高教社杯全国大学生数学建模竞赛A.docx
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高教社杯全国大学生数学建模竞赛A
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白,在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式(包括电话、电子邮件、网上咨询等)与队外的任何人(包括指导教师)研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道,抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料),必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺,严格遵守竞赛规则,以保证竞赛的公正、公平性。
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日期:
2011年9月12日
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2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
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备
注
全国统一编号(由赛区组委会送交全国前编号):
全国评阅编号(由全国组委会评阅前进行编号):
A题城市表层土壤重金属污染分析
摘要
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加,人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
其中,重金属对水源、农产品和人类有着很各种各样的危害,重金属污染越来越严重。
解决重金属污染显得尤为迫切和重要。
对城市表层土壤重金属污染分析是解决重金属污染的必要前提。
通过对城市各地区的土壤采点测量,可大致得出该城表层土壤重金属的分布和含量,根据各种金属污染原因和污染传播特征建立模型,一方面可以找出污染源,严加整治,另一方面可制定一些相应政策或者采取措施以减小污染,还城市一个美好的环境。
本论文依照所给数据,结合实际,搜集大量资料,通过对各组数据的深入分析,并利用各种数据统计分析软件(如Excel等)对相关数据进行定量分析、与相关标准数据对比,然后可得到土壤表层重金属污染程度,并结合相关实际情况对重金属污染的主要原因做简单的分析。
根据题中数据及重金属污染物的传播特征,找出其传播规律,结合数学公式,建立了数学模型,利用层次分析法找出污染源的位置。
再结合实际情况,对模型的优缺点做出分析,收集更多的相关数据,对模型进行修改,直至所建立的数学模型能与实测数据吻合得最好为止。
关键字:
重金属、污染、环境、数学模型、层次分析法
目录
一、问题提出:
3
二、问题分析:
3
三、基本假设:
3
四、建立模型:
3
(一)、符号定义:
3
(二)、模型求解:
4
1.问题1求解:
4
2.检验结果比对:
:
6
3.问题2求解………………………………………………………………...7
4.问题3求解:
9
5.问题4求解:
12
五、附录14
六、参考文献……………………………………………………………………16
一、提出问题:
随着我国城市化进程的不断推进以及城市经济的快速发展和人口的不断膨胀,人类的各种生产生活对城市的环境质量的影响不断扩大。
如何在发展城市经济与城市环境保护方面做到协调一致,一直是各国政府和人民关注的焦点。
在这里,我们对城市土地进行调查取样,得到一组数据。
然后利用大量的数据资料开展城市环境质量评价,研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式是我们此次建模的主要目的。
二、问题分析:
题目要求我们对城市地表重金属的空间分布情况和土壤受污染程度进行分析,找出污染的主要原因。
根据重金属污染物的传播特征,建立适当的数学模型,确定污染源的位置。
针对这个问题,我们首先要对大量的数据进行整理分析计算,对相关数据进行拟合,建立适当的数学模型。
三、基本假设:
1.由于城市地标重金属污染是一个长期慢慢累积的过程,于是可以假设取样点的重金属含量在较短的时间内不会有较大的变化。
2.在取样时无重大重金属污染事故。
3污染源附近的采样数据必定很大,在取平均值时,不予计算在内。
四.模型建立:
(一)、符号定义:
H金属含量的测量值
X、Y、Z分别为采样点的横坐标、纵坐标和海拔
H(X,Y,Z)关于金属含量的函数
B金属含量背景值(B1、B2分别为上下限值)
I金属含量相对指数,I=H1/B1
a、b、c相关系数
E,eAs的不同地区的测量值与平均值
G,gCr的不同区域的测量值与平均值
M,mNi的不同区域的测量值与平均值
S,sHs的不同区域的测量值与平均值
D,dCd的不同区域的测量值与平均值
