高考数学大一轮复习第十章算法初步统计统计案例课时达标54随机抽样.docx

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高考数学大一轮复习第十章算法初步统计统计案例课时达标54随机抽样

2019-2020年高考数学大一轮复习第十章算法初步统计统计案例课时达标54随机抽样

[解密考纲]了解简单随机抽样、分层抽样、系统抽样这三种抽样方法，单独考查时，一般是以选择题或填空题的形式进行考查．

一、选择题

1．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　D　）

A．抽签法　　　B．随机数法

C．系统抽样法　　　D．分层抽样法

解析　由于男生、女生的差异比较明显，属于不同群体，所以采用分层抽样法．

2．现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；

②科技报告厅有32排，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请32名听众进行座谈；

③高新中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本．

较为合理的抽样方法是　（　A　）

A．①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B．①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C．①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D．①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

解析　对于①，个体没有差异且总数不多可用随机抽样法，是简单随机抽样；对于②，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，是系统抽样；对于③，个体有明显的差异，所以选用分层抽样．故选A.

3．为了调查观众对电影《捉妖记》的认识，一个网站在登录网站的所有网民中，收回有效帖子共10.4万份，其中持各种态度的人数统计在下表中.

很喜欢

喜欢

还行

一般般

40000

32000

24000

8000

为了了解网民具体的想法和意见，此网站打算采用分层抽样从中选出1300份，则在很喜欢此电影的网贴中应抽取的份数为（　A　）

A．500　　　B．400

C．300　　　D．100

解析　应该首先确定抽样的比例，然后再根据各层人数确定各层要抽取的人数，因为40000∶32000∶24000∶8000＝5∶4∶3∶1，所以

×1300＝500，故抽取500份．

4．某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（　B　）

A．5　　　B．7

C．11　　　D．13

解析　间隔数k＝

＝16，即每16人抽取一个人．

由于39＝2×16＋7，所以第1小组中抽取的数值为7.

5．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为　（　B　）

A．26,16,8　　　　B．25,17,8

C．25,16,9　　　　　D．24,17,9

解析　由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k（k∈N*）组抽中的号码是3＋12（k－1）．令3＋12（k－1）≤300，得k≤

，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；令300<3＋12（k－1）≤495，得

6．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案．使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1，2，…，270，并将整个编号依次分为10段．如果抽得的号码有如下四种情况：

①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250；

②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265；

③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254；

④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270.

关于上述样本的下列结论中，正确的是（　D　）

A．②③都不能为系统抽样　　　　B．②④都不能为分层抽样

C．①④都可能为系统抽样　　　　D．①③都可能为分层抽样

解析　①②③符合分层抽样的比例，①③等距离抽样为系统抽样．

二、填空题

7．（xx·江苏卷）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取__18__件．

解析　应从丙种型号的产品中抽取

60×

＝18（件）．

8．某报社做了一次关于“什么是新时代的雷锋精神”的调查，在A，B，C，D四个单位回收的问卷数依次成等差数列，且共回收1000份，因报道需要，再从回收的问卷中按单位分层抽取容量为150的样本，若在B单位抽取30份，则在D单位抽取的问卷是__60__份．

解析　由题意依次设在A，B，C，D四个单位回收的问卷数分别为a1，a2，a3，a4，在D单位抽取的问卷数为n，

则有

＝

，解得a2＝200.

又a1＋a2＋a3＋a4＝1000，且a1，a2，a3，a4成等差数列，

所以3a2＋a4＝1000，

∴a4＝400，∴

＝

，解得n＝60.

9．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格.

产品类别

A

B

C

产品数量/件

1300

样本容量/件

130

由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是__800__件．

解析　设C产品的数量为x，则A产品的数量为1700－x，C产品的样本容量为a，则A产品的样本容量为10＋a，由分层抽样的定义，可知

＝

＝

，∴x＝800.

三、解答题

10．某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表（单位：

名）.

初一年级

初二年级

初三年级

女生

373

x

y

男生

377

370

z

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.

（1）求x的值；

（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？

解析　

（1）∵

＝0.19，∴x＝380.

（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为

×500＝12.

11．一个城市有210家百货商店，其中大型商店有20家，中型商店有40家，小型商店有150家．为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为21的样本，按分层抽样方法抽取样本时，各类百货商店要分别抽取多少家？

写出抽样过程．

解析　∵21∶210＝1∶10，

∴

＝2，

＝4，

＝15.

∴应从大型商店中抽取2家，从中型商店中抽取4家，从小型商店中抽取15家．抽样过程：

（1）计算抽样比

＝

；

（2）计算各类百货商店抽取的个数：

＝2，

＝4，

＝15；

（3）用简单随机抽样方法依次从大、中、小型商店中抽取2家、4家、15家；

（4）将抽取的个体合在一起，就构成所要抽取的一个样本．

12．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如下表（单位：

人）.

学历

35岁以下

35～50岁

50岁以上

本科

80

30

20

研究生

x

20

y

（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；

（2）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为

，求x，y的值．

解析　

（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，

所以

＝

，解得m＝3，

所以抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.

从中任取2人的所有基本事件共有10个：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2），（B1，B2），（B2，B3），（B1，B3），

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：

（S1，B1），（S1，B2），（S1，B3），（S2，B1），（S2，B2），（S2，B3），（S1，S2）．

所以从中任取2人，至少有1人为研究生的概率为

.

（2）依题意得

＝

，解得N＝78，所以35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，所以

＝

＝

，解得x＝40，y＝5.所以x＝40，y＝5.

