第十四章整式的乘法与因式分解教案.docx
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第十四章整式的乘法与因式分解教案
第十四章整式的乘法与因式分解
14.1.1同底数幕的乘法
教学目的:
1、能归纳同底数幕的乘法法则,并正确理解其意义;
2、会运用同底数幕的乘法公式进行计算,对公式中字母所表示“数”的各种可能情形
应有充分的认识,并能与加减运算加以区分;了解公式的逆向运用;
教学重点:
同底数幕的乘法法则
教学难点:
底数的不同情形,尤其是底数为多项式时的变号过程
一、复习提问
1•乘方的意义:
求n个相同因数a的积的运算叫乘方
2.指出下列各式的底数与指数:
(1)34;
(2)a3;(3)(a+b)2;(4)(-2)3;⑸-23.
其中,(-2)3与-23的含义是否相同?
结果是否相等?
(-2)4与-24呢?
二、讲授新课
1•(课本95页问题)利用乘方概念计算:
1015X103.
2、计算观察,探索规律:
完成课本第95页的“探索”,学生“概括”amxan=…=a:
3、观察上式,找出其中包含的特征:
左边的底数相同,进行乘法运算;右边的底数与左边相同,指数相加
4、归纳法则:
同底数的幕相乘,底数不变,指数相加。
三、实践应用例1、计算:
2
56
(1)x•x
(2)a•a(3)2
练习:
1.课本第96页:
(学生板演过程,写出中间步骤以体现应用法则)
2.随堂巩固:
下面计算否正确?
若不正确请加以纠正。
666246248
①a•a=2a②a+a=a③a•a=a
例2
(1)填空:
⑴若xm+nXxm-n=x9;贝Um=
“、mn—「m+n
(2)2=16,2=8,贝U2=。
四、归纳小结
1、同底数幕相乘的法则;
2、法则适用于三个以上的同底数幕相乘的情形;
3、相同的底数可以是单项式,也可以是多项式;
4、要注意与加减运算的区别。
五、布置作业
14.1.2幕的乘方
教学目标:
1、经历探索幕的乘方的运算性质的过程,进一步体会幕的意义;
2、了解幕的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题•
教学重点:
幕的乘方的运算性质及其应用•
教学难点:
幕的运算性质的灵活运用•
一:
知识回顾
1•讲评作业中出现的错误
2•同底数幕的乘法的应用的练习
:
新课引入
探究:
根据乘方的意义及同底数幕的乘法填空,看看计算的结果有什么规律:
观察结果,发现幕在进行乘方运算时,可以转化为指数的乘法运算.
引导学生归纳同底数幕的乘法法则:
幕的乘方,底数不变,指数相乘•即:
(a》n=amn(mn都是正整数)
三、知识应用
3544m243
例题:
(1)(10);
(2)(a);(3)(a");(4)-(x);
说明:
一(x4)3表示(x4)3的相反数
练习:
课本第97页(学生黑板演板)
补充例题:
2、32、6/3、42、3
(1)(y)•y
(2)2(a)-(a)(3)(ab)
24
⑷-(-2ab)
说明:
(1)(y2)3•y中既含有乘方运算,也含有乘法运算,按运算顺序,应先乘方,
再做乘法,所以,(y2)3•y=y2x3•y=y6+1=y7;
(2)2(a2)6-(a3)4按运算顺序应先算乘方,最后再化简•所以,2(a2)6-(a3)
2X6
=2a
3X4121212
—a=2a—a=a
练习:
1.已知3X9n=37,求n的值.
3n・2n,6n.4n,,,亠
2.已知a=5,b=3,求ab的值.
3.设n为正整数,且x2n=2,求9(x3n)2的值.
五、归纳小结
小结:
幕的乘方法则.
六、布置作业
14.1.3积的乘方
教学目标:
1、经历探索积的乘方的运算性质的过程,进一步体会幕的意义;
2、了解积的乘方的运算性质,并能解决一些实际问题.
教学重点:
积的乘方的运算性质及其应用.
