二次函数压轴题专题分类训练.docx
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二次函数压轴题专题分类训练
中考二次函数压轴题专题分类训练
题型一:
面积问题
例1】如图2,抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0),交y轴于点B.
1)求抛物线和直线AB的解析式;
(2)求△CAB的铅垂高CD及S△CAB;
(3)设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,若存在,求出P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(-2,0),连结OA,将线段OA绕原点O顺时针旋转120°,得到线段OB.
(1)求点B的坐标;
(2)求经过A、O、B三点的抛物线的解析式;
(3)在
(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使△BOC的周长最小若存在,求出点C的
坐标;若不存在,请说明理由.
(4)如果点P是
(2)中的抛物线上的动点,且在x轴的下方,那么△PAB是否有最大面积
若有,求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积;若没有,请说明理由.
2.如图,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A(-4,0)、B(2,0),与y轴交
于点C,顶点为D.E(1,2)为线段BC的中点,BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、
G.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D的坐标;
(2)在直线EF上求一点H,使△CDH的周长最小,并求出最小周长;
(3)若点K在x轴上方的抛物线上运动,当K运动到什么位置时,△EFK的面积最大并求出最大面积.
B、C(1,0)三点.
(1)求抛物线的解析式
2)若点D的坐标为(-1,0),在直线yx3上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似,
求出点P的坐标;
(3)在
(2)的条件下,在x轴下方的抛物线上,是否存在点E,使ΔADE的面积等于四边形APCE的面积如果存在,请求出点E的坐标;如果不存在,请说明理由.
题型二:
构造直角三角形
【例2】如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小,并求此时点M的坐标;
(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠PCB=90o的点P的坐标.
E
【变式练习】
1.如图,抛物线y=与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴
交于点C.
(1)求点A、B的坐标;
(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD的面积等于△ACB的面积时,求
点D的坐标;
(3)若直线l过点E(4,0),M为直线l上的动点,当以A、B、M为顶点所作的直角三角
2
2.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=a(x1)2c(a0)与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,其顶点为M,若直线MC的函数表达式为ykx3,与x轴的交点为N,且COS∠BCO=10。
10
(1)求此抛物线的函数表达式;
(2)在此抛物线上是否存在异于点C的点P,使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一
条直角边的直角三角形若存在,求出点P的坐标:
若不存在,请说明理由;
(3)过点A作x轴的垂线,交直线MC于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ总有公共点,则抛物线向上最多可平移多少个单位长度向下最多可平移多少个单位长度
2
4.如图
(1),抛物线yx2x4与y轴交于点A,E(0,b)为y轴上一动点,过点E的直线yxb与抛物线交于点B、C.
(1)求点A的坐标;
(2)当b=0时(如图
(2)),VABE与VACE的面积大小关系如何当b4时,上述关系还成立吗,为什么
(3)是否存在这样的b,使得VBOC是以BC为斜边的直角三角形,若存在,求出b;若不
题型三:
构造等腰三角形
【例3】如图,已知抛物线yax2bx3(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(-3,0),
与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)在x轴上是否存在一点Q使得△ACQ为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)设抛物线的对称轴与x轴交于点M,问在对称轴上是否存在点P,使△CMP为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
【变式练习】
1.如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(n,﹣n),抛物
线经过A、O、B三点,连接OA、OB、AB,线段AB交y轴于点C.已知实数m、n(m 1)求抛物线的解析式; 2)若点P为线段OB上的一个动点(不与点O、B重合),直线PC与抛物线交于D、E两 点(点D在y轴右侧),连接OD、BD. ①当△OPC为等腰三角形时,求点P的坐标; ②求△BOD面积的最大值,并写出此时点D的坐标. 2.如图,抛物线yax25ax4经过△ABC的三个顶点,已知BC∥x轴,点A在x轴上,点C在y轴上,且AC=BC. (1)写出A,B,C三点的坐标并求抛物线的解析式; (2)探究: 若点P是抛物线对称轴上且在x轴下方的动点,是否存在△PAB是等腰三角形.若存在,求出所有符合条件的点P坐标;不存在,请说明理由. 3.已知抛物线yax2bxc(a0)顶点为C(1,1)且过原点O.过抛物线上一点P(x, 5 y)向直线y作垂线,垂足为M,连FM(如图). 4 (1)求字母a,b,c的值; (2)在直线x=1上有一点F(1,3),求以PM为底边的等腰三角形PFM的P点的坐标,并 4证明此时△PFM为正三角形; (3)对抛物线上任意一点P,是否总存在一点N(1,t),使PM=PN恒成立,若存在请求出t值,若不存在请说明理由. 