专题二平行四边形常用辅助线的作法 精编排版.docx
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专题二平行四边形常用辅助线的作法精编排版
专题讲义 平行四边形 +几何辅助线的作法
一、知识点:
1.四边形的内角和与外角和定理:
(1)四边形的内角和等于 360°;
(2)四边形的外角和等于 360°.
2.多边形的内角和与外角和定理:
A
D
B C
A 4
(1)n 边形的内角和等于(n-2)180°;
(2)任意多边形的外角和等于 360°.
3.平行四边形的性质:
1
B
D
3
2
C
(1)两组对边分别平行;
⎪
性质⎪
⎪
⎨
DC
O
AB
4、平行四边形判定方法的选择
⎪
判定 ⎪
(5)邻角互补 .
5、和平行四边形有关的辅助线作法
(1)利用一组对边平行且相等构造平行四边形
例 1、如图,已知点 O 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 的中点,四边形 OCDE 是平行四边形.
求证:
OE 与 AD 互相平分.
说明:
当已知条件中涉及到平行,且要求
证的结论中和平行四边形的性质有关,可
试通过添加辅助线构造平行四边形.
1
(2)利用两组对边平行构造平行四边形
例 2、如图,在△ABC 中,E、F 为 AB 上两点,AE=BF,ED//AC,FG//AC 交 BC 分别为 D,G.
求证:
ED+FG=AC.
说明:
当图形中涉及到一组对边平
行时,可通过作平行线构造另一组
对边平行,得到平行四边形解决问
(3)利用对角线互相平分构造平行四边形:
例 3、如图,已知 AD 是△ABC 的中线,BE 交 AC 于 E,交 AD 于 F,且 AE=EF.求证 BF=AC.
说明:
本题通过利用对角线互相平分构造平行
四边形,实际上是采用了平移法构造平行四边
形.当已知中点或中线应思考这种方法.
2
(4)连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
例 4、如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E, F 在对角线 AC 上,且 AE = CF ,请你以 F 为一
个端点,
和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段
相等(只需证明一条线段即可)
D
C
D C
F
O
O
E
A
B
A
B E
图1
图2
(5)平移对角线,把平行四边形转化为梯形。
例 5、如右图 2,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,如果 AC = 12 ,
BD = 10 , AB = m ,那么 m 的取值范围是()
O
A、1 < m < 11B、 2 < m < 22
A
B
E
C、10 < m < 12D、 5 < m < 6
图2
AD
C
3 1
E
D
(6)过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
P
例 6、已知:
如图,四边形 ABCD 为平行四边形:
2
求证:
AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2
B E
图3
C F
B
图
3
(7)延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
例 7、已知:
如右上图 4,在正方形 ABCD 中, E, F 分别是 CD 、 DA 的中点, BE 与 CF 交
于 P 点,求证:
APAB
二、课堂练习:
1、如图,E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点,AC 与 DE 相交于点 F ,若平行四边形 ABCD
1
2
A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个
2、顺次连接一个任意四边形四边的中点,得到一个 ____________________ 四边形.
3、如图,AD,BC 垂直相交于点 O,AB∥CD,BC=8,AD=6,
则 AB+CD 的长=___________。
4、已知等边三角形 ABC 的边长为 a, P 是△ABC 内一点,PD∥AB,PE∥BC,PF ∥AC,点 D、
E、F 分别在 BC、AC、AB 上,猜想:
PD+PE+PF=______,并证明你的
猜想.
CE
3 1
P
D
2
B
图4
F
A K
4
5、平行四边形 ABCD 中, E , G, F , H 分别是四条边上的点,且 AE = CF , BC = DH ,
试说明:
EF 与 GH 相互平分.
6、如图,平行四边形 ABCD 的对角线 AC 和 BD 交于 O,E、F 分别为 OB、OD 的中点,过 O
任作一直线分
别交 AB、CD 于 G、H.
试说明:
GF∥EH.
7、如图,已知 AB = AC ,B 是 AD 的中点,E 是 AB 的中点.
试说明:
CD = 2CE
B
D
8、如图,E 是梯形 ABCD 腰 DC 的中点.
E
试说明:
S
∆ABE =
1
S
2 梯形ABCD
5
9、已知六边形 ABCDEF 的 6 个内角均为 120°,CD=2cm,BC=8cm,AB=8cm,AF=5cm,试
求此六边形的周长.
10、已知 ∆ABC 是等腰三角形,AB=AC,D 是 BC 边上的任一点,且 DE ⊥ AB ,
DF ⊥ AC , CH ⊥ AB ,垂足分别为 E、F、H,
求 证:
DE + DF = CH
11、已知:
在 Rt∆ABC 中, AB = BC ;在 Rt∆ADE 中, AD = DE ;连结 EC ,取 EC 的中点
M ,
连结 DM 和 BM .
