人教版必修二高中数学阶段通关训练二及答案.docx
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人教版必修二高中数学阶段通关训练二及答案
阶段通关训练
(二)
(60分钟 100分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.(2016
·吉安高二检测)下列说法中正确的是 ( )
A.三点确定一个平面
B.两条直线确定一个平面
C.两两相交的三条直线一定在同一平面内
D.过同一点的三条直线不一定在同一平面内
【解析】选D.选项A中,缺条件“不共线”;选项B中,须指明这两条直线的位置关系,比如两条异面直线就不能确定一个平面;选项C中,两两相交的三条直线当相交于同一点时,它们可以不在同一平面内,比如正方体中同一顶点的三条棱.
2.如图,已知△ABC为直角三角形,其中∠ACB=90°,M为AB的中点,PM垂直于△ABC所在平面,那么 ( )
A.PA=PB>PC
B.PA=PB C.PA=PB=PC D.PA≠PB≠PC 【解析】选C.因为M为AB的中点,△ACB为直角三角形,所以BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC,所以Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB=PC. 3.(2016·成都高二检测)如图,已知三条长度相等的线段AB,BC,CD,若AB⊥BC,BC⊥CD,且直线AB与CD所成角大小为60°,则直线AD与BC所成角大小为 ( ) A.90° B.60° C.45° D.30° 【解析】选C.如图,过B作BE CD,连接DE,AE,则四边形BCDE为正方形,∠ABE为直线AB与CD所成角,∠ADE为直线AD与BC所成角.因为AB=BC=CD=BE,∠ABE=60°,所以AB=BE=AE.因为AB⊥BC,所以AB⊥DE,又BE⊥DE,AB∩BE=B,所以DE⊥平面ABE,所以DE⊥AE,所以△AED为等腰直角三角形,所以∠ADE= 45°. 【拓展延伸】求异面直线所成角的方法 求异面直线所成角主要是如何通过平移作出其平面角,主要途径有: 利用三角形的中位线、构造平行四边形、利用梯形两底平行、平行线分线段成比例的性质等,如本题通过利用条件中的垂直关系构造正方形,达到平移的目的. 【补偿训练】(2016·台州高二检测)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线A1D与D1C所成的角为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】选C.由题可知,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥D1C,所以异面直线A1D与D1C所成的角与直线A1D与A1B所成的角相 等,连接A1B,BD,∠BA1D为所求角,设正方体的棱长为1,在△A1DB中,三条边长均为 ,故∠BA1D=60°. 4.(2016·北京高二检测)已知直线m和平面α,β,则下列四个命题中正确的是 ( ) A.若α⊥β,m⊂β,则m⊥αB.若α∥β,m⊥α,则m⊥β C.若α∥β,m∥α,则m∥βD.若m∥α,m∥β,则α∥β 【解析】选B.若α⊥β,m ⊂β,则直线m与平面α相交,或直线m在平面α内,或直线m与平面α平行,所以选项A不正确;若α∥β,m∥α,则直线m与平面β平行,或直线m在平面β内,所以选项C不正确.若m∥α,m∥β,则α∥β或α与β相交,所以选项D不正确. 5.(2016·辽宁师大附中高一检测)如图,六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是 ( ) A.CF⊥平面PADB.DF⊥平面PAF C.CF∥平面PABD.CD∥平面PAF 【解析】选A.因为六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC.则AF∥CD,由线面平行的判定定理,可得CD∥平面PAF,故D正确;DF⊥AF,DF⊥PA,由线面垂直的判定定理可得DF⊥平面PAF,故B正确;CF∥AB,由线面平行的判定定理,可得CF∥平面PAB,故C正确;CF与AD不垂直,故A中,CF⊥平面PAD不正确. 6.已知矩形ABCD,AB=1,BC= ,将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中 ( ) A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直 B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直 C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直 D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直 【解析 】选B.A错误.理由如下: 过A作AE⊥BD,垂足为E,连接CE, 若直线AC与直线BD垂直,则可得BD⊥平面ACE, 于是BD⊥CE,而由矩形ABCD边长的关系可知BD与CE并不垂直.所以直线AC与直线BD不垂直. B正确.理由: 翻折到点A在平面BCD内的射影恰好在直线BC上时,平面ABC⊥平面BCD,此时由CD⊥BC可证CD⊥平面ABC,于是有AB⊥CD.故B正确. C错误.理由如下: 若直线AD与直线BC垂直,则由BC⊥CD可知BC⊥平面ACD,于是BC⊥AC,但是AB 二、填空题(每小题5分,共20分) 7.下列说法: ①若a∥b,a∥α,则b∥α;②若a∥α,b⊂α,则a∥b;[来源: Zxxk.Com][来源: 学#科#网] ③若a∥α,则a平行于α内所有的直线;④若a∥α,a∥b,b⊄α,则b∥α. 其中正确说法的序号是________. 【解析】①中b可能在α内;②a与b还可能异面或者垂直;③a还可能与α内的直线异面或垂直. 答案: ④ 8.如图,四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E是SA上一点,当点E满足条件: ________时,SC∥平面EBD. 