教学难点:
积的乘方运算性质的灵活运用.
教学过程:
一、复习导入
1•前面我们学习了同底数幕的乘法、幕的乘方这两个运算性质,请同学们通过完成一组练习,来回顾一下这两个性质:
(2)
(4)
2•探索新知,讲授新课
(4)
由上面三个式子可以发现积的乘方的运算性质:
积的乘方,等于把每一个因式分别乘方,再把所得的幕相乘.
即:
(ab)n=an•bn
例题3计算
3
(1)(2a);
34
(4)(-2/3x).
、知识应用
322
(2)(—5b);(3)(xy);
432
(5)(—2xy)(6)(2X10)
说明:
nn.nnn.nn
(5)意在将(ab)=ab推广,得到了(abc)=abc
判断对错:
下面的计算对不对?
如果不对,应怎样改正?
练习:
课本第98页
三、综合尝试
补充例题:
计算:
(1)1'T+厂"亠
(2)■-:
'J<
四、逆用公式:
预备题:
(1)…〕
(2):
例题:
(1)0.12516•(—8)17;
(2)已知2m=3,2n=5,求23n+2n的值.
(注解):
23n+2n=23m-22n=(2m)3•(2n)2=33・52=27X25=675.
五、布置作业
14.1.4整式的乘法(单项式乘以单项式)
教学目标:
经历探索单项式与单项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
教学重点:
单项式与单项式相乘的运算法则的探索.
教学难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教学过程:
一、复习巩固:
同底数幕,幕的乘方,积的乘方三个法则的区分。
、提出问题,引入新课
(课本引例):
光的速度约为3X105千米/秒,太阳光照射到地球上需要的时间大约
是5X102秒,你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗?
(1)怎样计算(3X105)X(5X102)?
计算过程中用到哪些运算律及运算性质?
(2)如果将上式中的数字改为字母,比如ac5?
bc2怎样计算这个式子?
说明:
(3X105)X(5X102),它们相乘是单项式与单项式相乘.
ac5?
be2是两个单项式ac5与be2相乘,我们可以利用乘法交换律,结合律及同底数幕的
运算性质来计算:
52525+27
ac?
bc—(a?
b)?
(c?
c)=abc=abc.
三、单项式乘以单项式的运算法则及应用
单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.
例4(课本例题)计算:
(学生黑板演板)
(2)(2x)3(-5xy2).
(1)(-5a2b)(-3a);
四、巩固提高
练习1(课本)计算:
23
(1)3x5x;
2
(2)4y(-2xy);
练习2(课本)下面计算的对不对?
如杲不对,应当怎样改正?
五、课堂小结
方法归纳:
(1)积的系数等于各系数的积,应先确定符号。
(2)相同字母相乘,是同底数幕的乘法。
(3)只在一个单项式里含有的字母,要连同它的指数写在积里,注意不要把这个因式丢
掉。
(4)单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
(5)单项式乘单项式的结果仍然是单项式。
六、布置作业
14.1.4整式的乘法(单项式乘以多项式)
教学目标:
经历探索单项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算。
教学重点:
单项式与多项式相乘的运算法则的探索.
教学难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教学过程:
、复习旧知
1.单项式乘单项式的运算法则
2.练习:
9xy•(-2xy2)(-3ab)3•(1/3abz)
3.合并同类项的知识
二、探究单项式与多项式相乘的法则
(课本内容):
三家连锁店以相同的价格m(单位:
元/瓶)销售某种商品,它们在一个月内
的销售量(单位:
瓶)分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗?
学生独立思考,然后讨论交流.经过思考可以发现一种方法是先求出三家连锁店的总销量,再求总收入,为:
m(a+b+c).
另一种计算方法是先分别求出三家连锁店的收入,再求它们的和,即:
ma^mb+mc
由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此
m(a+b+c)=m升mb^mc
学生归纳:
单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积
相加.
