广东深圳南山高三上期末数学试题理.docx
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广东深圳南山高三上期末数学试题理
高三教学质量监测
数学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页,共150分,考试时间120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损。
之后务必用黑色签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、班级、姓名及座位号,在右上角的信息栏填写自己的考号,并用2B铅笔填涂相应的信息点。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上。
不按要求填涂的,答案无效。
3.非选择题必须用黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排。
如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案。
不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁,不折叠,不破损。
考试结束后,将答题卡交回。
5.考试不可以使用计器。
第Ⅰ卷选择题
一、选择题:
本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集
,集合
,
,那么
A.
B.
C.
D.
2.已知复数
(
),且有
,则
的值为
A.
B.
C.
D.
3.设
,则“
”是“
”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4.二项式
的展开式中,若常数项为
,则
的值为
A.
B.
C.
D.
5.实数
满足条件
,则
的最小值为
A.1B.
C.
D.2
6.下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产
产品过程中记录的产量
(吨)与相应的生产能耗
(吨)的几组对应数据:
3
4
5
6
2.5
4
4.5
根据上表提供的数据,求出
关于
的线性回归方程为
,那么表中
的值为
A.3B.3.15C.3.5D.4.5
7.设
是第二象限角,且
,则
A.
B.
C.
D.
8.阅读如下的程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为
A.7B.9C.10D.11
9.如图,在矩形
中,
,
,沿
将矩形
折叠,连接
,所得三棱锥
的正视图和俯视图如图所示,则三棱锥
的侧视图的面积为
A.
B.
C.
D.
10.如图,已知
是双曲线
的下,上焦点,过
点作以
为圆心,
为半径的圆的切线,
为切点,若切线段
被一条渐近线平分,则双曲线的离心率为
A.
B.
C.
D.
11.在
中,
的对边分别为
,
,
,且
成等差数列,则
A.
B.
C.
D.
12.已知椭圆
的右焦点为
.短轴的一个端点为
,直线
交椭圆
于
两点.若
,点
到直线
的距离不小于
,则椭圆
的离心率的取值范围是
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷非选择题
二、填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
13.设随机变量
服从正态分布
,且
,则正数
.
14.设
且
,则“函数
在
上是减函数”,是“函数
是
上的增函数”的___________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”)
15.已知数列
满足
,
,
是数列
的前
项和,则
.
16.函数
的图像向左平移
个单位后关于原点对称,则函数
在区间
上的最小值为.
三、解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)
已知
是一个单调递增的等差数列,且满足
是
的等比中项,
.数列
满足
.
(1)求数列
的通项公式
;
(2)求数列
的前
项和
.
18.(本小题满分12分)
某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平,在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试,将所得数据整理后,绘制出频率分布直
方图如图所示,其中样本数据分组区间为
,
,
,
,
.
(1)试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩;
(2)如果从参加本次考试的同学中随机选取
名同学,求这名同学考试成绩在
分以上(含
分)的概率;
(3)如果从参加本次考试的同学中随机选取
名同学,这
名同学中考试成绩在
分以上(含
分)的人数记为
,求
的分布列及数学期望.
(注:
频率可以视为相应的概率)
19.(本小题满分12分)
如图所示,已知四棱锥
中,
平面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
是棱
上一点,且
.
(1)求证:
平面
;
(2)求二面角
的大小;
20.(本小题满分12分)已知点
为坐标原点,直线
经过抛物线
的焦点
.
(Ⅰ)若点
到直线
的距离为
,求直线
的方程;
(Ⅱ)如图,设点
是直线
与抛物线
在第一象限的交点.点
是以点
为圆心,
为半径的圆与
轴负半轴的交点,试判断直线
与抛物线
的位置关系,并给出证明.
21.(本小题满分12分)
已知函数
,其中
为常数.
(1)若
的图象在
处的切线经过点
,求
的值;
(2)若
,求证:
;
(3)当函数
存在三个不同的零点时,求
的取值范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答。
注意:
只能做所选定的题目。
如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本题满分10分)选修
:
几何证明选讲
如图所示,
为圆
的切线,
为切点,
交圆
于
两点,
,
的角平分线与
和圆
分别交于点
和
.
