广东省惠州一中惠州市届高三第三次调研考试 数学理.docx
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广东省惠州一中惠州市届高三第三次调研考试数学理
惠州市2018届高三第三次调研考试
理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.
(1)集合
,
,则
=( )
A.
B.
C.
D.
(2)已知
为虚数单位,复数
满足
,则复数
的虚部为( )
A.
B.
C.
D.
(3)抽奖一次中奖的概率是
,5个人各抽奖一次恰有3人中奖的概率为( )
A.
B.
C.
D.
(4)等比数列
中,
,
,则
( )
A.8B.16C.32D.64
(5)已知函数
是定义在
上的偶函数,且
,当
时
,则
( )
A.-2B.2C.-3D.3
(6)若
展开式中所有二项式系数之和是512,常数项为
,则实数
的值是( )
A.1 B.﹣1 C.
D.
(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体的体积为( )
A.
B.1 C.
D.4
(8)如图是一个算法的流程图,则输出
的值是()
A.15B.31C.63D.127
(9)已知
,则
的值为( )
A.
B.
C.
D.
(10)已知
是圆
:
的两条切线(
是切点),其中
是直线
上的动点,那么四边形
的面积的最小值为()
A.
B.
C.
D.
(11)已知函数
满足
的导数
则不等式
的解集是()
A.
B.
C.
D.
(12)已知函数
,设
在点
N*)处的切线在
轴上的截距为
,数列
满足:
,
,在数列
中,仅当
时,
取最小值,则
的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
二.填空题:
本题共4小题,每小题5分。
(13)已知向量
,
则
.
(14)设x,y满足约束条件
,则
的最大值为 .
(15)已知等差数列
的前
项和为
,
,
,则数列
的前2017项和
.
(16)设
为椭圆
的左右顶点,若在椭圆上存在异于
的点
使得
其中
为坐标原点,则椭圆的离心率
的取值范围是 .
三.解答题:
共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个考生都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
(17)(本小题满分12分)
在
中,
、
、
分别为角
、
、
所对的边,
.
(1)求角
的大小;
(2)若
,求
外接圆的圆心到
边的距离.
(18)(本小题满分12分)在四棱锥
中,底面是边长为4的菱形,
,
(1)证明:
(2)若
是
的中点,
,
求二面角
的余弦值.
(19)(本小题满分12分)智能手机一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批离不开手机的人。
为了调查每天使用手机的时间,某公司在一广场随机采访成年男性、女性各50名,其中每天玩手机超过6小时的用户列为“手机控”,否则称其为“非手机控”,调查结果如下:
手机控
非手机控
合计
男性
25
25
50
女性
30
20
50
合计
55
45
100
(1)根据以上数据,能否有75%的把握认为“手机控”与性别有关?
(2)现从调查的女性中按分层抽样的方法选出5人,并从选出的5人中再随机抽取3人,给3人中的“手机控”每人赠送500元的话费。
记这3人中“手机控”的人数为
试求
的分布列与所赠送话费的数学期望。
参考公式:
,其中
0.50
0.40
0.25
0.05
0.025
0.010
0.455
0.708
1.321
3.840
5.024
6.635
(20)(本小题满分12分)已知椭圆C:
的离心率为
,
且抛物线
的准线恰好过椭圆
的一个焦点。
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点
的直线
与椭圆交于
两点,求
面积的最大值。
(21)(本小题满分12分)已知
,设函数
,
(1)存在
,使得
是
在
上的最大值,求
的取值范围;
(2)
对任意
恒成立时,
的最大值为1,求
的取值范围.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
(22)(本小题满分10分)[选修4—4:
坐标系与参数方程]
已知曲线C的参数方程为
(
为参数),以直角坐标系原点
为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设
,
,若
与曲线C相交于异于原点的两点
,求
的面积。
(23)(本小题满分10分)[选修4-5:
不等式选讲]
设函数
.
(1)解不等式
;
(2)
,
恒成立,求实数
的取值范围
惠州市2018届高三第三次调研考试
理科数学参考答案
选择题(共12小题)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
B
D
B
B
A
A
C
C
D
C
A
A
1、
,
,
,故选B
2.
故选D.
3.本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式.故选B
4.
,解得
,
.故选B
5.
∴周期
;
.故选A
6.由题意
=
故选A
7.直观图是三条侧棱两两垂直的三棱锥,且侧棱长都为2,
.故选C
8.
;
;
;
;
,输出的
.故选C.
9.
∴
=
=
=
=
=
∴
=
.故选D
10圆C:
是直角三角形,
所以当
最小时,
有最小值,
,
,
.故选C
11、设
,
,即
在R上单调递减
,
,即
,
,解得
或
.故选A
12.
,则
,
得
,即
,
∴数列
是首项为2、公差为1的等差数列,∴
,即
.
,∴函数
在点
N*)处的切线方程为:
,令
,得
.
,仅当
时取得最小值,
只需
,解得
,故
的取值范围为
.
故选A
二、填空题(共4小题)
13.
14.115.
16.
13、
=
14、作出可行域,
表示可行域内的点
与点
之间的斜率,当过点
时,
有最大值1.
15、
,
,又
,可得
,
=
。
16、
,设
,则
,
,
,得
,
将
代入
,整理得
,
其在
上有解。
设
,
,
(
和对称轴),解得
,又
,
17.
(1)
,由余弦定理得:
,-------------------------------------------2分
,-------------------------------------------------3分
则
-------------------------------5分
∵
∴
.-------------------------------------------7分
(2)设
外接圆的半径为
,由正弦定理知
----------------------------------------9分
--------------------------------------------------10分
则
外接圆的圆心到
边的距离
.-------------------------------------------12分
18.
(1)因为底面是菱形,所以
.--------------------------------1分
又
,所以
.--------------------2分
,所以
.---------------------------------3分
又
,所以
.---------------------------------------4分
(2)由
(1)
在
中,
∴
,-----------6分
方法一:
过
做
于
,连
,则
,
所以
是二面角
的平面角.-----------------------------7分
在
中,
,所以
,即
.
所以
.------------------------------------------9分
,得
,----------------------10分
,
,所以二面角
的余弦值为
.-----------12分
方法二:
如图,以
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,
,
,
,
,
,
,
.----------------------8分
设面
的法向量为
,则
,即
,得方程的一组解为
,即
.-----------9分
又面
的一个法向量为
,-----------10分
所以
,所以二面角
的余弦值为
.-----------12分
19.解:
(1)由列联表可得
--------3分
∴没有75%的把握认为“手机控”与“性别”有关------------------------------5分
(2)依题意知:
所抽取的5位女性中“手机控”有3人,“非手机控”有2人
∴X的可能值为1,2,3.---------------------------------------------------7分
-----------10分
∴
的分布列是:
X
1
2
3
P
------------------------------11分
赠送话费的期望是
-----------12分
20.
(1)设椭圆的焦半距为
,抛物线
的准线为
,
,
所以椭圆
的方程是
.-------------------------4分
(2)由题意直线不能与
轴垂直,否则将无法构成三角形.
设其斜率为
,那么直线
的方程为
.-------------------5分
联立
与椭圆
的方程,消去
,得
.
.
设点
得
,
----7分
所以
,----------8分
又
到
的距离
所以
的面积
.----------------9分
令,那么
,
,----------------10分
因为
是减函数----------------11分
所以当
时,
所以△OMN面积的最大值是
.-------------------------12分
21.
(1)
,--------------1分
①当
时,
在
上
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