小学奥数知识点梳理全大字.docx
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小学奥数知识点梳理全大字
学而思小学奥数知识点梳理
前言
小学奥数知识点梳理,对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要,不过,对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象,为此,本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材,力图打破原有体系,重新整合划分,构建十七块体系(其第十七为解题方法汇集,可补充相应杂题),原则上简明扼要,努力刻画小学奥数知识的主树干。
1、把条件翻成数学表达(图、式子等)
2、代数的思想,翻不出来用字母代
3、不会做的时候怎么吧,能做啥做啥
概述
遇到让找出所有数…..,不要害怕,肯定不是很多,找规律,静下心;
代数思想、逆推思想、归纳思想、猜证思想、分类分步思想、数形结合思想,我们告诉快速提分策略。
不知该怎么办时,枚举找规律
一、计算
必考题目
一般需要速算巧算
要先观察,看准了再动手!
和、差、积的个位都只和每个数的个位有关
能大巧算就大巧,不能大巧就小巧,实在不行来狠的(数少或小的时候,有时也许可以硬算)
数多或大时,硬算会出人命的,此时大都需要找规律。
1、四则混合运算繁分数
1运算顺序:
2分数、小数混合运算技巧
一般而言:
1加减运算中,能化成有限小数的统一以小数形式;
带分数的加减法常常整数和分数分开写;
2乘除运算中,统一以分数形式。
乘法变成假分数;
⑶带分数与假分数的互化
如果有大量的假可以化带,如果有大量的带,可以化假;
⑷繁分数的化简
(5)要考虑整体约分、连续约分的概念;
2、简便计算
⑴凑整思想
互补就加、尾同就减、配对凑整、借来还去
分组凑整:
(1)好多数,且中间有省略;
(2)甚至可能打乱顺序,重组;(3)带着前面的符号
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
裂和:
目的:
两两相消;凑整
=
+
;
=
+
=
+
裂差:
目的:
两两相消
(1)分子全部相同,最简单形式为1,不是1提取公因数
(2)分母均为几个自然数的乘积形式,并且满足相邻2个分母上的因数首尾相接;
(3)分母上的几个因数间的差是一个定值;
分数拆分:
=
+
=
=+
m,n是10的约数就可以;选取m,n的比不同就可以分成不同的两个分数相加;这里有(1,2)(2,5)(1,10)(1,5)(1,1)
阶乘:
考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法,乘法往上5!
,想6,5!
×6=6!
除法考虑自己,想5,5!
÷5=4!
⑷提取公因数
公因数不会明白地告诉,需要用找出来
如何找?
用拆分,也就是乘不变的方法,目的是找公因数
*迎春杯特点:
一定会考一题,一般是凑整求和、提取共因数;考提取公因数的可能比较大,但不会那么明显地给出公因数,需要拆分找出来;实在不会,低年级可以硬算。
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
1运算定律的综合运用:
交换率、结合率
2连减的性质
3连除的性质
4同级运算移项的性质:
搬家带符号,加减括号,前面是-、÷是一定要注意
5增减括号的性质
6变式提取公因数
形如:
(7)换元
(8)通项归纳
找规律,从简单情况入手
目的:
利用通项求解
解题步骤:
找最后一项,然后套公式(通常别算出来,当找不出规律时,再考虑算出来)
a.1或2步上10阶楼梯,有多上种上法;
b.几个圆或线或矩形吧平面分多少份
方法:
看多一个图形,多几个点,看多一个点把新的图形分成几个部分,就多几个部分
线和圆把平面分成多少份,第一条线有问题,其他恢复正常;
3、估算
求某式的整数部分:
扩缩法
4、比较大小
基本方法
1通分
a.通分母
b.通分子
2跟“中介”比,比如和1比
3利用倒数性质
若
,则c>b>a.。
形如:
,则
。
4浓度法
是真分数,必有
>
;
是假分数,且a≠b,必有
<
;
5做差:
差与0比
6做商:
商与1比
做商还是做差,看题目条件
放缩法
求整数部分
结构调整:
以2的次方为标记点,划几个,董老师5年级下班9讲
>向左划括号
<向右划括号
两数:
差小积大
5、定义新运算
✓要理解新符号的运算规则
(普通题:
告诉你规则,直接代入就好;牛题:
新运算需要推导出来,方法:
赵规律,通项归纳)
✓理解运算顺序
没有特殊说明的话,
(1)从左往右算,有括号先括号;
(2)一个式子包含多个新符号,视这些新符号优先级相同
✓运算率别乱用;
6、特殊数列求和
运用相关公式:
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…(n-1)+n+(n-1)+…4+3+2+1=n
(a+b)2=a2+2ab+b2
7、大数计算:
找规律,可以先用小数算算找规律;凑9,99,999……
9、重复数字:
324324324324=324×1001001001
10、头同尾和十
(1)概念:
两位数×两位数中,十位数字相同,个位数字相加为十
