;②等角的补角相等;③直角都相等;④两点确定一条直线.
思路分析:
题意分析:
本题考查对命题的题设和结论这两部分的区分.
解题思路:
改写时应注意寻找命题中表示判断的词语,它通常是命题的结论部分.如本例中的“相等”、“确定一条直线”.
解答过程:
①如果两个角是同位角,那么这两个角相等.命题的题设是“两个角是同位角”,结论是“这两个角相等”.
②如果两个角是相等角的补角,那么这两个角相等.命题的题设是“两个角是相等角的补角”,结论是“这两个角相等”.
③如果两个角是直角,那么这两个角相等.命题的题设是“两个角是直角”,结论是“这两个角相等”.
④如果过已知两点画直线,那么能够画而且只能画一条直线.命题的题设是“过已知两点画直线”,结论是“能够画而且只能画一条直线”.
解题后的思考:
在改写过程中,不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面,要适当增减词语,保证句子通顺而不改变原意.
小结:
关于命题和定理不是本讲的主要内容,这里只要对命题的概念、命题的构成、命题的真假、定理的概念有一个初步的了解,就达到本讲的要求了.
利用平行线的性质和判定解决问题时,要注意二者的题设和结论恰好相反,在两条直线被第三条直线所截的前提下,从同位角相等、内错角相等或同旁内角互补推出两条直线平行,这是平行线的判定.而从两条直线平行推出同位角相等、内错角相等、同旁内角互补,这是平行线的判定.
(答题时间:
60分钟)
一、选择题
1.命题“度数之和为90°的两个角互为余角”的题设是()
A.90°B.两个角
C.度数之和为90°D.度数之和为90°的两个角
2.下列各数中,可以用来说明“任何偶数都是8的整数倍”是假命题的反例是()
A.32B.16C.8D.4
3.两条直线被第三条直线所截,则()
A.同位角的邻补角相等
B.内错角的对顶角相等
C.同旁内角互补
D.如果有一对同旁内角互补,那么所有的同位角相等,内错角相等
*4.如果两个角的一对边在同一直线上,另一对边互相平行,则这两个角()
A.相等B.互补C.相等或互补D.相等且互补
*5.如图所示,AB∥CD,EF交AB、CD于E、F,EM∥FN,∠1=10°,∠2=60°,则∠AEF=()
A.60°B.70°C.50°D.110°
*6.如图所示,AB∥CD,AD∥BC,点E在BC的延长线上,则下列等式错误的是()
A.∠ABC=∠ADCB.∠DCE=∠1+∠4
C.∠ABC+∠ADC=180°D.∠A+∠DCE=180°
**7.如图所示,DE∥AB交BC于E,DF∥BC交AB于F,DG⊥AB于G,∠B=47°,则∠GDF为()
A.47°B.43°C.60°D.45°
**8.如图所示,若直线AB∥ED,则∠B、∠C、∠D的关系是()
A.∠C+∠D-∠B=180°B.∠D=∠C+∠B
C.∠C=∠B+∠DD.∠B+∠C+∠D=180°
二、填空题
9.“两数之差始终是正数”是__________命题.
10.命题“在同一平面内,两直线不平行,它们一定相交”的题设是__________,结论是__________.
11.如图所示,已知a∥b,∠1=70°,∠2=115°,则∠3=__________,∠4=__________.
12.如图所示,若AB∥EF,BC∥DE,则∠E+∠B=__________.
13.两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么同旁内角__________.
*14.如图所示,AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F,EG平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=__________.
三、解答题
15.如图所示,已知∠1=70°,∠2=110°,请用三种方法判定AB∥DE.
*16.
(1)如图,给出下列论断:
①AB∥DC;②AD∥BC;③∠A+∠B=180°;④∠B+∠C=180°.以其中一个作为题设,一个作为结论,写出一个真命题.
(2)若连接AC,你能自己写出一个真命题吗?
*17.如图所示,AB∥DE,∠ABC=80°,∠CDE=140°,求∠BCD的度数.
*18.如图所示,∠1与∠2互补,∠C=∠EDF.
(1)试判断∠AED与∠C的大小关系,并说明你的结论的正确性;
(2)请指出在你的说明过程中,哪一步是判断的过程,哪一步是使用图形性质的过程.
四、拓广探索
**19.如图所示,折线APC是夹在两平行线a和b之间的一条折线.
(1)试探究∠3与∠1、∠2之间的关系;
(2)试改变点P的位置,∠3与∠1、∠2又有怎样的结论?
