以平行四边形为背景的计算与证明.docx
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以平行四边形为背景的计算与证明
专题提升(
)以平行四边形为背景的计算与证明
图Z11—2
类型之一以平行四边形为背景的计算与证明
【经典母题】
已知:
如图Z11—1,在?
ABCD中,AC是对角线,BE
丄AC,DF丄AC,垂足分别为E,F.求证:
BE=DF.
证明:
•••四边形ABCD是平行四边形,•••AB//CD,
•••/BAE=/DCF.又•••BE丄AC,DF丄AC,
•••/AEB=/CFD,•••AB=CD,
•••Rt△AEB也RtACFD,二BE=DF.
【思想方法】
(1)平行四边形是一种特殊的四边形,它具有对边平行且相等,
对角线互相平分的性质,根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或
证明问题;
⑵平行四边形的判定有四种方法:
两组对边平行;两组对边分别相等;一组
对边平行且相等;对角线互相平分.
【中考变形】
1.[2016益阳]如图Z11—2,在?
ABCD中,AE丄BD于点
求证:
AF=CE.
证明:
•••四边形ABCD是平行四边形,
•••AD=BC,/ADB=/CBD.
又TAE丄BD,CF丄BD,
•••/AED=/CFB,AE/CF.
•••△AED^ACFB(AAS).二AE=CF.
•••四边形AECF是平行四边形.•••AF=CE.
2.[2016黄冈]如图Z11—3,在?
ABCD中,E,F分别为
边AD,BC的中点,对角线AC分别交BE,DF于点G,
H.求证:
AG=CH.
证明:
•••四边形ABCD是平行四边形,•••AD/BC,
•••/ADF=/CFH,/EAG=/FCH,
•••E,F分别为AD,BC边的中点,
•••AE=DE=^AD,CF=BF=|bC,
•••AD=BC,
•••AE=CF=DE=BF.
•••DE//BF,
•••四边形BFDE是平行四边形,
•••BE/DF,
•••/AEG=/ADF,
图Z11—4
中考预测答图
•••/AEG=/CFH,
〔/EAG=/FCH,在^AEG和^CFH中,{AE=CF,
〔/AEG=/CFH,
•••△AEG尢CFH(ASA),二AG=CH.
【中考预测】
[2016义乌模拟]如图Z11—4,已知E,F分别是?
ABCD
(1)求证:
四边形AECF是平行四边形;
⑵若四边形AECF是菱形,且BC=10,/BAC=90°,
求BE的长.
解:
(1)证明:
•••四边形ABCD是平行四边形,
•••AD//BC,且AD=BC,
•••BE=DF,AAF=EC,
•••四边形AECF是平行四边形;
⑵如答图,•••四边形AECF是菱形,
•••AE=EC,
•••/BAC=90°
•••/3=90°—/2,/4=90°—/1,
.••/3=/4,.・.AE=BE,•••BE=AE=CE=2bC=5.
类型之二以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明
【经典母题】
如图Z11—5,在菱形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,且AE丄BC,
AF丄CD.求菱形各个内角的度数.
解:
如答图,连结AC.
•••四边形ABCD是菱形,AE丄BC,AF丄CD且E,F分别为BC,CD的中点,
二AC=AB=AD=BC=CD,
•••△ABC,^ACD均为等边三角形,
•••菱形ABCD的四个内角度数分别为/B=/D=60°,/BAD=/BCD=
120°.
【思想方法】要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法,采用类比法,
入手,即从对边、
也可以从平
比较它们的区别和联系.对于矩形的性质,重点从“四对”
对角、对角线及对称轴入手;判定菱形可以从一般四边形入手,
行四边形入手;正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质.
【中考变形】
图Z11—6
1.[2017日照]如图Z11—6,已知BA=AE=DC,AD=EC,
CE丄AE,垂足为E.
(1)求证:
△DCA^AEAC;
(2)只需添加一个条件,即—AD=BC—,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
解:
(1)证明:
在^DCA和^EAC中,
「DC=EA,
{AD=CE,•••△DCAEAC(SSS;Lac=CA,
⑵添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形.理由如下:
•••AB=DC,AD=BC,A四边形ABCD是平行四边形,
•••CE丄AE,./E=90°,
由⑴得^DCA◎△EAC,.../D=/E=90°,
•••四边形ABCD为矩形.故答案为AD=BC(答案不唯一)•
2.[2017白银]如图Z11—7,矩形ABCD中,AB=6,BC耳
=4,过对角线BD中点O的直线分别交AB,CD边于
点E,F.
⑴求证:
四边形BEDF是平行四边形;
⑵当四边形BEDF是菱形时,求EF的长.
解:
(1)证明:
•••四边形ABCD是矩形,O是BD的中点,
•••AB//DC,OB=OD,
OBE=/ODF,在△BOE和^DOF中,
「/OBE=/ODF,
{OB=OD,•••△BOE^ADOF(ASA),
1/BOE=/DOF,
•••EO=FO,.四边形BEDF是平行四边形;
⑵当四边形BEDF是菱形时,BD丄EF,
设BE=X,贝UDE=X,AE=6—x,
在RtAADE中,DE2=ad2+AE2,
•••x2=42+(6—X)2,
解得x=BD=7AD2+AB2=2/13,
•••OB=^BD=BD丄EF,
.OE=UBE2-OB2=^^3,.EF=2EO=
3.[2017盐城]如图Z11—8,矩形ABCD中,/ABD,
/CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.