结果:
积的后两位=尾×尾;积从百位起前面的数=头×(头+1)
例如:
73×77=5621
(2)尾同头合十
概念:
两位数×两位数中,个位数字相同,十位数字相加为十
结果:
积的后两位=尾×尾;积从百位起前面的数=头×头+尾
例如:
78×38=2964
11、452=2025
12、7×11×13=1001
37×3=111
13、7的秘密:
1÷7=0.142857
142857×1
142857×2=285714
14、位值原理:
一个数可以拆成每一位上的数值×位值
二、数论
知识点小而多,需要记忆的东西多。
包括:
整除问题;整除特征(小升初常考内容);余数问题;奇偶问题;质数合数;约数倍数还有那个平方数的特征。
1、奇偶性问题
奇
奇=偶奇×奇=奇
奇
偶=奇奇×偶=偶
偶
偶=偶偶×偶=偶
两个数的和差奇偶性相同
连续乘法、除法,见偶得偶;
连续加法、减法,只数奇数的个数,奇数的个数是奇数,结果是奇;奇数的个数是偶数,结果是偶
2、位值原则
形如:
=100a+10b+c
3、数的整除特征:
除法的封闭性
要不是下面这些特殊数,变成这些特殊数,可以变大、也可以变大。
末位:
(2,5)(22,55)(23,53);
数段和:
(3,9)(99,33,11)(37,111,333,999)
数段差:
(7,11,13)
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8;也说明能被2整除的数,其个位数字只能是偶数;
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和,两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4(或25)的倍数
8和125
末三位数是8(或125)的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7(或11或13)的倍数,偶数位与奇数位的差
99
从后往前,两位一段,各段之和是99的倍数,此数是99的倍数
4、整除性质
1如果c|a、c|b,那么c|(a
b)。
2如果bc|a,那么b|a,c|a。
3如果b|a,c|a,且(b,c)=1,那么bc|a。
4如果c|b,b|a,那么c|a.
5a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
66672□□这样的用试除法;
7(———abc)k÷(K-1),若(a+b+c)10=(K-1)10×(n)10,则可整除,反之,余=(余)10;
5、带余除法=
一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),那么一定有另外两个整数q和r,0≤r<b,使得a=b×q+r
当r=0时,我们称a能被b整除。
当r≠0时,我们称a不能被b整除,r为a除以b的余数,q为a除以b的不完全商(亦简称为商)。
用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r<ba=b×q+r
6.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积,即
n=p1
×p2
×...×pk
7、约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1
×p2
×...×pk
那么:
n的约数个数:
d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
证明:
关键是乘法原理
n的所有约数和:
(1+P1+P1
+…p1
)(1+P2+P2
+…p2
)…(1+Pk+Pk
+…pk
)
约数积:
约数是成对出现的
例:
12的约数积,1X12=12,3X4=12,2X6=12123
8、两数的约数也是两数差的约数;
(a,b)是a,b;a-b;a+b;[a,b]的约数;
9、同余定理
①同余定义:
若两个整数a,b被自然数m除有相同的余数,那么称a,b对于模m同余,用式子表示为a≡b(modm)
②若两个数a,b除以同一个数c得到的余数相同,则a,b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
余数相同:
减同余
补数相同:
加同补
10.弃九法
(1)自然数N和它的数字和除以9同余;
(2)在其他进制里同理:
如7进制里,数N和它的各个数字和除以6同余
证明:
位值法
11.完全平方数性质
①平方差:
A
-B
=(A+B)(A-B),其中我们还得注意A+B,A-B同奇偶性。
②约数:
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解:
把数字分解,使他满足积是平方数。
④平方和。
322=1024是第一个四位数
992=9801四位数里最大的四位数
332=四位数里第1个奇数
⑥一个完全平方数的个位数的个位数字一定是0,1,4,5,6,9
⑦完全平方数除以4的性质最重要,偶数除以4余0,奇数除以4余1,除以4余3一定不是完全平方数;
12.孙子定理(中国剩余定理)见下
13.余数应用
求某数、某式的末一位、二位、三位……是几?
