高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程教师版.docx
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高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程教师版
(新课标)2013高考数学三轮必考热点集中营热点23参数方程和极坐标方程(教师版)
【三年真题重温】
1.【2011
新课标全国理,23】选修4—4:
坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
(
为参
数),
是
上的动点,
点满足
,
点的轨迹为曲线
.
(Ⅰ)当求
的方程;
(Ⅱ)在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线
与
的异于极点的交点为
,与
的异于极点的交点为
,求
.
2.【2010
新课标全国理,23】选修4-4:
坐标系与参数方程
已知直线C1
(t为参数),C2
(
为参数),
(Ⅰ)当
=
时,求C1与C2的交点坐标;
(Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为,P为OA中点,当
变化时,求P点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。
【2012
新课标全国理,23】坐标系与参数方程
已知曲线
的参数方程是
,以坐标原点为极点,
轴的正半轴
为极轴建立坐标系,曲线
的坐标系方程是
,正方形
的顶点都在
上,
且
依逆时针次序排列,点
的极坐标为
(1)求点
的直角坐标;
(2)设
为
上任意一点,求
的取值范围。
【命题意图猜想】
2011年高考考查了参数方程和极坐标的题目,可化为普通方程求解,涉及到直线和圆的参数方程;2010年高考主要考查直线与圆的参数方程,参数方程与普通方程的互化,利用参数方程研究轨迹问题的能力.2012年高考主要考查直角坐标系与极坐标系之间的互化,以椭圆的参数方程为背景,意在考查考生利用坐标之间的转化求解。
预测2013年高考对直线与圆的参数方程的考查还会继续加强.
【最新考纲解读】
1.坐标系
(1)回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用.
(2)通过具体例子,了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
(3)能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
(4)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,体会在用方程刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.
(5)借助具体实例(如圆形体育场看台的座位、地球的经纬度等)了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法,并与空间直角坐标系中刻画点的位置的方法相比较,体会它们的区别.
2.参数方程
(1)通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系,写出抛物线运动轨迹的参数方程,体会参数的意义.
(2)分析直线、圆和圆锥曲线的几何性质,选择恰当的参数写出它们的参数方程.
(3)举例说明某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便,感受参数方程的优越性.
【回归课本整合】
1.极坐标和直角坐标的互化公式
若点M的极坐标为(
ρ,θ),直角坐标为(x,y),则
.求曲线的极坐标方程f(ρ,θ)=0的步骤与求曲线的直角坐标方程步骤完全
相同.特别注意的是求极坐标方程时,常常要解一个三角形.
(4)极坐标方程ρ=ρ(θ)表示的平面图形的对称性:
若ρ(-θ)=ρ(θ),则图形关于极轴对称;
若ρ(π-θ)=ρ(θ),则图形关于射线θ=
对称;
若ρ(π+θ)=ρ(θ),则图形关于极点对称.
2.特殊的常见曲线(包括直线)的极坐标方程
①圆心在极轴上点C(a,0),过极点的圆方程ρ=2acosθ.
②圆心在极点、半径为r的圆的极坐标方程ρ=r.
③圆心在
处且过极点的圆方程为ρ=2asinθ(0≤θ≤π).
④过极点倾角为α的直线的极坐标方程为:
θ=α或θ=π+α.
⑤过A(a,0)(a>0)与极轴垂直的直线ρcosθ=a.
⑥过A
(a>0)
与极轴平行的直线ρsinθ=a.
3.参数方程的概念
在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数
(*),并且对于t的每一个允许值,由方程组(*)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,而这条曲线上任一点M(x,y)都可以通过(*)式得到,则方程组(*)就叫做这条曲线的参数方程,变数t叫做参数这时,参数t的几何意义是:
以直线l上点M(x0,y0)为起点,任意一点N(x,y)为终点的有向线段的数量为MN且|t|=|MN|.
4.圆的参数方程
(1)
圆心在原点、半径为r的圆的参数方程为
(θ为参数);
(2)圆心为C(a,b),半径为r的圆的参数方程为
(θ为参数).
