初中数学隐圆模型题型归纳.docx
- 文档编号:3636137
- 上传时间:2022-11-24
- 格式:DOCX
- 页数:16
- 大小:710.57KB
初中数学隐圆模型题型归纳.docx
《初中数学隐圆模型题型归纳.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《初中数学隐圆模型题型归纳.docx(16页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
初中数学隐圆模型题型归纳
中考数学几何模型:
隐圆模型
点睛1】触发隐圆模型的类型
1)动点定长模型
原理:
圆A中,AB=AC=AP备注:
常转全等或相似证明出定长
若P为动点,但AB=AC=AP
则B、C、P三点共圆,A圆心,AB半径
2)直角圆周角模型
固定线段AB所对动角∠C恒为90°则A、B、C三点共圆,AB为直径
原理:
圆O中,圆周角为90°所对弦是直径备注:
常通过互余转换等证明出动角恒为直角
3)定弦定角模型
固定线段AB所对动角∠P为定值
则点P运动轨迹为过A、B、C三点的圆
原理:
弦AB所对同侧圆周角恒相等
备注:
点P在优弧、劣弧上运动皆可
4)四点共圆模型①
原理:
圆内接四边形对角互补备注:
点A与点C在线段AB异侧
5)四点共圆模型②
固定线段AB所对同侧动角∠P=∠C则A、B、C、P四点共圆原理:
弦AB所对同侧圆周角恒相等备注:
点P与点C需在线段AB同侧
点睛2】圆中旋转最值问题
条件:
线段AB绕点O旋转一周,点M是线段AB上的一动点,点C是定点
(1)求CM最小值与最大值
(2)求线段AB扫过的面积
(3)求S△ABC最大值与最小值
作法:
如图建立三个同心圆,作OM⊥AB,B、A、M运动路径分别为大圆、中圆、小圆结论:
①CM1最小,CM3最大
②线段AB扫过面积为大圆与小圆组成的圆环面积③S△ABC最小值以AB为底,CM1为高;最大值以AB为底,CM2为高
典题探究启迪思维探究重点
例题1.如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边上的一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A`MN,连接A`C,则A`C长度的最小值是.
【分析】考虑△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,可得MA'M=A=1,所以A'轨迹是以M点为圆心,MA为半径的圆弧.连接CM,与圆的交点即为所求的A',此时A'C的值最小.构造直角△MHC,勾股定理求CM,再减去A'M即可,答案为7-1.
变式练习>>>
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.
【分析】考虑到将△FCE沿EF翻折得到△FPE,可得P点轨迹是以F点为圆心,FC为半径的圆弧.过F点作FH⊥AB,与圆的交点即为所求P点,此时点P到AB的距离最小.由相似先求FH,再减去FP,即可得到PH.答案为1.2.
例题2.如图,已知圆C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为圆C上一动点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为.
【分析】连接OP,根据△APB为直角三角形且O是斜边AB中点,可得OP是AB的一半,若AB最小,则OP最小即可.连接OC,与圆C交点即为所求点P,此时OP最小,AB也取到最小值.答案为4.
变式练习>>>
2.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=8,P、Q分别是直线BC、AB上的两个动点,AE=2,△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ,连接PF、PD,则PF+PD的最小值是.
分析】F点轨迹是以E点为圆心,EA为半径的圆,作点D关于BC对称点D',连接PD',PF+PD化为
PF+PD'.连接ED',与圆的交点为所求
F点,与BC交点为所求P点,勾股定理先求ED‘再,减去EF即可.
例题3.如图,E、F是正方形ABCD的边AD上的两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接
BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段DH长度的最小值是.
分析】根据条件可知:
∠DAG=∠DCG=∠ABE,易证AG⊥BE,即∠AHB=90°,所以H点轨迹是以AB为
直径的圆弧当D、H、O共线时,DH取到最小值,勾股定理可求.答案为51
变式练习>>>
3.如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=8,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值是.
答案为424
【分析】∵∠PBC+∠PBA=90°,∠PBC=∠PAB,∴∠PAB+∠PBA=90°,∴∠APB=90°,∴P点轨迹是以AB为直径的圆弧.
当O、P、C共线时,CP取到最小值,勾股定理先求OC,再减去OP即可.
例题4.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=4,AC=10,点D是AC上的一个动点,以CD为直径作圆
O,连接BD交圆O于点E,则AE的最小值为.
变式练习>>>
4.如图,正方形ABCD的边长为4,动点E、F分别从点A、C同时出发,以相同的速度分别沿AB、CD
向终点B、D移动,当点E到达点B时,运动停止,过点B作直线EF的垂线BG,垂足为点G,连接AG,
则AG长的最小值为
例题5.如图,等边△ABC边长为2,E、F分别是BC、CA上两个动点,且BE=CF,连接AE、BF,交点为P点,则CP的最小值为
【分析】由BE=CF可推得△ABE≌△BCF,所以∠APF=60°,但∠APF所对的边AF是变化的.所以考虑∠APB=120°,其对边AB是定值.所以如图所示,P点轨迹是以点O为圆心的圆弧.(构造OA=OB且∠AOB=120°)当O、P、C共线时,可得CP的最小值,利用Rt△OBC勾股定理求得OC,再减去OP即可.