⑴求证:
四边形BEDF是平行四边形;
⑵当/ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?
请说明理由.
解:
(1)证明:
•••四边形ABCD是矩形,
•••AB/DC,AD//BC,./ABD=/CDB,
F
A£
图Z11—7
图Z11—8
•••BE平分/ABD,DF平分/BDC,
•••/EBD=2/aBD,/FDB=2/bdC,•••/EBD=/FDB,二BE//DF,又TAD//BC,.・.四边形BEDF是平行四边形;
⑵当/ABE=30°时,四边形BEDF是菱形,理由:
•••BE平分/ABD,
•••/ABD=2/ABE=60°,/EBD=/ABE=30°,
•••四边形ABCD是矩形,•••/A=90°,.・./EDB=90°—/ABD=30°
•••/EDB=/EBD=30°,二EB=ED,
又•••四边形BEDF是平行四边形,.••四边形BEDF是菱形.
4.[2016株洲]如图Z11—9,在正方形ABCD中,BC=3,
E,F分别是CB,CD延长线上的点,DF=BE,连结AE,
(1)求证:
△ADFABE;
⑵若BE=1,求tan/AED的值.
图Z11—9
解:
(1)证明:
正方形ABCD中,
•••AD=AB,/ADC=/ABC=90°,
•••/ADF=/ABE=90°,
在^ADF与^ABE中,
AD=AB,/ADF=/ABE,DF=BE,
•••△ADFABE(SAS);
(2)在Rt△ABE中,•••AB=BC=3,BE=1,
•••AE=V10,ED=VCD2+CE2=5,
•••$△AED=1eD•AH=|aD•BA=2,
9
•••AH二9,
13ah9
•••EH=ED—DH=tan/AED=兀=走.
5EH13
图Z11—10
5.[2017上海]已知:
如图Z11—10,四边形ABCD中,AD
//BC,AD=CD,E是对角线BD上一点,且EA=EC.
(2)如果BE=BC,且/CBE:
/BCE=2:
3,求证:
四边
形ABCD是正方形.
证明:
⑴在^ADE与^CDE中,
「AD=CD,
{DE=DE,•••△ADE尢CDE(SS$),a/ADE=/CDE,LeA=EC,
•••AD//BC,A/ADE=/CBD,
•••/CDE=/CBD,ABC=CD,
AD=CD,—BC=AD,
•••四边形ABCD为平行四边形,
VAD=CD,二四边形ABCD是菱形;
(2)•••BE=BC,A/BCE=/BEC,
V/CBE:
/BCE=2:
3,
「上CBE=180x2zbr45°,
V四边形ABCD是菱形,
•••/ABE=45°,A/ABC=90°,
四边形ABCD是正方形.
6.如图Z11—11,正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC,
CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH.
(1)求证:
四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由;
⑶求四边形EFGH面积的最小值.
图Z11—11
中考变形6答图
解:
(1)证明:
•••四边形ABCD是正方形,
•••/A=/B=90°,AB=DA,
•••AE=DH=BF,二BE=AH,/•△AEHBFE(SAS,
•••EH=FE,/AHE=/BEF,同理,FE=GF=HG,
•••EH=FE=GF=HG,.・.四边形EFGH是菱形,
V/A=90°,.・./AHE+/AEH=90°,二/BEF+/AEH=90°,
•••/FEH=90°,A四边形EFGH是正方形;
⑵直线EG经过正方形ABCD的中心.
理由:
如答图,连结BD交EG于点O.
•••四边形ABCD是正方形,
•••AB//DC,AB=DC,
•••/EBD=/GDB,
VAE=CG,ABE=DG,
V/EOB=/GOD,二△EOB^AGOD(AAS),
•••BO=DO,即卩O为BD的中点,
•••直线EG经过正方形ABCD的中心;
+(8—x)2=2x—16x+64=2(x—4)2+32,
(3)设AE=DH=X,贝UAH=8—x,在RtAAEH中,EH2=AE2+AH2=x2
2
V*S四边形EFGH=EHEF=EH2,
【中考预测】
BE交AC于点F,连结DF.
J
⑴求证:
/BAC=/DAC,/AFD=/CFE;
⑵若AB/CD,试证明四边形ABCD是菱形;
⑶在
(2)的条件下,试确定点E的位置,使/EFD=/BCD,并说明理由.
解:
(1)证明:
VAB=AD,CB=CD,AC=AC,
•••△ABC^AADC(SSS,;/BAC=/DAC.
•••AB=AD,/BAF=/DAF,AF=AF,
•••△ABF尢ADF(SAS,;/AFB=/AFD.
又V/CFE=/AFB,A/AFD=/CFE;
(2)证明:
VAB//CD,•••/BAC=/ACD.
又V/BAC=/DAC,A/DAC=/ACD,aAD=CD.
VAB=AD,CB=CD,二AB=CB=CD=AD,
•••四边形ABCD是菱形;
⑶当BE丄CD时,/EFD=/BCD.理由:
V四边形ABCD为菱形,
•••BC=CD,/BCF=/DCF.
又VCF为公共边,
•••△BCF^ADCF(SAS,
•••/CBF=/CDF.
VBE丄CD,•••/BEC=/DEF=90°,
•••/CBF+/BCD=/CDF+/EFD,
•••/EFD=/BCD.
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