(1)末一位,相当于求除10=2×5
末二位,相当于求除100=4×25
末三位,相当于求除1000=8×125
(2)以大化小
(3)找余数1:
费马小定理:
如a÷p=……(p-1)、P为质数;
则a2÷p=……1
如
(1)p是质数,且a和p互质
则:
则ap-1÷p=……1
14.辗转相除法---根本在于辗转相减
例:
求20102948的最大公约数
2948-2010=938
2010-938=1072
1072-938=134
938-134=804
804-134=670
。
。
。
134-134=0
所以最大公约数是134。
15.质数
(1)质数有无穷个,质数的分布有渐稀性,
(2)特别注意:
质数中2是唯一偶数(奇偶性);5(唯一一个末尾是5的质数);
3两次余数,
(3)如果两个数互质,这两个数的和与其中任意一个数互质,差也是;
100以内的质数:
101、103、107、109,
4位最小的质数:
1009
1003=17X59
1007=19X53
(4)判断质数的方法
(5)制造连续合数
(
16.求最大公因数,最小共倍数
(1)分解质因数
(2)短除法
(3)分数:
分子求正面,分母求相反;
(4)a×b=(a,b)×[a,b]
17.数论解题的常用方法
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
中国古代求解一次同余式组(见同余)的方法。
是数论中一个重要定理。
又称中国剩余定理。
公元前后的《孙子算经》中有“物不知数”问题:
“今有物不知其数,三三数之余二,五五数之余
三,七七数之余二,问物几何?
”答为“23”。
也就是求同余式组x≡2(mod3),x≡3(mod5),x≡2(mod7)(式中a≡b(modm)表示m整除a-b)的正整数解。
明朝程大位用歌谣给出了该题的解法:
“三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆月正半,除百零五便得知。
”即解为x≡2×70+3×21+2×15≡233≡23(mod105)。
此定理的一般形式是设m=m1,…,mk为两两互素的正整数,m=m1,…mk,m=miMi,i=1,2,…,k。
则同余式组x≡b1(modm1),…,x≡bk(modmk)的解为x≡M'1M1b1+…+M'kMkbk(modm)。
式中M'iMi≡1(modmi),i=1,2,…,k。
直至18世纪C.F.高斯才给出这一定理。
孙子定理对近代数学如环论,赋值论都有重要影响。
解法中的三个关键数70,21,15,有何妙用,有何性质呢?
首先70是3除余1而5与7都除得尽的数,所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数,21是5除余1,而3与7都除得尽的数,所以21b是5除余b,而3与7除得尽的数。
同理,15c是7除余c,3与5除得尽的数,总加起来70a+21b+15c是3除余a,5除余b,7除余c的数,也就是可能答案之一,但可能不是最小的,这数加减105(105=3*5*7)仍有这样性质,可以多次减去105而得到最小的正数解。
附:
如70,其实是要找余2的,但只要找到了余1的再乘2即余二了。
孙子问题的解法,以现代的说法,是找出三个关键数70,21,15。
解法的意思就是用70乘3除所得的余数,21乘5除所得的余数,15乘7除所得的余数,然后总加起来,除以105的余数就是答案。
即题目的答案为70×2+21×3+15×2
=140+63+30
=233
233-2×105=23
公式:
70a+21b+15c-105n
(中国剩余定理CRT)设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数,即gcd(mi,mj)=1,i≠j,i,j=1,2,...,k
则同余方程组:
x≡b1modm1
x≡b2modm2
...
x≡bkmodmk
模[m1,m2,...,mk]有唯一解,即在[m1,m2,...,mk]的意义下,存在唯一的x,满足:
x≡bimod[m1,m2,...,mk],i=1,2,...,k
中国剩余定理”算理及其应用:
为什么这样解呢?
因为70是5和7的公倍数,且除以3余1。
21是3和7的公倍数,且除以5余1。
15是3和5的公倍数,且除以7余1。
(任何一个一次同余式组,只要根据这个规律求出那几个关键数字,那么这个一次同余式组就不难解出了。
)把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数,再把三个积加起来是233,符合题意,但不是最小,而105又是3、5、7的最小公倍数,去掉105的倍数,剩下的差就是最小的一个答案。
用歌诀解题容易记忆,但有它的局限性,只能限于用3、5、7三个数去除,用其它的数去除就不行了。
后来我国数学家又研究了这个问题,运用了像上面分析的方法那样进行解答。
例1:
一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?
题中3、4、5三个数两两互质。
则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。
为了使20被3除余1,用20×2=40;使15被4除余1,用15×3=45;使12被5除余1,用12×3=36。
然后,40×1+45×2+36×4=274,因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。
例2:
一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?
题中3、7、8三个数两两互质。
则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。
为了使56被3除余1,用56×2=112;使24被7除余1,用24×5=120。
使21被8除余1,用21×5=105;然后,112×2+120×4+105×5=1229,因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。
例3:
一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。
题中5、8、11三个数两两互质。
则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。
为了使88被5除余1,用88×2=176;使55被8除余1,用55×7=385;使40被11除余1,用40×8=320。
然后,176×4+385×3+320×2=2499,因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。
例4:
有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,问这个年级至少有多少人?
(幸福123老师问的题目)题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
为了使35被9除余1,用35×8=280;使45被7除余1,用45×5=225;使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×5+225×1+126×2=1877,因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。
例5:
有一个年级的同学,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,问这个年级至少有多少人?