引导学生体会:
单项式与多项式相乘,就是利用乘法分配律转化为单项式与单项式相乘,三、讲解例题
1.例题5(课本)计算:
2
(1)(-4x)(3X+1);
2.练习:
计算
2i
(2)(—ab-2ab)ab
32
(-ab2—2ab)•-ab;
32
—2a2(-ab+b2).
2
1.2ab(5ab2+3a2b);2
3.-6x(x—3y);4
22
5.(-2a)•(1/2ab+b)
2
6.(2/3xy—6xy)•1/2xy
22
7.(-3x)•(4x—4/9x+1)
四、小结归纳
单项式与多项式相乘的法则
五、布置作业:
14.1.4整式的乘法(多项式乘以多项式)
教学目标:
经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的过程,会进行整式相乘的运算.
教学重点:
多项式与多项式相乘的运算法则的探索教学难点:
灵活运用法则进行计算和化简.
教学过程:
一、复习旧知
讲评作业
二、创设情景,引入新课
(课本)如图,为了扩大街心花园的
绿地面积,把一块原长a米、宽m米的长方形绿地,增长了b米,加宽了n米•你能用几种方法求出扩大后的绿地面积?
一种计算方法是先分别求出四个长方
形的面积,再求它们的和,即(
am+an+bm+bn米
另一种计算方法是先计算大长方形的长和宽,然后利用长乘以宽得出大长方形的面积,即(a+b)(m^n)米2.
由于上述两种计算结果表示的是同一个量,因此
(a+b)(m^n)=am+an+bm+bn
教师根据学生讨论情况适当提醒和启发,然后对讨论结果(a+b)(m^n)=am+an+bm+bn
进行分析,可以把m^n看做一个整体,运用单项式与多项式相乘的法则,得
(a+b)(m+n)=a(m^n)+b(m^n),
再利用单项式与多项式相乘的法则,得
a(m^n)+b(m+n)=am+an+bm+bjn
学生归纳:
多项式与多项式相乘,就是先用一个多项式中的每一项去乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.
三、应用提高、拓展创新
例6(课本):
计算
(1)(3x+1)(x+2);
(2)(x—8y)(x—y);
22
⑶(x+y)(x—xy+y)
进行运算时应注意:
不漏不重,符号问题,合并同类项
练习:
1.(a+b)(a—b)—(a+2b)(a—b)
4242
2.(3x—3x+1)(x+x—2)
2
3.(x—1)(x+1)(x+1)
4.当a=-1/2时,求代数式(2a—b)(2a+b)+(2a—b)(b—4a)+2b(b—3a)的值
四、归纳总结
多项式与多项式相乘的法则
五、布置作业
14.1.4整式的乘法(同底数幕除法)
教学目标:
1、经历探索同底数幕的除法的运算性质的过程,进一步体会幕的意义,发展推理能
力和有条理的表达能力。
2、了解同底数幕的除法的运算性质,并能解一些实际问题。
教学重点:
公式的实际应用。
教学难点:
a=1中a丰0的规定。
教学过程:
一、探索同底数幕的除法法则
1、根据除法的意义填空,并探索其规律
(1)55十53=5()
(2)
、75'
(2)10-10=10
63()
(3)a—a=a
归纳:
同底数幕相除,底数不变,指数相减
2、比较公式
(am
n
MN
a
a
m.
n
a=
m-n:
a
mnm+n
a•a=a
mm.m
(ab)=ab
比较其异同,强调其适用条件
、实际应用
例1:
计算
(1)x8十x2
(2)a4-a
52
(3)(ab)-(ab)
例2:
一种数码照片的文件大小是
2K一个存储量为2M(1M=2K)的移动存储器能
存储多少张这样的数码照片?
解:
26M=26X210K=216K
216十28=28(张)=256(张)
三、探究a0的意义
根据除法的意义填空,你能得什么结论?