【解析】当点E是SA的中点时,连接AC. 设AC与BD的交点为O,连接EO. 因为四边形ABCD是平行四边形, 所以点O是AC的中点. 又E是SA的中点,所以OE是△SAC的中位线. 所以OE∥SC.因为SC⊄平面EB D,OE⊂平面EBD, 所以SC∥平面EB D. 答案: 点E是SA的中点 9.已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点,则 ①棱AB与PD所在直线垂直; ②平面PBC与平面ABCD垂直; ③△PCD的面积大于△PAB的面积; ④直线AE与直线BF是异面直线.[来源: 学科网] 以上结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 【解析】由条件可得AB⊥平面P AD, 所以AB⊥PD,故①正确; 若平面PBC⊥平面ABCD,由PB⊥BC, 得PB⊥平面ABCD,从而PA∥PB,这是不可能的,故②错; S△PCD= CD·PD,S△PAB= AB·PA, 由AB=CD,PD>PA知③正确; 由E,F分别是棱PC,PD的中点, 可得EF∥CD,又AB∥CD, 所以EF∥AB,故AE与BF共面,④错. 答案: ①③ 10.(2016·西宁高二检测)在四面体ABCD中,AB⊥AD,AB=AD=BC=CD=1,且平面ABD⊥平面BCD,M为AB中点,则CM与平面ABD所成角的正弦值为________. 【解析】如图所示,取BD中点O,连接CO,MO,由已知条件BC=CD=1,所以BD⊥CO,由平面ABD⊥平面BCD,且平面ABD∩平面BCD=BD,所以CO⊥平面ABD,则∠CMO即为直线CM与平面ABD所成的角,由AB⊥AD,所以BD= ,则得到BC⊥CD,所以CO= BD= ,MO= AD= ,所以在Rt△COM中,CM= = ,所以sin∠CMO= = = .[来源: Z§xx§k.Com] 答案: 三、解答题(共4小题,共50分) 11.(12分)(2016·台州高二检测)如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,点M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD=a. (1)求证: MN∥平面PAD. (2)求证: 平面PMC⊥平面PCD. 【证明】 (1)设PD的中点为点E,连接AE,NE,由点N为PC的中点知EN DC,又ABCD是矩形,所以DC AB,所以EN AB,又点M是AB的中点,所以EN AM,所以AMNE是平行四边形,所以MN∥AE,而AE⊂平面PAD,NM⊄平面PAD,所以MN∥平面PAD. (2)因为PA=AD,所以AE⊥PD,又因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA,而CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AE,因为PD∩CD=D,所以AE⊥平面PCD,因为MN∥AE,所以MN⊥平面PCD,又MN⊂平面PMC,所以平面PMC⊥平面PCD. 【补偿训练】(2016·济南高一检测)如图所示,平面四边形PACB中,∠PAB为直角,△ABC为等边三角形,现把△PAB沿着AB折起,使得△APB与 △ABC垂直,且点M为AB的中点. (1)求证: 平面PAB⊥平面PCM. (2)若2PA=AB,求直线BC与平面PMC所成角的正弦值. 【解析】 (1)因为平面APB⊥平面ABC且交线为A B,又因为∠PAB为直角,所以AP⊥平面ABC,故AP⊥CM,又因为△ABC为等边三角形,点M为AB的中点,所以CM⊥AB,又因为PA∩AB=A,所以CM⊥平面PAB,又CM⊂平面PCM,所以平面PAB⊥平面PCM. (2)假设PA=a,则AB=2a,再设B到平面PMC的距离为hB.则VP-MBC=VB-PMC = PA·S△MBC= hB·SPMC,在直角三角形PAM中,由PA=AM=a,得PM= a,在等边三角形ABC中,AB边上的高CM= a,而三角形PMC为直角三角形,故面积为 S△PMC= CM·PM= · a· a= a2. 又S△MBC= S△ABC= a2.所以a· a2=hB· a2. 故hB= a.[来源: 学科网ZXXK] 所以直线BC与平面PMC所成角的正弦值 sinθ= = = . 12.(12分)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面 ABC,∠BCA=90°,点D,E分别在棱PB,PC上,且DE∥BC. (1)求证: BC⊥平面PAC. (2)是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角? 并说明理由. 【解析】 (1)因为PA⊥底面ABC, 所以PA⊥BC.又∠BCA=90°, 所以AC⊥BC. 又因为AC∩PA=A,所以BC⊥平面PAC. (2)因为DE∥BC, 又由 (1)知,BC⊥平面PAC, 所以DE⊥平面PAC. 又因为AE⊂平面PAC,PE⊂平面PAC, 所以DE⊥AE,DE⊥PE. 所以∠AEP为二面角A-DE-P的平面角. 因为PA⊥底面ABC,所以PA⊥AC, 所以∠PAC=90°. 所以在棱PC上存在一点E, 使得AE⊥PC.这时∠AEP=90°, 故存在点E,使得二面角A-DE-P为直二面角. 13.(13分)(2016·杭州高二检测)已知直角梯形ABCD和矩形CDEF所在的平面相互垂直,AD⊥DC,AB∥DC,AB=AD=DE=4, DC=8, (1)证明: BD⊥平面BCF. (2)设二面角E-BC-D的平面角为α,求sinα. (3)M为AD的中点,在DE上是否存在一点P,使得MP∥平面BCE? 若存在,求出DP的长;若不存在,请说明理由. 【解析】 (1)因为平面ABCD⊥平面CDEF,且矩形CDEF中FC⊥DC,所以FC⊥ 面ABCD,FC⊥DB,在直角梯形ABCD中易得DB⊥BC,又FC∩BC=C,所以BD⊥ 平面BCF. (2)因为FC⊥平面ABCD,ED∥FC,所以ED⊥平面ABCD,又DB⊥BC,所以EB⊥BC,所以∠EBD为二面角E-BC-D的平面角α, 所以si
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