题中9、7、5三个数两两互质。
则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。
为了使35被9除余1,用35×8=280;使45被7除余1,用45×5=225;使63被5除余1,用63×2=126。
然后,280×6+225×2+126×3=2508,因为,2508>315,所以,2508-315×7=303,就是所求的数。
(例5与例4的除数相同,那么各个余数要乘的“数”也分别相同,所不同的就是最后两步。
)
关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”,这种题目,也可以用倍数和余数的方法解决。
不懂论坛上有没人发过。
小学奥赛考试时学习过,也用过,现在把方法写出来,如果懂的也别笑我,呵呵。
例一,一个数被5除余2,被6除少2,被7除少3,这个数最小是多少?
解法:
题目可以看成,被5除余2,被6除余4,被7除余4。
看到那个“被6除余4,被7除余4”了么,有同余数的话,只要求出6和7的最小公倍数,再加上4,就是满足后面条件的数了,6X7+4=46。
下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。
不行的话,只要再46加上6和7的最小公倍数42,一直加到能满足“一个数被5除余2”。
这步的原因是,42是6和7的最小公倍数,再怎么加都会满足“被6除余4,被7除余4”的条件。
46+42=8846+42+42=13046+42+42+42=172这是一种形式的,它的前提是条件中出现同余数的情况,如果遇到没有的,下面讲例二,一个班学生分组做游戏,如果每组三人就多两人,每组五人就多三人,每组七人就多四人,问这个班有多少学生?
解法:
题目可以看成,除3余2,除5余3,除7余4。
没有同余的情况,用的方法是“逐步约束法”,就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”,就是再7上一直加4,直到所得的数除5余3。
得出数为18,下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35,直到满足“除3余2”4+7=1111+7=1818+35=53这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。
比“中国剩余定理”更好理解,我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。
大家可以试下.所以:
一共有5个187367547727907
18、最值问题
考虑平均化和极端化
两数和一定,差小积大;
两数积一定,差小和小
三、几何图形
几何出题特点及趋势:
淡化几何几大模型的直接考察
勾股定理频繁现身几何题中
方程(组)作用非比寻常
欧拉公式=顶点+区域=边数+维数–1
1、平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=(N-2)×180°
⑵等积变形(位移、割补)
1三角形内等底等高的三角形
2平行线内等底等高的三角形
3公共部分的传递性
4极值原理(变与不变)
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b;S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4(所谓蝴蝶模型)
⑷相似三角形性质(份数、比例)
①
;S1︰S2=a2︰A2
②(即所谓梯形蝴蝶模型)
S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=(a+b)2
⑸燕尾定理
S△ABG:
S△AGC=S△BGE:
S△GEC=BE:
EC;
S△BGA:
S△BGC=S△AGF:
S△GFC=AF:
FC;
S△AGC:
S△BCG=S△ADG:
S△DGB=AD:
DB;
(6)共角定理
(7)差不变原理
知5-2=3,则圆点比方点多3。
(8)隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
(9)组合图形的思考方法
1化整为零
2先补后去
3正反结合
④有时要求的无法求,可以用反面的方法,求外围然后减去
求面积,直接求
间接求:
整体—部分;总×
不好求,放到一个大的图形中去求,方法:
这个大的图形的面积好求,或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求,而这个更大的图形的面积好求
容斥法求解
(10)长方形
a×c=b×da+c=b+d
(11)正方形:
说到正方形,就要想到等腰三角形,反之亦然
弦图:
看到斜着放的正方形,就应该想到弦图
□□
(12)海伦公式
三角形的三边长分别为:
a、b、c;p为半周长=(a+b+c)/2
则三角形的面积S=
(13)如果六边形对边相等,相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边形面积的一半
(14)当求一部分比另一部分的面积大多少时,除了直接求出每部分相减外,应该可以考虑差不变得方法;
2、立体图形:
长方体、正方体
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
几个面,几个棱等要记清;
圆柱体的体积和表面积
圆锥体的体积和表面积
三棱柱的体积和表面积
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体:
V升水=V物
要先判断是否水上升超过了侵入的物体,然后再算升高了多少;
②测啤酒瓶容积:
V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
求堆积体表面积的常见方法——三视图法,有些看不见的图要额外加上
求堆积体体积的常见方法——切片法
⑸染色问题(含染色再切块)
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
(6)打洞题目
3、周长
(1)规则图形:
(2)不规则图形:
平移,注意别有漏的,必要的时候要分析线段之间的关系、要加加减减,
4、图形计数:
容易数不全,方法:
会分类
特别的:
(6+5+4+3+2+1)×(4+3+2+1)
5、图形分割和拼接
(1)割:
从数量和对称点入手(特别是当要求面
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