5.参数方程和普通方程的互化
(1)化参数方程为普通方程:
消去参数.常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法.
(2)化普通方程为参数方程:
引入参数,即选定合适的参数t,先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕,再代入普通方程F(x,y)=0,求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.
【方法技巧提炼】
1.极坐标与直角坐标的互化
(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件:
①极点与原点重合;②极轴与x轴正向重合;③取相同的单位长度.
(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易,只要运用公式x=ρcosθ及y=ρsinθ直接代入并化简即可;而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些,解此类问题常通过变形,构造形如ρcosθ,ρsinθ,ρ2的形式,进行整体代换.
2.求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标方程的步骤:
(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任意一点;
(2)由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的
极径ρ和极角θ之间的关系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
3.参数方程与普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参数经常采用的是代入法和三角公式法,但将曲线的参数方程化为普通方程,不只是把其中的参数消去,还要注意x,y的取值范围在消参前后应该是一致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲线.
4.直线的参数方程及应用
根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义,有如下常用结论:
(1)直线与圆锥曲线相
交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|;
(2)定点M0是弦M1M2的中点⇒t1+t2=0;
(3)设弦M1M2中点为M,则点M对应的
参数值tM=
(由此可求|M1M2|及中点坐标).
5.圆与圆锥曲线的参数方程及应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时,要注意普通方程与参数
方程的互化公式,主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题,如最值、范围等.
【考场经验分享】
1.在极坐标系中,如无特别说明时,ρ≥0,θ∈R;点的极坐标不惟一,若规定ρ≥0,0≤θ<2π,则极坐标系中的点与点的极坐标形成一一对应关系(极点除外);
曲线上的点的极坐标不一定满足曲线的极坐标方程,但曲线上一点P的无数个极坐标中必有一个适合曲线的极坐标方程.
2.极坐标方程θ=θ1表示一条射线并非直线,只有当允许ρ<0时,θ=θ1才表示一条直线.
3.只有在a2+b2=1时,直线
(t为参数)中的参数t才表示由M(x0,y0)指向N(x,y)的有向线段的数量,而在a2+b2≠1时,|MN|=
·t.
4.消参后应将原参数的取值范围相应地转化为变量x(或y)的取值范围.
【新题预测演练】
1.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】(本小题满分10分)
在直角坐标系xOy中,圆C1和C2的参数方程分别是
(φ为参数)和
(φ为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求圆C1和C2的极坐标方程;
(2)射线OM:
θ=α与圆C1的交点为O、P,与圆C2的交点为O、Q,求|OP|·|OQ|的最大值
2.【河北省唐山市2012—2013学年度高三年级第一次模拟考试】选修4-4:
坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位,以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴.己知曲线C1的极坐标方程为p=4cosθ曲线C2的参数方程是
(t为参数,
),射线
与曲线C1交于极点O外的三点A,B,C.
(I)求证:
;
(II)当
时,B
C两点在曲线C2上,求m与a的值.
3.【2013年石家庄市高中毕业班复习教学质量检测
(二)】在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极
坐标方程为:
(I)求曲线C1的普通方程;
(II)曲线C2的方程为
,设P、Q分别为曲线C1与曲
线C2上的任意一点,求|PQ|的最小值.
4.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄
平民中四校联考】已知点
,参数
,点Q在曲线C:
上。
(Ⅰ)求点P的轨迹方程与曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)求点P与点Q之间的最小值。
5.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】选修4-4:
坐标系与参数方程
在平面直角坐标
中,已知圆
圆
.
(1)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆
的极坐标方程及这两个圆的交点的极坐标;
(2)求圆
的公共弦的参数方程.
6.【宁夏回族自治区石嘴山市2013届高三第一次模拟】
已知在直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(
为参数),在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点O为极点,以
轴正半轴为极轴)中,曲线C的极坐标方程为
。
(1)求直线
的普通方程和曲线C的直角坐标方程;
(2)设点P是曲线C上的一个动点,求它到直线
的距离的取值范围。
7.【河北省邯郸市2013年高三第一次模拟考试】以直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线I的参数方程为
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