(1)若点 D 在边 AC 上,点 E 在边 AB 上且与点 B 不重合,如图①,
求证:
BM = DM 且 BM ⊥ DM ;
(2)如果将图 8-①中的 ∆ADE 绕点 A 逆时针旋转小于 45°的角,如图②,那么
(1)
中的结论是否仍成立?
如果不成立,请举出反例;如果成立,请给予证明.
6
B
E
M
ADC
图①
E
B
D M
A
C
图-②
答案:
例 4、⑴ 连结 BF⑵ BF = DE
,
⑶ 证明:
连结 DB DF ,设 DB AC 交于点 O
∵四边形 ABCD 为平行四边形∴ AO = OC, DO = OB
∵ AE = FC∴ AO - AE = OC - FC 即 OE = OF
∴四边形 EBFD 为平行四边形∴ BF = DE
例 5、解:
将线段 DB 沿 DC 方向平移,使得 DB = CE , DC = BE ,则有四边形 CDBE 为平行
四边形,
∵在 ∆ACE 中, AC = 12 , CE = BD = 10 , AE = 2 AB = 2m
∴12 - 10 < 2m < 12 + 10 ,即 2 < 2m < 22解得 1 < m < 11故选 A
例 6、证明:
过 A, D 分别作 AE ⊥ BC 于点 E , DF ⊥ BC 的延长线于点 F
∴ AC 2 = AE 2 + CE 2 = AB 2 - BE 2 + ( BC - BE ) 2 = AB 2 + BC 2 - 2 BE ⋅ BC
BD 2 = DF 2 + BF 2 = (CD 2 - CF 2 ) + ( BC + CF ) 2 = CD 2 + BC 2 + 2BC ⋅ CF
7
则 AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 + 2BC ⋅ CF - 2BC ⋅ BE
∵四边形 ABCD 为平行四边形∴ AB ∥ CD 且 AB = CD , AD = BC
∴ ∠ABC = ∠DCF∵ ∠AEB = ∠DFC = 90 0
∴ ∆ABE ≅ ∆DCF∴ BE = CF
∴ AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2
例 7、证明:
延长 CF 交 BA 的延长线于点 K
∵四边形 ABCD 为正方形
∴ AB ∥ CD 且 AB = CD , CD = AD , ∠BAD = ∠BCD = ∠D = 90 0
∴ ∠1 = ∠K又∵ ∠D = ∠DAK = 90 0 , DF = AF∴ ∆CDF ≌ ∆KAF
1
22
∵ ∠BCD = ∠D = 90 0∴ ∆BCE ≌ ∆CDF∴ ∠1 = ∠2
∵ ∠1 + ∠3 = 90 0∴ ∠2 + ∠3 = 90 0∴ ∠CPB = 90 0 ,则 ∠KPB = 90 0
∴ AP = AB
二、课堂练习:
1、 C2、平行3、104、 a
5、分析:
观察图形,EF 与 HG 为四边形 HEGF 的对角线,若能说明四边形 HEGF 是平
行四边形,根据
平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到 EF 与 GH 相互平分。
6、分析:
观察图形,GF 与 EH 为四边形 GEHF 的对边,若能说明四边形 EHFG 是平行
四边形,平行四
边形具有对边平行的性质可得 GF∥EH.
8
7、分析:
延长 CE 至 F,使 EF=CE,连结 AF、BF,得四边形 AFBC 是平行四边形,利
用平行四边形
的性质证明△DBC≌△FBC 即可。
8、分析:
过点 E 作 MN∥AB,交 BC 于 N,交 AD 的延长线于 M,则四边形 ABNM 是平
行四边形,
ABE
平行四边形 ABNM,接下来说明
S
梯形 ABCD=S
平行四边形 ABNM 即可。
9、
10、 证明:
过 D 点作 DG⊥CH 于 G
又 DE⊥AB 于 E,CH⊥AB 于 H
∴四边形 DGHE 为矩形∴DE=GHEH∥DG
∴∠B=∠GDC
又 AB=AC∴∠B=∠ACB
∴∠GDC=∠ACB
又∠DGC=∠DFC=90°CD=DC(公共边)
∴△CDG≌△DCF(AAS)
∴DF=CG
9
又 CH=CG+GH
∴CH=DF+DG(等量代换)
11、
平行四边形中常用辅助线的添法
10
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同
性质,所以在添辅助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三
角形的全等、相似,把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常
用方法有下列几种,举例简解如下:
(1)连对角线或平移对角线:
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形
(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或
中位线
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形。
(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等 .