J,jCu的不同区域的测量值与平均值
K,kZn的不同区域的测量值与平均值
i为功能区编号数
Wk权向量
k特征值
(二)模型求解:
问题1求解:
求出八种重金属元素在该城区的空间分布和各区域的污染程度;
通过数据统计和整理,利用MATLAB软件对各种元素的空间位置(横坐标、纵坐标)和浓度的分析可给出如下八个分布图;
我们可以明显的看出各元素空间分布情况。
根据数据可以建立一组三元线性方程来拟合数据模型如下:
H=aX+bY+cZ……………………………………………………模型一
利用matlab可以分别解出对应的a,b,c
列出三元一次方程组并求出解,结果如下:
砷As:
HAs(X、Y、Z)=0.0002X+0.004Y-0.00231Z……………
(1)
镉Cd:
HCd(X、Y、Z)=0.0065X+0.0222Y-1.132Z……………
(2)
铬Cr:
HCr(X、Y、Z)=0.001X+0.0039Y-0.1922Z……………(3)
铜Cu:
HCu(X、Y、Z)=-0.0002X+0.0059Y-0.3051Z……………(4)
汞Hg:
HHg(X、Y、Z)=0.0095X+0.0111Y-1.4061Z……………(5)
镍NiHNi(X、Y、Z)=0.0005X+0.001Y-0.0504Z……………(6)
铅PbHPb(X、Y、Z)=0.0008X+0.0049Y-0.1721Z……………(7)
锌Zn:
HZn(X、Y、Z)=0.0022X+0.0167Y-0.8524Z……………(8)
检验结果比对:
下面是选取Cr的数据进行与函数值与原值比对图,利用方程与原数据对比,可得下表,拟合度很好,可以利用。
其他7组这里就不再分析,原理和此一样。
图一
求污染程度时,我们采取金属含量测量值的加权平均值与金属含量最大背景值做比较,得到I金属含量相对指数,I=H/B1。
参考内梅罗指数等方法,对污染程度做了一些规定。
(由于采样点中有些可能是在污染源附近采集的,其中金属的含量值偏大,在求平均值时我们予以忽略不计,以便减小误差。
)
表一
现规定,当I值超过1.7时为严重污染,I在1.0到1.7时为轻微污染,I小于1.0时为良好,则得以下表格
金属元素
As(μg/g)
Cd(ng/g)
Cr(μg/g)
Cu(μg/g)
Hg(ng/g)
Ni(μg/g)
Pb(μg/g)
Zn(μg/g)
生活区
轻微污染
良好
轻微污染
轻微污染
严重污染
严重污染
轻微污染
良好
工业区
严重污染
良好
严重污染
良好
良好
严重污染
良好
良好
山区
良好
良好
良好
良好
良好
良好
良好
良好
交通区
良好
严重污染
良好
严重污染
严重污染
良好
轻微污染
严重污染
绿化区
严重污染
轻微污染
良好
轻微污染
轻微污染
良好
轻微污染
轻微污染
表二
问题2求解:
通过数据分析,说明重金属污染的主要原因;
根据问题一中的数据可以得到各生活区,不同重金属元素含量与背景值的比较图如下并分别对其原因进行分析。
图二
通过对表中数据的分析,发现在生活区重金属污染比较严重的是Cd、Hg、Zn。
原因是生活垃圾中有很多含有重金属的危险废物,比如废旧电器、电路板、光管、电池等,这些物品如不集中处理而混在普通垃圾中排放机会带来重金属污染。
所以对生活区造成了中度得污染。
图三
工业区是各种化工、材料工业的聚集区,由于管理上的原因,工业生产中的废水、废渣等的随意排放,就会导致该区各种重金属污染都比较严重。
图四
山区由于人烟稀少,也不是各种化工工业的聚集区,相对来说,人类的活动对山区的生态环境影响比较小,所以在该区各种重金属的含量基本都在正常值范围内。
图五
在交通区,由于车辆排放的尾气中含有Pb,经过空气的传播最终进入表层土壤,导致对土壤的污染;车辆轮胎中含有Zn等各种重金属元素,在长期的磨损中逐渐进入土壤,造成污染。
图六
在公园绿化区,由于身在城区,像Cd、Pb、Zn等重金属元素可能是随着工业粉尘进入到该区,对该区造成了轻度的污染。
问题3求解:
层次分析模型:
1.建立层次模型:
通过对不同功能区的重金属含量数据分析,可以找出重金属超标较为严重的三个区,即生活区,工业区,交通区;然后查找相关资料并结合本题实际可得到重金属污染在土壤中的传播特征主要有三种,即:
空气粉尘,污水和固体废弃物;并根据它们之间的相互关系可以建立如下的层次模型:
目标层:
主要源头;
准则层:
空气粉尘对土壤的污染、污水对土壤的污染、固体废弃物对土壤的污染;
方案层:
生活区、工业区、交通区;
2.根据准则层对方案层影响的大小,可以大致假设一个正互反矩阵A,
A=(11/41/3;412;1/31/21)
对向量A进行归一化,得到它的权向量w=(0.12200.55840.3196);
3.一致性检验:
用Matlab求得正互反阵A的最大特征根λ=3.018;定义一个一致性指标CI,
CI=(λ-n)/(n-1);(n表示A的阶次)
根据n=3,查随机一致性指标数值RI=0.58;
再定义一个一致性比率:
CR=CI/RI=0.016<0.1,可以认为A的不一致程度在容许的范围之内,可用其特征向量作为权向量。
4.设定组合权向量:
我们得到了准则层对目标层的权向量,这里可以用同样的方法构造方案层对准则层的每一个准则的成对比较阵,可以设它们为:
11/41/511/31/3134
B1=413/2B2=315/2B3=1/313
52/3132/511/41/31
用Matlab分别求出它们的权向量Wk,特征值λk,一致性指标CI,一致性比率CR如下表:
k
1
2
3
Wk
0.1001
0.1373
0.6144
0.4939
0.5591
0.2684
0.4060
0.3035
0.1172
λk
3.0441
3.0940
3.0735
CIk
0.0220
0.0470
0.0368
CRk
0.038
0.081
0.063
表三
5.计算组合权向量确定方案层对目标层的权重为:
W1’=0.1220×0.1001﹢0.5584×0.1373﹢0.3196×0.6144=0.2852;
W2’=0.1220×0.4939﹢0.5584×0.5591﹢0.3196×0.2684=0.4605;
W3’=0.1220×0.4060﹢0.5584×0.3035﹢0.3196×0.1172=0.2565;
6.由组合权向量可得出这样一个结论:
工业区,生活区,交通区污染的相对权重。
我们建立一个污染源可能性系数的一个模型函数来确定污染源的确切的位置
现设污染源可能性系数f(i)(i为不同的区),将最主要元素的超标量的相对值作为我们评判的标准。
于是,取每一种元素的相对偏移量如:
(Ei-e)/e分别取不同元素的偏移量之和。
则有f=Ei/e+Gi/g+Mi/m-3对模型进行优化
可得模型
f=Ei/e+Gi/g+Mi/m
故有不同区污染源可能性系数f(i)的函数如下:
f
(1)=S/s+M/m……………………………………(9)
f
(2)=E/e+Gi/g+Mi/m………………………………(10)
f(4)=D/d+J/j+K/k ………………………………(11)
建立评判函数模型
F=wf(i)(总体的污染源的位置可能性)
对于所有的有区域内可根据所求的F值来判断其位置是污染源的可能性大小;
下面给出整理后的数据表四;
x(m)
y(m)
海拔(m)
F
功能区
9460
8311
45
1.9611
4
5636
133
17
1.984
1
1647
2728
6
2.1358
2
12696
3024
27
2.2298
4
2708
2295
22
2.4049
4
4742
7293
9
2.6682
2
4948
7293
6
2.81
2
2383
3692
7
4.0427
2
13797
9621
18
4.4602
4
3299
6018
4
8.4127
4
表四
由表四,可规定F值大于2时的位置为污染源;即可以得出结论:
x(m)
y(m)
海拔(m)
1647
2728
6
12696
3024
27
2708
2295
22
4742
7293
9
4948
7293
6
2383
3692
7
13797
9621
18
3299
6018
4
以上为污染源的位置
问题4求解:
建立专家—层次分析定权模型
模型的优点:
1.本模型鉴于数据的量比较多,随机因素的影响会比较大;故我们先采用了层次分析法把各自城区的权重找出来;用一种定性的思想减少了大量数据所带有的随机误差的影响程度。
2.之后我们建立一个污染源可能性系数F的函数根据实际测量的数据进行定量的分析来确定实际的污染源的位置。
3.定性定量的而有机结合,可以有效地减少层次分析法中判断矩阵的人为性,使结果更合理。
模型的缺点:
1.没有考虑到地质环境因子对重金属传播特征的影响。
2.不能准确的预测出具体什么活动造成了环境的污染。
3.进行层次分析法的时候考虑的因素可能不全面。
为更好地研究城市地质环境的演变模式,还应收集地区对该地区地质环境演变有影响的评价因子(即地质环境系统的构成要素)。
通过查阅相关资料,找到了四个主要的评价因子:
地形坡度、微地貌形态、场地稳态、地基土承载力;然后在分析了上问中的不足之处后,建立一个更为合理的模型:
专家—层次分析定权模型。
专家—层次分析定权模型
由于影响城市地质环境演变模式的因素是多方面的,且地质环境具有复杂性,不可逆性,模糊性,要科学合理地确定各因素的权值是比较困难和不准确的。
这里就得建立一个更完善的模型—专家层次分析定权模型。
它实际上是结合了专家打分法定性分析的优点与层次分析法定量分析的优点,弥补两者的不足之处,即利用专家打分法来确定层次分析法所需要的判断矩阵。
建立了这种模型之后,根据该模型的思想,查找多方资料,可以得到下权值关系:
评价因子
地形坡度
微地貌形态
场地稳态
地基土承载力
地形坡度
1
2.375
3.375
0.667
微地貌形态
0.421
1
2.875
0.364
场地稳态
0.296
0.348
1
0.25
地基土承载力
1.5
2.75
4
1
根据表中数据可以得到以下判断矩阵:
12.3753.3750.667
0.42112.8750.364
A=0.2960.34810.25
1.52.7541
确定了该判断矩阵之后,再根据层次分析的步骤即可解决该问题!