变式练习>>>
5.在△ABC中,AB=4,∠C=60°,∠A>∠B,则BC的长的取值范围是【分析】先作图,如下
条件不多,但已经很明显,AB是定值,∠C=60°,即定边对定角.故点C的轨迹是以点O为圆心的圆弧.(作AO=BO且∠AOB=120°)题意要求∠A>∠B,即BC>AC,故点C的轨迹如下图.当BC为直径时,BC取到最大值为83,考虑∠A为△ABC中最大角,故BC为最长边,BC>AB=4.无最小值.
3
例题6.如图,在四边形ABCD中,∠BCD=90°,
AC为对角线,过点D作DF⊥AB,垂足为E,交CB延
长线于点F,若AC=CF,∠CAD=∠CFD,DF﹣AD=2,AB=6,则ED的长为
解答】解:
∵∠CAD=∠CFD,
∠FAD+∠DCF=180°,∠FAC=∠FDC,
∠DCF=90°,∴∠FAD=90°,
AC=FC,∴∠FAC=∠AFC,
DF⊥AB,∴∠ABF+∠BFE=∠CDF+∠BFE=90°,
∠ABF=∠CDF,∴∠AFB=∠ABF,∴AF=AB=6,
DF﹣AD=2,∴DF=AD+2,
DF2=AF2+AD2,∴(2+AD)2=62+AD2,解得:
AD=8,∴DF=10,
1.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=10,AC=8.D是弧BC上的一个动点,连接AD,
过点C作CE⊥AD于E,连接BE.在点D移动的过程中,BE的最小值为
答案为:
2134
分析】E是动点,E点由点C向AD作垂线得来,∠AEC=90°,且AC是一条定线段,所以E点轨迹是以
AC为直径的圆弧.当B、E、M共线时,BE取到最小值.连接BC,勾股定理求BM,再减去EM即可.
3.如图,正方形ABCD的边长是4,点E是AD边上一动点,连接BE,过点A作AF⊥BE于点F,点P是AD边上另一动点,则PC+PF的最小值为.
答案为:
2132
【分析】∠AFB=90°且AB是定线段,故F点轨迹是以AB中点O为圆心、AB为直径的圆.考虑PC+PF是折线段,作点C关于AD的对称点C',化PC+PF为PC'P+F,当C'、P、F、O共线时,取到最小值.
C'
P
F
AO
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,AB=4,D是BC上一动点,则CF的最大值是.
EF⊥AB,且E点在圆上,故
【分析】∠AEC=90°且AC为定值,故E点轨迹是以AC为直径的圆弧.考虑当EF与圆相切的时候,CF取到最大值.
连接OF,易证△OCF≌△OEF,∠COF=30°,故CF可求.答案为3
3
5.如图,△ABC为等边三角形,AB=3,若P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的
C
P
B
A
最小值为
答案为3
6.如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,AB=5cm,AC=4cm.D是弧BC上的一个动点(含端点B,不含端点C),连接AD,过点C作CE⊥AD于E,连接BE,在点D移动的过程中,BE的取值
范围是﹣2≤BE<3
解答】解:
如图,由题意知,∠AEC=90°,
∴E在以AC为直径的⊙M的上(不含点C、可含点N),
解答】解:
解:
如图,连接CE,
∴∠CED=∠CEA=90°,∴点E在以AC为直径的⊙Q上,
当点Q、E、B共线时BE最小,
∴BE最短时,即为连接BM与⊙M的交点(图中点
E′点),
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=10,BC=12,点D为线段BC上一动点.以CD为⊙O直径,作AD交⊙O于点E,连BE,则BE的最小值为8.
∵AC=10,
∴QC=QE=5,
∵BC=12,
∴QB==13,
∵AB=5,AC=4,∴BC=3,CM=2,
则BM===,
∴BE长度的最小值BE′=BM﹣ME′=﹣2,
BE最长时,即E与C重合,∵BC=3,且点E与点C不重合,∴BE<3,综上,﹣2≤BE<3,
∴BE=QB﹣QE=8,∴BE的最小值为8,故答案为8.
8.如图,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,BC=,点D是AC边上一动点,连接BD,以
AD为直径的圆交BD于点E,则线段CE长度的最小值为2﹣2.
【解答】解:
连结AE,如图1,
∵∠BAC=90°,AB=AC,BC=,
∴AB=AC=4,
∵AD为直径,
∴∠AED=90°,
∴∠AEB=90°,
∴点E在以AB为直径的⊙O上,
∵⊙O的半径为2,
∴当点O、E、C共线时,CE最小,如图2,在Rt△AOC中,∵OA=2,AC=4,
∴OC==2,
∴CE=OC﹣OE=2﹣2,
即线段CE长度的最小值为2﹣2.故答案为2﹣2.
9.如图,在矩形ABCD中,已知AB=4,BC=8,点O、P分别是边AB、AD的中点,点H是边CD上的一个动点,连接OH,将四边形OBCH沿OH折叠,得到四边形OFEH,连接PE,则PE长度的最小值是
【解答】解:
如图,连接∵四边形ABCD是矩形,
EO、PO、OC.∴∠B=∠OAP=90°,
在Rt△OBC中,BC=8,
OB=2,∴OC==2,
在Rt△AOP中,OA=2,PA=4,
∴OP==2,
∵OE=OC=2,PE≥OE﹣OP,∴PE的最小值为2﹣2.
故答案为2﹣2.
10.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E是AB边上一点,且AE=2,点F是边BC上的任意一点,把△BEF沿EF翻折,点B的对应点为G,连接AG,CG,则四边形AGCD的面积的最小值为
,
∴S四边形AGCD最小=h+6=+6=
故答案为:
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 初中 数学 模型 题型 归纳