(1)32-32=
33
(2)10-10=
(3)am-am=(0)
由除法意义得:
a“*a=1(az0)
如果依照am+am=am-m=a0于是规定:
a0=1(a丰0)
即任何不等于0的数的0次幕都等于1四、归纳总结
同底数幕除法的运算性质五、布置作业:
14.1.4整式的乘法(单项式除以单项式)
教学目标:
经历探索单项式除以单项式法则的过程,会进行单项式除以单项式的运算。
教学重点:
运用法则计算单项式除法
教学难点:
法则的探索
教学过程:
一、提出问题,引入新课
问题:
木星的质量约是1.90X1024吨,地球的质量约是5.98X1021吨,你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?
如何计算:
(1.90X1024)十(5.98X1021),并说明依据。
二、讨论问题,得出法则
讨论如何计算:
(1)8a3-2a
(2)6x3y-3xy(3)12a3b.3十3ab2
[注:
8a3-2a就是(8a3)-(2a)
由学生完成上面练习,并得出单项式除单项式法则。
单项式除以单项式法则:
单项式相除,把系数与同底数幕分别相除,作为商的因式,对于只在被除式里含有的
字母,则连同它的指数作为商的一个因式。
三、法则的应用
例1:
计算
4235.34.
(1)28xy-7xy
(2)-5abc-15ab
练习:
P1621、
2
例2:
计算下列
各题
(1)
(a+b)4
-
(a+b)2
(2)
(x-y)
3]
324
-[(y—x)
(3)
(-6x2y)
3.
-(—3xy)3
例3:
当x=—
2,
y=1/4时,求代数式
2、23224332“,+
(—4x)+(-4x)+12xy十(-4xy)—24xy十(-4xy)的值
例4:
已知5m=325m=11,求53m—2n的值。
四、归纳小结
单项式除以单项式法则
五、布置作业
14.1.4整式的乘法(多项式除以单项式)
教学目标:
经历探索多项式除以单项式法则的过程,会进行多项式除以单项式的运算。
教学重点:
运用法则计算多项式除以单项式。
教学难点:
(1)法则的探索;
(2)法则的逆应用;
教学过程:
一、复习旧知:
计算:
(1)m+m
2
(2)a十a+ab+a
例1计算
22
(1)(4xy+2xy)-2xy
32
(2)(12a—6a+3a)-3a
(3)(21x4y3—35x3y2+7x2y2)+(—7x2y)
2
(4)[(x+y)—y(2x+y)—8x]+2x
练习:
课本104页
例2:
计算
(1)(2/5a3x4—0.9ax3)-3/5ax
-2/3y
3223
(2)(2/5xy—7xy+2/3y)
例3:
化简求值
(1)(x5+3x3)-x3—(x+1)2其中x=—1/2
2
(2)[(x+y)(x—y)—(x—y)+2y(x—y)]十4y
其中x=2,y=1
四、归纳小结
多项式除以单项式法则五、布置作业
14.2.1平方差公式
教学目标:
经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式,并能运用公式进行简单的运算.教学重点:
平方差公式的推导和应用.
教学难点:
灵活运用平方差公式解决实际问题.
教学过程:
一、创设问题情境,激发学生兴趣
活动1知识复习
多项式与多项式相乘的法则:
多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项
式的每一项,再把所得的积相加.
(a+b)(m+n=am+an+bm+bn
活动2计算下列各题,你能发现什么规律?
再计算:
(a+b)(a—b)=a2—ab+ab—b2=a2—b2.
图2
图1中剪去一个边长为b的小正方形,余下图形的面积,即阴影部分的面积为
22
(a—b).
(a+b)(a—b).
二、知识应用,巩固提高
例1计算:
)
11
(2)(-a+b)(b—-a);
22
22
(4)(x—y)(x+y);
2222
(6)(c—d)(d+c).
练习:
加深对平方差公式的理解
下列多项式乘法中,能用平方差公式计算的是(
(1)(x+1)(1+x);
(3)(—a+b)(a—b);
(5)(—a—b)(a—b);
例题2:
计算
(1)102X98
(2)(y+2)(y-2)—(y—1)(y+5)
(3)(a+b+c)(a—b+c)(补充)
⑷2004—20032(补充)
2
(5)(a+3)(a—3)(a+9)(补充)
说明:
(3)意在说明公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式
(4)意在说明公式的逆用
三、课堂练习:
课本108页2题
四、归纳小结
加深对平方差公式的理解
五、布置作业
14.2.2完全平方公式(第1课时)
教学目标:
完全平方公式的推导及其应用;完全平方公式的几何背景;体会公式中字母的
广泛含义,它可以是数,也可以是整式.