题型四: 构造相似三角形 【例4】如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C. (1)求抛物线的解析式; (2)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形,求点D的坐标; (3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P, 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 1.如图,已知抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点. (1)求该抛物线的解析式; (2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大若存在,求出点 D的坐标及△DCA面积的最大值;若不存在,请说明理由. (3)P是直线x=1右侧的该抛物线上一动点,过P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若 不存在,请说明理由. 2.如图,二次函数的图象经过点D(0,73),且顶点C的横坐标为4,该图象在x轴上截9得的线段AB的长为6. (1)求二次函数的解析式; (2)在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+PD最小,求出点P的坐标; (3)在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ABC相似如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由. 例5】如图,已知抛物线y=x2-(b+1)x+(b是实数且b>2)与x轴的正半轴分别交于 点A、B(点A位于点B的左侧),与y轴的正半轴交于点C. (1)点B的坐标为,点C的坐标为(用含b的代数式表示); (2)请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且△PBC是 以点P为直角顶点的等腰直角三角形如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由; (3)请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得△QCO,△QOA和△QAB中的任意 两个三角形均相似(全等可作相似的特殊情况)如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在, 请说明理由. 变式练习】 1.如图,平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),线段AB垂直于y轴,垂足为B,将线段AB绕点A逆时针方向旋转90°,点B落在点C处,直线BC与x轴的交于点D. 1)试求出点D的坐标; 2)试求经过A、B、D三点的抛物线的表达式,并写出其顶点E的坐标; 3)在 (2)中所求抛物线的对称轴上找点F,使得以点A、E、F为顶点的三角形与△ACD相似. 1 2.已知直线yx1与x轴交于点A,与y轴交于点B,将△AOB绕点O顺时针旋转90,2 使点A落在点C,点B落在点D,抛物线yax2bxc过点A、D、C,其对称轴与直线 AB交于点P, (1)求抛物线的表达式; (2)求∠POC的正切值;y (3)点M在x轴上,且△ABM与△APD相似,求点M 的坐标。 1 3.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A(﹣1,0),B(2,0),交y轴于C(0,﹣2),过A,C画直线. (1)求二次函数的解析式; (2)点P在x轴正半轴上,且PA=PC,求OP的长; (3)点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H. ①若M在y轴右侧,且△CHM∽△AOC(点C与点A对应),求点M的坐标;②若⊙M的半径为,求点M的坐标. 题型五: 构造梯形 【例6】已知,矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示,点A的坐标为(4,0),点C 2 的坐标为(0,2),直线yx与边BC相交于点D. 3 (1)求点D的坐标; (2)抛物线yax2bxc经过点A、D、O,求此抛物线的表达式; (3)在这个抛物线上是否存在点M,使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形若存在,请求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【变式练习】 1.已知平面直角坐标系xOy中, 8). (1)求此抛物线和直线的解析式; (2)若点P在线段OA上,过点度的最大值; (3)记 (1)中抛物线的顶点为 抛物线y=ax2-(a+1)x与直线y=kx的一个公共点为A(4, P作y轴的平行线交 (1)中抛物线于点Q,求线段PQ长 点N的坐标及梯形AOMN的面积. M, 2.已知二次函数的图象经过A(2,0)、C(0,12)两点,且对称轴为直线x=4,设顶点为点 P,与x轴的另一交点为点B. (1)求二次函数的解析式及顶点P的坐标; (2)如图1,在直线y=2x上是否存在点D,使四边形OPBD为等腰梯形若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由; (3)如图2,点M是线段OP上的一个动点(O、P两点除外),以每秒2个单位长度的速度由点P向点O运动,过点M作直线 MN图1,二次函数 2 yx2pxq(p0)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C(0,-1),△ABC 5的面积为. 4 (1)求该二次函数的关系式; (2)过y轴上的一点M(0,m)作y轴的垂线,若该垂线与△ABC的外接圆有公共点,求m的取值范围; (3)在该二次函数的图象上是否存在点D,使以A、B、C、D为顶点的四边形为直角梯形 若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 【例7】如图,在平面直角坐标系中,抛物线经过点。 (1)求该抛物线的表达式; (2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以点形,求所有满足条件的点P的坐标。 题型六: 构造平行四边形 A(—1,0),B(3,0),C(0,—1)三 Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边 【变式练习】 1.