一、选择题
1.D
2.D
3.D解析:
这两条直线不一定平行,所以选项A、B、C都不一定正确.
4.C解析:
如图所示:
5.B解析:
由AB∥CD,EM∥FN可得∠1=∠DFN.∠EFD=∠2+∠DFN=∠2+∠1=70°,∠AEF=∠EFD=70°.
6.C解析:
由题意∠ABC+∠ADC=180°不一定成立.
因为AB∥CD,所以∠ABC=∠DCE,
由AD∥BC得∠ADC=∠DCE,所以∠ABC=∠ADC,选项A正确;
∠DCE=∠ADC,即∠DCE=∠2+∠4,而∠1=∠2,
所以∠DCE=∠1+∠4,选项B正确;因为∠A+∠ADC=180°,
∠ADC=∠DCE,所以∠A+∠DCE=180°,选项D正确.
7.B解析:
因为AB∥DE,∠BGD=90°,所以∠GDE=90°,∠B=∠DEC.
又因为DF∥BC,所以∠FDE=∠DEC,
所以∠FDE=∠B=47°.所以∠GDF=90°-47°=43°.
8.A解析:
过点C作CF∥AB,则CF∥DE.所以∠D+∠DCF=180°,∠BCF=∠B,因为∠DCF=∠C-∠BCF=∠C-∠B,所以∠D+∠C-∠B=180°.
二、填空题
9.假解析:
举反例,如4-8=-4.
10.在同一平面内,两条直线不平行这两条直线必相交
11.65°,70°
12.180°解析:
由∠1=∠B,∠1=∠2,∠2+∠E=180°可得.
13.互补解析:
如果同位角相等,那么两直线平行,两直线平行,则同旁内角互补.
14.54°解析:
由AB∥CD得∠1+∠BEF=180°,所以∠BEF=180°-∠1=108°,因为EG平分∠BEF,所以∠BEG=
∠BEF=54°.因为AB∥CD,所以∠2=∠BEG=54°
三、解答题
15.解:
如图所示,
方法一:
因为∠1=70°,所以∠4=180°-70°=110°.
因为∠2=110°,所以∠2=∠4,所以AB∥DE(同位角相等,两直线平行).
方法二:
因为∠1=70°,所以∠5=180°-70°=110°.
因为∠2=110°,所以∠2=∠5.所以AB∥DE(内错角相等,两直线平行).
方法三:
因为∠1=70°,所以∠3=∠1=70°.
因为∠2=110°,所以∠2+∠3=110°+70°=180°.
所以AB∥DE(同旁内角互补,两直线平行).
16.解:
(1)如果∠A+∠B=180°,那么AD∥BC;
如果∠B+∠C=180°,那么AB∥DC;
如果AB∥DC,那么∠B+∠C=180°;等.
(2)连接AC.
如果∠DAC=∠BCA,那么AD∥BC;
如果∠BAC=∠DCA,那么AB∥DC;等.
17.解:
过点C作CF∥AB,则CF∥DE.
所以∠ABC=∠BCF=80°,∠CDE+∠DCF=180°.
因为∠CDE=140°,所以∠DCF=180°-140°=40°.
所以∠BCD=∠BCF-∠DCF=80°-40°=40°.
18.解:
(1)∠AED=∠C.因为∠1和∠2互补,
所以DF∥EC(同旁内角互补,两直线平行)——①.
所以∠DFC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)——②.
因为∠C=∠EDF,
所以∠EDF+∠DFC=180°.
所以DE∥FC(同旁内角互补,两直线平行)——③.
所以∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等)——④.
(2)①③是判断的过程,②④是使用图形性质的过程.
四、拓广探索
**19.
解:
(1)∠3=∠1+∠2.如图①,过点P作PE∥AB,
因为AB∥CD,所以AB∥PE∥CD.
所以∠1=∠α,∠2=∠β(两直线平行,内错角相等).
所以∠1+∠2=∠α+∠β,即∠3=∠1+∠2.
(2)∠1+∠2+∠3=360°.
如图②,过点P作PE∥AB,因为AB∥CD,
所以AB∥PE∥CD.
所以∠1+∠α=180°,∠2+∠β=180°(两直线平行,同旁内角互补).
所以∠1+∠α+∠2+∠β=360°,即∠1+∠2+∠3=360°.
说明:
当点A、P、C在同一直线上时,即∠APC=180°.这是一种特殊情况,此时,∠3=∠1+∠2成立,∠1+∠2+∠3=360°也成立.
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