(1)求证
.
(2)求
的值.
23.(本小题满分10分)选修4-4:
极坐标系与参数方程
在直角坐标系
中,曲线
的参数方程为
,(
为参数),以原点
为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线
的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(Ⅱ)设
为曲线
上的动点,求点
到
上点的距离的最小值.
24.(本小题满
分10分)选修
:
不等式选讲
设函数
.
(1)当
时,
解不等式,
.
(2)若
的解集为
,
,求证:
.
深圳市南山区2016届高三期末质量检测答案理
理科数学
二.填空题:
本大题共4小题,每小题5分。
13.
14.充分而不必要
15.
16.
三.解答题:
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.解:
(1)设等差数列
的公差为
,则依题知
.
由
,可得
.
由
是
的等比中项得
,
即
,可得
.
所以
.可得
6分
(2)由
(1)得
,
=
,①
∴
=
,②
①-②得,
=
=
=
,
∴
=
.12分
18.解:
(1)估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为:
.……………2分
(2)设被抽到的这名同学考试成绩在
分以上为事件A.
答:
被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4.……6分
(3)由
(2)知,从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在
分以上的概率为
,
X可能的取值是0,1,2,3.
;
;
;
.
的分布列为:
0
1
2
3
………11分
所以
.…………12分
(或
,所以
.)
19.(本小题满分12分)
解:
(1)先证
平面
,可得
,再用勾股定理的逆定理证
;
4分
(2)设
中点为
,
中点为
,连
,
,
,
则
,
平面
,由
(1)知
,所以
,
由三垂线逆定理知
,
为二面角
的平面角,
,
,
二面角
的大小
12分
用向量方法对照上面给分
用向量方法参考上面给分
20.解:
(Ⅰ)抛物线的焦点
,当直线
的斜率不存在时,即
不符合题意;
当直线
的斜率存在时,设直线
的方程为:
,即
.
所以,
,解得:
.
故直线
的方程为:
,即
.……………………………6分
(Ⅱ)直线
与抛物线相切,证明如下:
设
,则
.
因为
,所以
.
所以直线
的方程为:
,整理得:
把方程
代入
,得:
,
.
所以直线
与抛物线相切.………………………………………………………………12分
21.(本小题满分12分)
解:
由题知
(1)
……………………………2分
…………………………4分
(2)
,令
,
则
……………………………………6分
∴
时,
单调递减,
故
时,
,
∴当
时,
…………………………………………8分
(3)
①
∴
至多只有一个零点,不合题意;…………………………………………10分
②
∴
至多只有一个零点,不合题意;…………………………………………11分
③
此时,
在
上递减,
上递增,
上递减,所以,
至多有三个零点。
因为
在
递增,所以
,又因为
,所以
,使得
,又
,所以恰有三个不同零点:
,所以函数
存在三个不同的零点时,
的取值范围是
。
………………………………12分
请考生在22、23、24三题中任选一题作答。
注意:
只能做所选定的题目。
如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。
22.(本题满分10分)选修
:
几何证明选讲
解:
(1)由
为圆
的切线,得
,又
为公共角,所以
,
4分
(2)由
为圆
的切线,
是过点
的割线,
,
,
,又
,
,
又由
(1)知
,
,
,
是
的角平分线,且
,
,
,
10分
23.(本小题满分10分)选修
:
坐标系与参数方程
解:
(Ⅰ)由曲线
:
得
即:
曲线
的普通方程为:
由曲线
:
得:
即:
曲线
的直角坐标方程为:
…………………………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆
与直线
无公共
点,椭圆上的点
到直线
的距离为
所以当
时,
的最小值为
………………………………………10分
24.(本小题满
分10分)选修
:
不等式选讲
解:
(1)当
时,
不等式变形为
,两边平方整理得
,解得
,所以不等式的解集为
5分
(2)由
得
,故
,则
所以
10分
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