极限证明精选多篇最新.docx

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极限证明精选多篇最新

　　第一篇：

极限证明

　　极限证明

　　1.设f（x）在（,）上无穷次可微，且f（x）（xn）（n?

），求证当k?

n?

1时，?

x，limf（k）（x）?

0．x?

　　2.设f（x）0sinntdt，求证：

当n为奇数时，f（x）是以2?

为周期的周期函数；当n为

　　偶数时f（x）是一线性函数与一以2?

为周期的周期函数之和．x

　　f（n）（x）?

0．?

{xn}?

3.设f（x）在（,）上无穷次可微；f（0）f?

（0）?

0xlim求证：

n?

1，?

　　?

n，0?

xn?

xn?

1，使f（n）（xn）?

0．

　　sin（f（x））?

1．求证limf（x）存在．4.设f（x）在（a,）上连续，且xlim?

x?

　　5.设a?

0,x1?

2?

a,xn?

1?

2?

xn,n?

1,2?

证明权限limnxn存在并求极限值。

　　6.设xn?

0,n?

1,2,?

.证明：

若limxn?

1?

x,则limxn?

x.nxnn

　　7.用肯定语气叙述：

limx?

f?

x.

　　8.a1?

1,an?

1?

1,求证：

ai有极限存在。

an?

1

　　t?

x9.设函数f定义在?

a,b?

上，如果对每点xa,b?

极限limf?

t?

存在且有限（当x?

a或b时，

　　为单侧极限）。

证明：

函数f在?

a,b?

上有界。

　　10.设limnan?

a,证明：

lima1?

2a2?

nana?

.n2n2

　　11.叙述数列?

an?

发散的定义，并证明数列?

cosn?

发散。

　　12.证明：

若?

　　af?

x?

dx收敛且limx?

f?

x?

，则0.

　　11?

an?

收敛。

?

n?

1,2,?

.求证：

22an?

1an13.a?

0,b?

0.a1?

a,a2?

b,an?

2?

2?

　　n

　　14.证明公式?

k?

11k?

2n?

cn，其中c是与n无关的常数，limn?

n?

0.

　　15.设f?

x?

在[a,）上可微且有界。

证明存在一个数列?

xn[a,?

）,使得limnxn?

且limnf'?

xn0.

　　16.设f?

u?

具有连续的导函数，且limu?

f'?

ua?

0,dx,y?

|x2?

y2?

r2,x,y?

0

　　?

r?

0?

.

　　i

　　?

1?

证明：

limuf?

u;?

2?

求ir?

f'?

x2?

y2?

dxdy;?

3?

求limr2

　　r

　　d

　　r

　　17.设f?

x?

于[a,）可导，且f'?

xc?

0?

c为常数?

证明：

　　?

1?

limx?

f?

x;?

2?

f?

x?

于[a,）必有最小值。

　　18.设limn?

an?

a,limn?

bn?

b,其中b?

0,用n语言证明lim

　　ana?

.

　　n?

bbn

　　?

sn?

x19.设函数列?

sn?

x的每一项sn?

x?

都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，

　　在ux0?

内闭一致收敛于s?

x?

又limnsn?

x0,证明：

lims?

x.

　　x?

x0

　　20.叙述并证明limx?

f?

x?

存在且有限的充分必要条件?

柯西收敛原理?

　　a

　　23.设?

　　f（x）=0.证明xlimf（x）dx收敛,且f（x）在?

a,?

上一致连续，?

　　24.设a1>0，an?

1＝an＋，证明＝1nan25.设f?

x?

在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?

h?

与m?

h?

分别表示f?

x?

在

　　?

a?

h,a?

h?

上的上、下确界，又设?

hn?

是一趋于0的递减数列，证明：

　　1）limnm?

hn?

与limnm?

hn?

都存在；

　　2）limn?

0m?

hlimnm?

hn?

limn?

0m?

hlimnm?

hn?

;

　　27.设an?

a,用定义证明:

limn?

an?

a

　　28.设x1?

0，xn?

1?

　　31?

xn

　　,（n?

1,2,?

），证明limxn存在并求出来。

　　n3?

xn

　　29.用“?

语言”证明lim30.设f（x）?

　　（x?

2）（x?

1）

　　?

0

　　x?

1x?

3

　　x?

2

　　，数列?

xn?

由如下递推公式定义：

x0?

1，xn?

1?

f（xn），（n?

0，x?

1

　　n

　　1，2，?

），求证：

limxn?

2。

　　31.设fn（x）?

cosx?

cos2x?

cosnx，求证：

　　（a）对任意自然数n，方程fn（x）?

1在[0,?

/3）内有且仅有一个正根；

　　（b）设xn?

[0,1/3）是fn（x）?

1的根，则limxn/3。

　　n

　　32.设函数f（t）在（a,b）连续，若有数列xn?

a,yn?

a（xn,yn?

（a,b））使

　　limf（xn）?

a（n）及limf（yn）?

b（n），则对a，b之间的任意数?

，

　　可找到数列xn?

a，使得limf（zn）

　　33.设函数f在[a,b]上连续，且

　　f?

0,记fvn?

f（a?

v?

n）,?

n?

　　?

exp{

　　b?

a

　　，试证明：

n

　　1b

　　lnf（x）dx}（n）并利用上述等式证明下?

ab?

a

　　式

　　2?

　　?

　　2?

　　ln（1?

2rcosx?

r2）dx?

2lnr（r?

1）

　　f（b）?

f（a）

　　?

k

　　b?

a

　　34.设f‘（0）?

k,试证明lim

　　a?

0?

b?

0?

　　35.设f（x）连续，?

（x）0f（xt）dt，且lim

　　x?

