一元二次函数总结.docx

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一元二次函数总结

东北师范大学“明日乡”公益支教团

一元二次函数的图象

一、定义：

一般地，如果yax2bxc（a,b,c是常数，a0），那么y叫做x的一元二

次函数.其中，x是自变量，a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次项系

数和常数项。

二、一元二次函数y＝ax2＋bx＋c﹙a≠0﹚的图象（其中a,b,c

均为常数）

1.当a＞0时

函数图象开口向上；

对称轴为x＝﹣2a／b，有最小值且为﹙4ac－b2﹚／4a；

当x∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递减；当x∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递增；

2.当a＜0时

函数图象开口向下；

对称轴为x＝﹣2a／b，有最大值且为﹙4ac－b2﹚／4a；

当x∈﹙﹣∞,﹣2a／b]时递增；当x∈[﹣2a／b,﹢∞﹚时递减；

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2.△＝b2－4ac

当△＞0时，函数图象与x轴有两个交点；

当△＝0时，函数图象与x轴只有一个交点；

当△＜0时，函数图象与x轴没有交点。

（如下图所示）

三、抛物线yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.

例1：

画出y

1

x2

yx2

y2x2的图象

2

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y

1x2

y2x2

yx2

2

归纳：

一般地，抛物线y

ax2的对称轴是y轴，顶点是原点，当a0时，抛物

线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小；当a

0时，

抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，

a越大，抛物线的开口越大。

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置

1

2

，y

1

1）

2

的图象，考虑他们的开口方向、

例2：

画出二次函数y

（x1）

（x

2

2

对称轴和顶点。

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1

2

y

1

2

y

（x1）

（x

1）

2

2

可以看出，抛物线y

1

（x1）2的开口向下，对称轴是进过点（

-1,0）且与x轴

2

1

垂直的直线，记为x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线y

2

的开口向下，对

（x

1）

2

称轴是x=1，顶点是（1,0）。

例3：

画出函数y

1（x1）21的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点。

2

抛物线y

1x2经过怎样的变换可以得到抛物线y

1（x1）2

1？

2

2

抛物线y

1（x1）21的开口方向向下、对称轴是x=-1，顶点是（-1，-1）。

2

把抛物线y

1x2向下平移

1个单位，再向左平移

2个单位，就得到抛物线

1（x

2

y

1）21。

2

归纳：

一般地，抛物线y

a（xh）2

k与yax2形状相同，位置不同。

把抛物

线y

ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线

ya（xh）2

k。

平移的

方向、距离要根据h，k的值来决定。

抛物线ya（xh）2k有如下特点：

（1）当a0时，抛物线的开口向上；当a0时，抛物线的开口向下；

（2）对称轴是直线x=h；

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（3）顶点坐标是（h，k）

例4：

画出y1x26x21的图象

2

归纳：

一般地，可以用配方法求抛物线

yax2

bxc（a

0）的顶点与对称轴

y

ax2

bx

ca（x

b）2

4ac

b2

2a

4a

因此，抛物线yax2

bx

c的对称轴是x

b，顶点坐标是

2a

（

b

4acb2

）.

2a

4a

（2）

c的大小决定抛物线y

ax2

bxc与y轴交点的位置.

当x

0时，y

c，∴抛物线y

ax2

bxc与y轴有且只有一个交点（0，c）：

①c0，抛物线经过原点;

②c0,与y轴交于正半轴；

③c0,与y轴交于负半轴.

以上三点中，当结论和条件互换时仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则

b0.

a

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（2）a,b同号，对称轴在y轴左侧，反之，再y轴右侧

|x1-x2|=

b2

4ac,与y轴交点为（0,c）

a

22

b-4ac>0，ax+bx+c=0有两个不相等的实根

22

b-4ac<0，ax+bx+c=0无实根

b2-4ac=0，ax2+bx+c=0有两个相等的实根

二．四、根的分布，根据函数图象来判断其所需要满足的条

件

1.若x＜y＜m﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＞0

┣﹣2a／b＜m

┗f（m）＞0

2.若m＜x＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＞0

┣﹣2a／b＞m

┗f（m）＞0

3.若x＜m＜y﹙m为x轴上的一点﹚，则需满足：

4.若x,y∈﹙m,n﹚﹙m,n为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＞0

┣m＜﹣2a／b＜n┗f（m）＞0,f（n）＞0

5.若m＜x＜n＜y＜p﹙m,n,p为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏f（m）＞0┣f（n）＜0┗f（p）＞0

6.若只有一根在﹙m,n﹚之间﹙m，n为x轴上的一点﹚，则需满足：

┏△＝0

┗m＜﹣2a／b＜n

或f（m）·f（n﹚＜0

┏f（m）＝0

或

┗m＜﹣2a／b＜﹙n＋m﹚／2

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┏f（n）＝0

或

┗﹙n＋m﹚／2＜﹣2a／b＜n

五、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：

①yax2；②yax2k；③yaxh2；④yaxh2k；⑤yax2bxc.

