简单的逻辑联结词全称量词与存在量词复习专题.docx
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简单的逻辑联结词全称量词与存在量词复习专题
考点测试3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、基础小题
1.命题“存在实数x,使x>1”的否定是( )
A.对任意实数x,都有x>1
B.不存在实数x,使x≤1
C.对任意实数x,都有x≤1
D.存在实数x,使x≤1
答案 C
解析 特称命题的否定为全称命题,所以将“存在”改为“任意”,“x>1”改为“x≤1”.故选C.
2.下列特称命题中真命题的个数为( )
①存在实数x,使x2+2=0;
②有些角的正弦值大于1;
③有些函数既是奇函数又是偶函数.
A.0B.1C.2D.3
答案 B
解析 x2+2≥2,故①是假命题;∀x∈R均有|sinx|≤1,故②是假命题;f(x)=0既是奇函数又是偶函数,③是真命题,故选B.
3.设非空集合A,B满足A⊆B,则以下表述正确的是( )
A.∃x0∈A,x0∈BB.∀x∈A,x∈B
C.∃x0∈B,x0∉AD.∀x∈B,x∈A
答案 B
解析 根据集合的关系以及全称、特称命题的含义可得B正确.
4.若命题p:
对数函数都是单调函数,则綈p为( )
A.所有对数函数都不是单调函数
B.所有单调函数都不是对数函数
C.存在一个对数函数不是单调函数
D.存在一个单调函数不是对数函数
答案 C
解析 命题p:
对数函数都是单调函数的否定綈p为存在一个对数函数不是单调函数.
5.下列命题中的假命题为( )
A.∀x∈R,ex>0B.∀x∈N,x2>0
C.∃x0∈R,lnx0<1D.∃x0∈N*,sin
=1
答案 B
解析 对于选项A,由函数y=ex的图象可知,∀x∈R,ex>0,故选项A为真命题;对于选项B,当x=0时,x2=0,故选项B为假命题;对于选项C,当x0=
时,ln
=-1<1,故选项C为真命题;对于选项D,当x0=1时,sin
=1,故选项D为真命题.综上选B.
6.以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A.锐角三角形有一个内角是钝角
B.至少有一个实数x,使x2≤0
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x,使
>2
答案 B
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是特称命题又是真命题;C中因为
+(-
)=0不是无理数,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有
<0,不满足
>2,所以D是假命题.
7.在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A.(綈p)∨(綈q)B.p∨(綈q)
C.(綈p)∧(綈q)D.p∨q
答案 A
解析 綈p表示甲没有降落在指定范围,綈q表示乙没有降落在指定范围,命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”,也就是“甲没有降落在指定范围或乙没有降落在指定范围”.故选A.
8.已知命题p:
∀x∈R,x2+ax+a2≥0;命题q:
∃x0∈R,sinx0+cosx0=2,则下列命题中为真命题的是( )
A.p∧qB.p∨q
C.(綈p)∨qD.(綈p)∧(綈q)
答案 B
解析 因为x2+ax+a2=
2+
a2≥0,所以命题p为真命题;因为(sinx+cosx)max=
,所以命题q为假命题.所以p∨q是真命题.
9.若命题“∃x0∈R,x
+(a-1)x0+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是( )
A.[-1,3]B.(-1,3)
C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)
答案 D
解析 因为命题“∃x0∈R,x
+(a-1)x0+1<0”等价于x
+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3,故选D.
10.已知命题p:
∀x∈R,x2-a≥0,命题q:
∃x0∈R,x
+2ax0+2-a=0.若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围为________.
答案 (-∞,-2]
解析 由已知条件可知,p和q均为真命题,由命题p为真得a≤0,由命题q为真得a≤-2或a≥1,所以a≤-2.
11.若命题“存在实数x,使x2+ax+1<0”的否定是假命题,则实数a的取值范围为________.
答案 (-∞,-2)∪(2,+∞)
解析 由于命题的否定是假命题,所以原命题为真命题,结合图象知Δ=a2-4>0,解得a>2或a<-2.
12.已知全集U=R,A⊆U,B⊆U,如果命题p:
x∈(A∩B),那么“綈p”是________.
答案 x∉A或x∉B
解析 x∈(A∩B)即x∈A且x∈B,所以其否定为:
x∉A或x∉B.
二、高考小题
13.[2015·湖北高考]命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是( )
A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1
B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1
C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1
D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-1
答案 A
解析 该命题的否定是将存在量词改为全称量词,等号改为不等号即可,故选A.
14.[2014·天津高考]已知命题p:
∀x>0,总有(x+1)ex>1,则綈p为( )
A.∃x0≤0,使得(x0+1)ex0≤1
B.∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1
C.∀x>0,总有(x+1)ex≤1
D.∀x≤0,总有(x+1)ex≤1
答案 B
解析 全称命题的否定是特称命题,所以命题p:
∀x>0,总有(x+1)ex>1的否定是綈p:
∃x0>0,使得(x0+1)ex0≤1.