0

　　论?

'（x）在x?

0处的连续性。

　　f（x）

　　，求?

'（x），并讨?

a（常数）

　　x

　　36．给出riemann积分?

af（x）dx的定义，并确定实数s的范围使下列极限收敛

　　i1

　　lim?

（）s。

nni?

0n

　　?

x322

　　,x?

y?

0?

2

　　37.定义函数f?

x?

x?

y2.证明f?

x?

在?

0,0?

处连续但不可微。

　　?

0,x?

y?

0?

　　n?

1

　　b

　　38.设f是?

0,上有界连续函数，并设r1,r2,?

是任意给定的无穷正实数列，试证存在无穷正实数列x1,x2,?

使得：

limn?

f?

xn?

rnf?

xn?

0.

　　39.设函数f?

x?

在x?

0连续，且limx?

0

　　f?

2xf?

xa,求证：

f'?

0?

存在且等于a.

　　x

　　1n

　　40.无穷数列?

an,bn?

满足limnan?

a,limnbn?

b,证明:

lim?

aibn?

1-i?

ab.

　　nni?

1

　　41.设f是?

0,上具有二阶连续导数的正函数，且f'?

x0,f''有界，则limtf'?

t0

　　42.用?

分析定义证明limt1

　　x?

31

　　?

x2?

92

　　43.证明下列各题

　　?

1?

设an0,1?

，n?

1,2,?

试证明级数?

2nann?

1?

an?

n收敛；

　　n?

1

　　?

　　?

2?

设?

an?

为单调递减的正项数列，级数?

n2014an收敛，试证明limn2014an?

0;

　　n

　　n?

1

　　?

　　?

3?

设f?

x?

在x?

0附近有定义，试证明权限limx?

0f?

x?

存在的充要条件是：

对任何趋于0的数列?

xn,yn?

都有limn?

f?

xnf?

yn?

0.

　　?

1?

44.设?

an?

为单调递减数列的正项数列，级数?

anln?

1?

an?

0?

收敛，试证明limnn?

n?

1?

　　a?

1。

45.设an?

0，n=1,2，an?

a?

0,（n）,证limn

　　n

　　?

　　46.设f为上实值函数，且f

（1）＝1，f?

（x）＝〔1，＋?

〕

　　limf（x）存在且小于1＋。

　　x?

＋?

4

　　，证明x?

1）2

　　x2＋f（x）

　　?

　　47.已知数列{an}收敛于a，且

　　a?

a?

asn?

，用定义证明{sn}也收敛于a

　　n

　　48.若f?

x?

在?

0,?

上可微，lim

　　n

　　f（x）

　　?

0，求证?

0,?

内存在一个单

　　xx

　　调数列{?

n}，使得lim?

n?

且limf?

（?

n）?

0

　　n

　　xe?

sinx?

cosx?

x?

0

　　49.设f?

x?

2,确定常数a,b,c,使得f''?

x?

在?

处处存在。

　　ax?

bx?

c,x?

0

　　第二篇：

极限的证明

　　极限的证明

　　利用极限存在准则证明：

（1）当x趋近于正无穷时，（inx/x^2）的极限为0;

（2）证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。

　　1）用夹逼准则:

　　x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0

　　且lnx1）,lnx/x^2<（x-1）/x^2.而（x-1）/x^2极限为0

　　故（inx/x^2）的极限为0

　　2）用单调有界数列收敛:

　　分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a

　　x0>√a时,xn-x（n-1）=/2<0,单调递减

　　且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在.

　　设数列极限为a,xn和x（n-1）极限都为a.

　　对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a

　　同理可求x0<√a时,极限亦为√a

　　综上,数列极限存在,且为√

（一）时函数的极限：

　　以时和为例引入.

　　介绍符号:

的意义,的直观意义.

　　定义（和.）

　　几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.

　　例1验证例2验证例3验证证……

（二）时函数的极限：

　　由考虑时的极限引入.

　　定义函数极限的“”定义.

　　几何意义.

　　用定义验证函数极限的基本思路.

　　例4验证例5验证例6验证证由=

　　为使需有为使需有于是,倘限制,就有

　　例7验证例8验证（类似有（三）单侧极限:

　　1.定义：

单侧极限的定义及记法.

　　几何意义:

介绍半邻域然后介绍等的几何意义.

　　例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:

　　th类似有:

例10证明:

极限不存在.

　　例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有

　　=§2函数极限的性质（3学时）

　　目的：

使学生掌握函数极限的基本性质。

　　教学要求：

掌握函数极限的基本性质：

唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。

　　教学重点：

函数极限的性质及其计算。

　　教学难点：

函数极限性质证明及其应用。

　　教学方法：

讲练结合。

　　一、组织教学：

　　我们引进了六种极限:

.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.

　　二、讲授新课：

（一）函数极限的性质:

以下性质均以定理形式给出.

　　1.唯一性:

　　2.局部有界性:

　　3.局部保号性:

　　4.单调性（不等式性质）:

　　th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=（现证对有）

　　註:

若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.

　　5.迫敛性:

　　6.四则运算性质:

（只证“+”和“”）

（二）利用极限性质求极限：

已证明过以下几个极限：

　　（注意前四个极限中极限就是函数值）

　　这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.

　　利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：

通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.

　　例1（利用极限和）

　　例2例3註:

关于的有理分式当时的极限.

　　例4

　　例5例6例7

　　第三篇：

数列极限的证明

　　数列极限的证明

　　x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限

　　求极限我会

　　|xn+1-a|<|xn-a|/a

　　以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

　　|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

　　……

　　|x2-a|<|x1-a|/a;

　　向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/（a^n）