教学重点:
(1)完全平方公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释;
(2)完全平方公式的应用.
教学难点:
完全平方公式的推导及其几何解释和公式结构特点及其应用.
教学过程:
一、激发学生兴趣,引出本节内容
活动1探究,计算下列各式,你能发现什么规律?
2
(1)(P+1)=(P+1)(P+1)=;
2
(2)(m^2)=(m^2)(m^2)=;
(3)(p—1)2=(p—1)(p—1)=;
2
(4)(m—2)=(m-2)(m-2)=.
学生利用多项式与多项式相乘的法则进行计算,观察计算结果,寻找一般性的结论,
并进行归纳,用多项式乘法法则可得
222
(a+b)=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a+ab+ab+b
22
=a+2ab+b.
222
(a—b)=(a—b)(a—b)=a(a—b)—b(a-b)=a—ab—ab+b
=a2—2ab+b2.
二、总结归纳完全平方公式
两数和(或差)的平方,等于它们的平方和,加(或减)它们的积的2倍,即
(a+b)2=a2+2ab+b2,
(a—b)2=a2—2ab+b2.
在交流中让学生归纳完全平方公式的特征:
(1)左边为两个数的和或差的平方;
(2)右边为两个数的平方和再加或减这两个数的积的2倍.
三、例题讲解,巩固新知
例3:
(课本)运用完全平方公式计算
22
(1)(4m+n);
(2)(y—1/2)
补充例题:
运用完全平方公式计算
说明:
(1)题可转化为(2y—x)2或(x—2y)2,冉运用完全平方公式;
(2)题可以转化为(x+y)2,利用和的完全平方公式;
22
(1)(—x+2y);
(2)(—x—y);(3)(x+y
(3)题可利用完全平方公式,再合并同类项,也可逆用平方差公式进行计算.例4:
(课本)运用完全平方公式计算
22
(1)102;
(2)99.
思考:
(a+b)2与(一a—b)2相等吗?
为什么?
(a—b)2与(b—a)2相等吗?
为什么?
222
(a—b)与a—b相等吗?
为什么?
练习:
课本110页1题
四、归纳小结
完全平方公式
五、布置作业
1422完全平方公式(第2课时)
教学目标:
熟练掌握完全平方公式及其应用,理解公式中添括号的方法
教学重点:
添括号法则及完全平方公式的灵活应用
教学难点:
添括号法则及完全平方公式的灵活应用
教学内容:
一、复习旧知,引入添括号法则
去括号法则:
a+(b+c)=a+b+ca—(b+c)=a—b—c
添括号法则:
a+b+c=a+(b+c)a—b—c=a—(b+c)
添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变符号;如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号。
练习:
(课本111页练习1有同种类型题)
a+b—c=a+(b—c)=a—(-b+c)
a—b+c=a+(-b+c)=a—(b—c)
二、讲解例题,巩固新知
例题5运用乘法公式计算:
(课本)
(1)(x+2y—3)(x-2y+3)
2
(2)(a+b+c).
练习:
课本111页练习2
三、补充例题,开阔眼界
1利用乘法公式化简求值题
2
(2x+y)—(x+y)(x-y),其中x=1,y=-2
2乘法公式在解方程和不等式中的应用
2222
1已知(a+b)=7,(a—b)=4求a+b和ab的值
2解不等式:
(2x—5)(-5—2x)+(x+5)2>3x(-x+2)
3与三角形知识相结合的应用
已知三角形ABC的三边长a、b、c,满足a2+b2+c2-ab-be-ac=0,试判断三角
形的形状。
四、总结归纳
添括号法则
五、布置作业
14.3.1提公因式法
教学目标:
1、理解
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