第一类:
连结对角线,把平行四边形转化成两个全等三角形。
例 1 如左下图 1,在平行四边形 ABCD 中,点 E, F 在对角线 AC 上,且 AE = CF ,请你
以 F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中
已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)
⑴连结 BF⑵ BF = DE
⑶证明:
连结 DB, DF ,设 DB, AC 交于点 O
∵四边形 ABCD 为平行四边形∴ AO = OC, DO = OB
∵ AE = FC∴ AO - AE = OC - FC 即 OE = OF
∴四边形 EBFD 为平行四边形∴ BF = DE
D
C
D C
F
O
O
E
A
B A
B E
图1
图2
第二类:
平移对角线,把平行四边形转化为梯形。
例 2 如右图 2,在平行四边形 ABCD 中,对角线 AC 和 BD 相交于点 O,如果 AC = 12 ,
BD = 10 , AB = m ,那么 m 的取值范围是()
A1 < m < 11B 2 < m < 22C10 < m < 12D 5 < m < 6
11
解:
将线段 DB 沿 DC 方向平移,使得 DB = CE , DC = BE ,则有四边形 CDBE 为平行四
边形,∵在 ∆ACE 中, AC = 12 , CE = BD = 10 , AE = 2 AB = 2m
∴12 - 10 < 2m < 12 + 10 ,即 2 < 2m < 22解得1 < m < 11故选 A
第三类:
过一边两端点作对边的垂线,把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例 3 已知:
如左下图 3,四边形 ABCD 为平行四边形
求证:
AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2
证明:
过 A, D 分别作 AE ⊥ BC 于点 E , DF ⊥ BC 的延长线于点 F
∴ AC 2 = AE 2 + CE 2 = AB 2 - BE 2 + ( BC - BE ) 2 = AB 2 + BC 2 - 2 BE ⋅ BC
BD 2 = DF 2 + BF 2 = (CD 2 - CF 2 ) + ( BC + CF ) 2 = CD 2 + BC 2 + 2BC ⋅ CF
则 AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2 + 2BC ⋅ CF - 2BC ⋅ BE
∵四边形 ABCD 为平行四边形∴ AB ∥ CD 且 AB = CD , AD = BC
∴ ∠ABC = ∠DCF∵ ∠AEB = ∠DFC = 90 0
∴ ∆ABE ≅ ∆DCF∴ BE = CF
∴ AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA2
D
C
3 1
E
D
A
P
F
2
BE
图3
C F B
图4
A K
第四类:
延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。
例 4:
已知:
如右上图 4,在正方形 ABCD 中,E, F 分别是 CD 、DA 的中点, BE 与 CF
交于 P 点,求证:
AP = AB
证明:
延长 CF 交 BA 的延长线于点 K
∵四边形 ABCD 为正方形
∴ AB ∥ CD 且 AB = CD , CD = AD , ∠BAD = ∠BCD = ∠D = 90 0
∴ ∠1 = ∠K又∵ ∠D = ∠DAK = 90 0 , DF = AF∴ ∆CDF ≌ ∆KAF
12
1
22
∵ ∠BCD = ∠D = 90 0∴ ∆BCE ≌ ∆CDF∴ ∠1 = ∠2
∵ ∠1 + ∠3 = 90 0∴ ∠2 + ∠3 = 90 0∴ ∠CPB = 90 0 ,则 ∠KPB = 90 0
∴ AP = AB
第五类:
延长一边上一点与一顶点连线,把平行四边形转化为平行线型相似三角形。
例 5 如左下图 5,在平行四边形 ABCD 中,点 E 为边 CD 上任一点,请你在该图基础上,
适当添加辅助线找出两对相似三角形。
解:
延长 AE 与 BC 的延长线相交于 F ,则有 ∆AED ∽ ∆FEC , ∆FAB ∽ ∆FEC , ∆AED ∽ ∆FAB
AA
D
EN
O
F
BE图6C
B图5CF
第六类:
把对角线交点与一边中点连结,构造三角形中位线
例 6 已知:
如右上图 6,在平行四边形 ABCD 中, AN = BN , BE =
交 BD 于 F ,求 BF :
BD
解:
连结 AC 交 BD 于点 O ,连结 ON
BD
∵四边形 ABCD 为平行四边形∴ OA = OC, OB = OD =
2
1
3
D
BC , NE
11BEBF
22ONFO
1BF2
3FO3
BF2
BO5
综上所述,平行四边形中常添加辅助线是:
连对角线,平移对角线,延长一边中点与
顶点连线等,这样可将平行四边形转化为三角形(或特殊三角形)、矩形(梯形)等图形,
为证明解决问题创造条件。
13
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