15.[2016·浙江高考]命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是( )
A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n 答案 D 解析 先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D. 16.[2014·辽宁高考]设a,b,c是非零向量.已知命题p: 若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q: 若a∥b,b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( ) A.p∨qB.p∧q C.(綈p)∧(綈q)D.p∨(綈q) 答案 A 解析 由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题,故选A. 17.[2015·浙江高考]命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是( ) A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>n B.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>n C.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0 D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0 答案 D 解析 “f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,故选D. 18.[2015·山东高考]若“∀x∈ ,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. 答案 1 解析 ∵0≤x≤ ,∴0≤tanx≤1. ∵“∀x∈ ,tanx≤m”是真命题, ∴m≥1,∴实数m的最小值为1. 三、模拟小题 19.[2017·安徽蚌埠质检]命题“∀a∈R,函数y=x是增函数”的否定是( ) A.∀a∈R,函数y=x是减函数 B.∀a∈R,函数y=x不是增函数 C.∃a∈R,函数y=x不是增函数 D.∃a∈R,函数y=x是减函数 答案 C 解析 全称命题与特称命题的否定应先否定量词,再否定结论,它们的真假性相反. 20.[2017·广东适应性考试]设p,q是两个命题,若綈(p∨q)是真命题,那么( ) A.p是真命题且q是假命题 B.p是真命题且q是真命题 C.p是假命题且q是真命题 D.p是假命题且q是假命题 答案 D 解析 由綈(p∨q)是真命题可得p∨q是假命题,由真值表可得p是假命题且q是假命题.故选D. 21.[2017·河南郑州一中联考]已知命题p: “存在x0∈[1,+∞),使得(log23)x0≥1”,则下列说法正确的是( ) A.p是假命题;綈p: “任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1” B.p是真命题;綈p: “不存在x0∈[1,+∞),使得(log23)x0<1” C.p是真命题;綈p: “任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1” D.p是假命题;綈p: “任意x∈(-∞,1),都有(log23)x<1” 答案 C 解析 对于命题p: “存在x0∈[1,+∞),使得(log23)x0≥1”,因为log23>1,所以对于任意的x0∈[1,+∞),(log23)x0≥1成立,故命题p为真命题.根据命题的否定的规则,可得綈p: “任意x∈[1,+∞),都有(log23)x<1”.故选C. 22.[2017·甘肃诊断]已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( ) A.∀x∈R,f(-x)≠f(x) B.∀x∈R,f(-x)≠-f(x) C.∃x0∈R,f(-x0)≠-f(x0) D.∃x0∈R,f(-x0)≠f(x0) 答案 D 解析 根据偶函数的定义可知,如果一个函数f(x)不是偶函数,那么在定义域上一定存在x0,使得函数值不满足偶函数的定义f(-x0)=f(x0).故选D. 23.[2017·成都树德中学月考]设命题p: 函数f(x)=tanx是其定义域上的增函数;命题q: 函数g(x)=3x-3-x为奇函数,则下列命题中真命题是( ) A.p∧qB.p∧(綈q) C.(綈p)∧(綈q)D.(綈p)∧q 答案 D 解析 函数f(x)=tanx在 ,k∈Z上是增函数,在其定义域上并不单调,故命题p是假命题;函数g(x)=3x-3-x的定义域为R,g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x),故g(x)为奇函数,所以命题q为真命题.结合选项可知应选D. 24.[2016·皖江名校联考]命题p: 存在x0∈ ,使sinx0+cosx0> ;命题q: 命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1,则四个命题(綈p)∨(綈q)、p∧q、(綈p)∧q、p∨(綈q)中,正确命题的个数为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 因为sinx+cosx= sin ≤ ,故命题p为假命题;特称命题的否定为全称命题,易知命题q为真命题,故(綈p)∨(綈q)真,p∧q假,(綈p)∧q真,p∨(綈q)假.故选B. 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.[2017·福建三明一中月考]已知a>0,设命题p: 函数y=logax在R上单调递增;命题q: 不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立.若p且q为假,p或q为真,求a的取值范围. 解 若p真,∵函数y=logax在R上单调递增,∴p: a>1. 若q真,不等式ax2-ax+1>0对∀x∈R恒成立, ∴a>0且a2-4a<0,解得0 0 ∵“p∧q”为假,“p∨q”为真,∴p,q中必有一真一假. ①当p真q假时, 解得a≥4. ②当p假q真时, 解得0 故a的取值范围为(0,1]∪[4,+∞). 2.[2016·浙江金华二模]已知命题p: “存在a>0,使函数f(x)=ax2-4x在(-∞,2]上单调递减”,命题q: “存在a∈R,使∀x∈R,16x2-16(a-1)x+1≠0”.若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围. 解 若p为真,则对称轴x=- = 在区间(-∞,2]的右侧,即 ≥2,∴0 ∴Δ=[16(a-1)]2-4×16<0,∴ . ∵命题“p∧q”为真命题,∴命题p、q都为真, ∴ ∴ 故实数a的取值范围为
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