如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数(m为常数)的图象与x轴交于点A(﹣3,0),与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)经过A,C两点,并与x轴的正半轴交于点B. (1)求m的值及抛物线的函数表达式; (2)设E是y轴右侧抛物线上一点,过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形若存在,求出点E的坐标及相 应的平行四边形的面积;若不存在,请说明理由; (3)若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点,过点P任意作一条与y轴不 并写出探究过程. 2.如图1,在平面直角坐标系中,已知抛物线经过A(-4,0)、B(0,-4)、C(2,0)三点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△MAB的面积为S,求S 关于m的函数关系式,并求出S的最大值; (3)若点P是抛物线上的动点,点Q是直线y=-x上的动点,判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形,直接写出相应的点Q的坐标. 3.如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣3,0),点B(1,0),交y轴于点E(0,﹣3).点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=﹣x+m过点C,交y轴于D点. (1)求抛物线的函数表达式; (2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值; (3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行 点M在正比例函数y3x的图像上,且MO=MA.二次函数 2 y=x2+bx+c的图像经过点A、M. (1)求线段AM的长; (2)求这个二次函数的解析式; (3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图像上,点D在一次函数y3x3的图像上,且四边 4 形ABCD是菱形,求点C的坐标. 【变式练习】 1.将抛物线c1: y3x23沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示. (1)请直接写出抛物线c2的表达式; (2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E. ①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形若存在, 请求出此时m的值;若不存在, 题型七: 线段最值问题 【例9】如图,抛物线y=x+bx﹣2与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,且A(﹣1, 0). (1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标; (2)判断△ABC的形状,证明你的结论; (3)点M(m,0)是x轴上的一个动点,当MC+MD的值最小时,求m的值. 【变式练习】 1.如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0,3),与x轴分别交于B(1,0)、C(5,0)两点. (1)求此抛物线的解析式; (2)若一个动点P自OA的中点M出发,先到达x轴上的某点(设为点E),再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F),最后运动到点A.求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标,并求出这个最短总路径的长. B点的坐标为(3,0) (1)求抛物线的解析式 (2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴,点G为PQ上一动点,则x轴上是否存在一点H,使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在,求出这个最小值及G、H的坐标;若不存在,请说明理由. (3)如图15,抛物线上是否存在一点T,过点T作x的垂线,垂足为M,过点M作直线MN∥BD,交线段AD于点N,连接MD,使△DNM∽△BMD,若存在,求出点T的坐标;若不存在,说明理由. 【能力提升】 2 1.已知,如图11,二次函数yax22ax3a(a0)图象的顶点为H,与x轴交于A、B两点 (B在A点右侧),点H、B关于直线l: y33x3对称. 3 (1)求A、B两点坐标,并证明点A在直线l上; (2)求二次函数解析式; (3)过点B作直线BK∥AH交直线l于K点,M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点,连接HN、NM、MK,求HNNMMK和的最小值. 2.如图.在直角坐标系中,已知点A(0.1.),B(4.4).将点B绕点A顺时针方向旋转90°得到点C,顶点在坐标原点的抛物线经过点B. (1)求抛物线的解析式和点C的坐标; (2)抛物线上一动点P.设点P到x轴的距离为d1,点P到点A的距离为d2,试说明 d2d11; (3)在 (2)的条件下,请探究当点P位于何处时.△PAC的周长有最小值,并求出△PAC的周长的最小值。 112 【例10】如图,已知直线yx1与轴交于点A,与x轴交于点D,抛物线yx2bxc 22与直线交于A、E两点,与x轴交于B、C两点,且B点坐标为(1,0)。 (1)求该抛物线的解析式; (2)动点P在轴上移动,当△PAE是直角三角形时,求点P的坐标P。 【变式练习】 1.如图所示,在平面直角坐标系中,四边形ABCD是直角梯形,BC∥AD,∠BAD=90°,BC 与y轴相交于点M,且M是BC的中点,A、B、D三点的坐标分别是A(﹣1,0),B(﹣l,2),D(3,0).连接DM,并把线段DM沿DA方向平移到ON.若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、M、N. (1)求抛物线的解析式. (2)抛物线上是否存在点P,使得PA=PC若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. (3)设抛物线与x轴的另一个交点为E,点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Q在什么位置时有|QE﹣QC|最大并求出最大值.
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