五、附录
求解8种元素的各自的拟合函数;
有关程序:
A=['数据的初始化'
];%将有关各个元素的数值及其对应的坐标值进行矩阵化
y1=A(:
1);
y2=A(:
2);
y3=A(:
3);
y4=A(:
4);
y5=A(:
5);
y6=A(:
6);
y7=A(:
7);
y8=A(:
8);%将对应各元素的数值列向量进行分别赋值
x=A(:
9:
11);
A=REGRESS(y1,x)
B=REGRESS(y2,x)
C=REGRESS(y3,x)
D=REGRESS(y4,x)
E=REGRESS(y5,x)
F=REGRESS(y6,x)
G=REGRESS(y7,x)
H=REGRESS(y8,x)
八种元素在X,Y方位上的各自重金属的含量的三维图程序
A=['数据的初始化'];
x=A(:
1);y=A(:
2);
for(i=3;i<11;i++)
{z=A(:
i);
scatter(x,y,5,z)%散点图
figure
[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(0,28654)',linspace(0,18449),'v4');%插值
pcolor(X,Y,Z);shadinginterp%伪彩色图
figure,contourf(X,Y,Z)%等高线图
figure,surf(X,Y,Z)%三维曲面[服务器生成]
}
层次分析的程序
A=[11/41/3;412;31/21];%正方矩阵
[n,n]=size(A);
x=ones(n,100);
y=ones(n,100);%单位化矩阵
m=zeros(1,100);
m
(1)=max(x(:
1));
y(:
1)=x(:
1);
x(:
2)=A*y(:
1);
m
(2)=max(x(:
2));
y(:
2)=x(:
2)/m
(2);
p=0.0001;i=2;k=abs(m
(2)-m
(1));
>>whilek>p
i=i+1;
x(:
i)=A*y(:
i-1);
m(i)=max(x(:
i));
y(:
i)=x(:
i)/m(i);
k=abs(m(i)-m(i-1));
end
a=sum(y(:
i));
w=y(:
i)/a;
t=m(i);
disp(w)%权向量求解
disp(t)%最大特征根的求解
CI=(t-n)/(n-1);RI=[000.520.891.121.261.361.411.461.491.521.541.561.581.59];
CR=CI/RI(n);
ifCR<0.10
disp('此矩阵的一致性可以接受!
');
disp('CI=');disp(CI);
disp('CR=');disp(CR);
else
disp('此矩阵的一致性不可以接受!
');
end%一致性检验
求解污染源可能性系数F的程序
A=[‘输入一区主要元素含量值’]
x=A(:
1);
y=A(:
2);
F1=0.2852*(1/93.04*x+1/18.13*y)
B=[‘输入二区主要元素含量值’];
x=B(:
1);
y=B(:
2);
z=B(:
3);
F2=0.4605*(1/7.25*x+1/53.41*y+1/19.81*z)
C=[‘输入三区主要元素含量值’]
x=C(:
1);
y=C(:
2);
z=C(:
3);
F3=0.2565*(1/360.01*x+1/62.21*y+1/242.85*z)
六、参考文献:
1.赵焕臣.层次分析——一种简易的新决策方法.北京:
科
学出版社。
l98625-64。
2.张人权.靳孟贵.略论地质环境系统.地球科学——中国
地质大学学报,1995,20(4):
373-37。
3.张志涌,杨祖樱,MATLAB教程——北京航空航天大学出版社,2006年8月。
4.姜启源,谢金星,叶俊.数学建模(第三版)——高等教育出版社2003年8月。
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