图像特征如下：

函数解析式

开口方向

对称轴

顶点坐标

y

ax2

x

0（y轴）

（0,0）

y

ax2

k

当a0时

x

0（y轴）

（0,k）

y

ax

h2

开口向上

x

h

（h,0）

yaxh2

k

当a0时

xh

（h,k）

开口向下

b

b

4acb

2

y

ax

2

bx

c

x

（

2a

2a

，

）

4a

六、二次函数图像的变换规律：

抛物线y=a（x-h）

2+k的图像，可以由y=ax2得图像移动而得到。

y=ax2（a＞0）的图像沿x轴翻折y=-ax2（a＞0）

.

的图像

当h＜0时，向左平移错误！

未找到引用源。

个单位长度，

当h＞0时，向右平移错误！

未找到引用源。

个单位长度y=a（x-h）2的图像

当k＞0时，向上平移错误！

未找到引用源。

个单位长度

当k＜0时，向下平移错误！

未找到引用源。

个单位长度y=a（x-h）2-k的图像

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写成一般形式

y=ax2+bx+c的图像

规律：

在原有函数基础上“h值正右移，负左移，k值正上移，负下移”

七、直线与抛物线的交点（或称二次函数与一次函数关系）

（1）

y轴与抛物线y

ax2

bxc得交点为（0,c

）

（2）

与y轴平行的直线

x

h与抛物线yax2

bxc有且只有一个交点

（h,ah2

bhc）.

（3）抛物线与x轴的交点

二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应

一元二次方程

ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次

方程的根的判别式判定：

①

有两个交点

0

抛物线与x轴相交；

②

有一个交点（顶点在x轴上）

0抛物线与x轴相切；

③

没有交点

0

抛物线与x轴相离.

（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点

同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两

交点的纵坐标相等，设纵坐标为

k，则横坐标是ax2

bx

c

k的两个实数

根.而根的存在情况仍如（3）一样由根的判别式判定。

（5）

一次函数ykxnk

0的图像l与二次函数y

ax2

bx

ca0的图

像G的交点，由方程组

y

kx

n

的解的数目来确定：

y

ax2

bxc

①

程组有两组不同的解时

l与G有两个交点;

②

程组只有一组解时

l与G只有一个交点；

③

③方程组无解时

l与G没有交点.

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（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：

若抛物线y

ax2

bx

c与x轴两交点

为Ax1，0，Bx2，0

由于x1、x2

是方程ax2

bx

c

0的两个根，故由韦

达定理知：

x

x

b,x

x

c

1

2

1

2

a

a

2

b2

AB

x1x2

x1

x2

2

x1

x2

2

4x1x2

b

4c

a

4ac

a

a

a

八、二次函数与一元二次方程的关系：

（1）

一元二次方程0

ax2

bx

c就是二次函数y

ax2

bxc当函数y的值

为0时的情况．

（2）

二次函数y

ax2

bx

c的图象与x轴的交点有三种情况：

有两个交点、

有一个交点、没有交点；当二次函数y

ax2

bx

c的图象与x轴有交

点时，交点的横坐标就是当y0时自变量x的值，即一元二次方程

ax2

bx

c0的根．

（3）当二次函数y

ax2

bxc的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程

y

ax2

bx

c有两个不相等的实数根；当二次函数y

ax2

bxc的图

象与x轴有一个交点时，则一元二次方程

ax2

bxc

0有两个相等的实

数根；当二次函数y

ax2

bxc的图象与x轴没有交点时，则一元二次

方程ax2

bx

c

0没有实数根。

例5：

观察函数y

x2

x

2,yx2

6x9,yx2

x

1的图象与x轴的交点，得

出一元二次方程的根。

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可以看出：

（1）抛物线yx2x2与x轴有两个公共点，他们的横坐标是-2,1.当x去公共

点的横坐标时，函数的值是0.由此得出方程x2x20的根是-2,1.

（2）抛物线y

x2

6x

9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是

3，当x=3时，

函数值是0.由此得出方程x2

6x90有两个相等的实数根3。

（3）抛物线y

x2

x1与x轴没有公共点，可知，方程x2

x1

0没有实根。

归纳：

一般地，从二次函数

y

ax2

bxc的图象可知，

（1）如果抛物线y

ax2

bx

c与x轴有公共点，公共点的横坐标时x0，那么当

xx0及时方程ax2

bx

c

0的一个根。

（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：

没有公共点（

b2

4ac0），

有一个公共点（

b2

4ac

0），有两个公共点（b2

4ac0）。

这对应着一元二次

方程根的三种情况：

没有实数根，有两个相等的实数根（xb），有两个不相

2a

等的实数根（x1

bb2

4ac,x2

bb2

4ac）。

2a

2a

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九、二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法

因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时常用简化的描点法和五点法，其步骤是：

（1）先找出顶点坐标，画出对称轴；

（2）找出抛物线上关于对称轴的四个点（如与坐标轴的交点等）；

（3）把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来

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