2019-2020年高考数学大一轮复习第十章算法初步统计统计案例课时达标55用样本估计总体

[解密考纲]用样本估计总体在高考中三种题型均有可能考查，作为解答题时，题目较简单，属于不能失分的题目．

一、选择题

1．某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40），[40,60），[60,80），[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是（　B　）

A．45　　　B．50　　　

C．55　　　D．60

解析　根据频率分布直方图，低于60分的同学所占频率为（0.005＋0.01）×20＝0.3，故该班的学生人数为

＝50.故选B.

2．（xx·山东卷）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：

件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为（　A　）

A．3,5　　　B．5,5　　　

C．3,7　　　D．5,7

解析　根据两组数据的中位数相等可得65＝60＋y，解得y＝5，又因为它们的平均值相等，所以

＝

，解得x＝3.故选A.

3．如图是某工厂对一批新产品长度（单位：

mm）检测结果的频率分布直方图，估计这批产品的中位数为（　C　）

A．20　　　B．25　　　

C．22.5　　　D．22.75

解析　产品的中位数出现在概率是0.5的地方．自左至右各小矩形面积依次为0.1,0.2,0.4,0.15,0.15，设中位数是x，则由0.1＋0.2＋0.08·（x－20）＝0.5，得x＝22.5.故选C.

4．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有（　D　）

A．a>b>c　　　B．b>c>a　　　

C．c>a>b　　　D．c>b>a

解析　平均数a＝

×（15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12）＝14.7，中位数b＝15，众数c＝17，∴c>b>a.

5．如图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，若80分以上为优秀，根据图形信息可知，这次考试的优秀率为（　B　）

A．25%　　　B．30%　　　

C．35%　　　D．40%

解析　80分以上的频率为（0.025＋0.005）×10＝0.3.

6．下面左图是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图，1号到16号同学的成绩依次为A1，A2，…，A16，右图是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生人数的算法流程图，那么该算法流程图输出的结果是（　B　）

A．6　　　B．10　　　

C．91　　　D．92

解析　由算法流程图可知，其统计的是数学成绩大于等于90的人数，所以由茎叶图知，数学成绩大于等于90的人数为10，因此输出结果为10.故选B.

二、填空题

7．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长（单位：

cm），所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，则在60株树木中底部周长小于100cm的株数为__24__.

解析　由题意，在抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为（0.015＋0.025）×10×60＝24.

8．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为__6.8__.

解析　∵

＝

＝11，

∴s2＝

＝6.8.

9．为了调查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为__10__.

解析　设5个班级的人数分别为x1，x2，x3，x4，x5，

则

＝7，

＝4，

即5个整数平方和为20，最大的数比7大但与7的差值不能大于或等于4，否则方差大于4，故最大值为10，最小值为4.

三、解答题

10．随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：

件），获得数据如下：

30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.

根据上述数据得到样本的频率分布表如下.

分组

频数

频率

[25,30]

3

0.12

（30,35]

5

0.20

（35,40]

8

0.32

（40,45]

n1

f1

（45,50]

n2

f2

（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；

（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图和频率分布折线图．

解析　

（1）由所给数据知，落在区间（40,45]内的有7个，落在（45,50]内的有2个，故n1＝7，n2＝2，

所以f1＝

＝

＝0.28，f2＝

＝

＝0.08.

（2）样本频率分布直方图和频率分布折线图如图所示．

11．某校高一某班的某次数学测试成绩（满分为100分）的茎叶图和频率分布直方图都受了不同程度的破坏，但可见部分如图，据此解答下列问题：

（1）求分数在[50,60]内的频率及全班人数；

（2）求分数在[80,90]之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高．

解析　

（1）分数在[50,60]的频率为0.008×10＝0.08.由茎叶图知，分数在[50,60]之间的频数为2，所以全班人数为

＝25.

（2）分数在[80,90]之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率分布直方图中[80,90]间的矩形的高为

÷10＝0.016.

12．（xx·安徽合肥三中入学考试）为参加学校的“我爱古诗词”知识竞赛，小王所在班级组织了一次古诗词知识测试，并将全班同学的分数（得分取正整数，满分为100分）进行统计，以下是根据这次测试成绩制作的不完整的频率分布表和频率分布直方图．

频率分布表

组别

分组

频数

频率

1

50≤x＜60

9

0.18

2

60≤x＜70

a

3

70≤x＜80

20

0.40

4

80≤x＜90

0.08

5

90≤x≤100

2

b

合计

1

请根据以上频率分布表和频率分布直方图，回答下列问题：

（1）求出a，b，c，d的值；

（2）老师说：

“小王的测试成绩是全班同学成绩的中位数”，那么小王的测试成绩在什么范围内？

（3）若要从小明、小敏等五位成绩优秀的同学中随机选取两位参加竞赛，请用列表法或树状图求出小明、小敏同时被选中的概率（注：

五位同学请用A，B，C，D表示，其中小明为A，小敏为B）．

解析　

（1）9÷0.18＝50,50×0.08＝4，所以a＝50－9－20－4－2＝15，b＝2÷50＝0.04，c＝15÷50÷10＝0.03，d＝0.04÷10＝0.004.

（2）小王的测试成绩在70≤x<80范围内．

（3）画树状图为：

共有20种等可能的结果数，其中小明、小敏同时被选中的结果数为2，所以小明、小敏同时被选中的概率P＝

＝

.