人教A版选修22模块综合评价一.docx
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人教A版选修22模块综合评价一
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模块综合评价
(一)
(时间:
120分钟 满分:
150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)
1.(2015·福建卷)若集合A={i,i2,i3,i4}(i是虚数单位),B={1,-1},则A∩B等于( )
A.{-1}B.{1}C.{1,-1}D.∅
解析:
由已知得A={i,-1,-i,1},故A∩B={1,-1},故选C.
答案:
C
2.演绎推理“因为指数函数y=ax(a>0且a≠1)是增函数,而函数y=是对数函数,所以y=是增函数”所得结论错误的原因是( )
A.大前提错误B.小前提错误
C.推理形式错误D.大前提和小前提都错误
解析:
当a>1时,指数函数y=ax是增函数,所以大前提错误.
答案:
A
3.(2014·山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )
A.方程x2+ax+b=0没有实根
B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根
C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根
D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根
解析:
反证法的步骤第一步是假设命题反面成立,而“至少有一个根”的否定是“没有”.
答案:
A
4.给出下列三个类比推理的结论:
①类比ax·ay=ax+y,则有ax÷ay=ax-y;
②类比loga(xy)=logax+logay,则有sin(α+β)=sinα+sinβ;
③类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(+)2=2+2+2.
其中,结论正确的个数是( )
A.1B.2C.3D.4
解析:
只有①③的结论是正确的.
答案:
B
5.若P=+,Q=+(a≥0),则P,Q的大小关系为( )
A.P>QB.P=Q
C.P<QD.由a的取值确定
解析:
Q2-P2=(+)2-(+)2=
2(-),因为a≥0,所以Q2-P2>0,又P>0,Q>0,所以Q>P.
答案:
C
6.如图所示,阴影部分面积为( )
A.[f(x)-g(x)]dx
B.[g(x)-f(x)]dx+[f(x)-g(x)]dx
C.[f(x)-g(x)]dx+[g(x)-f(x)]dx
D.[g(x)-f(x)]dx
解析:
因为在区间(a,c)上g(x)>f(x),而在区间(c,b)上g(x)<f(x).所以S=S1+S2=[g(x)-f(x)]dx+[f(x)-g(x)]dx.
答案:
B
7.已知结论:
“在正三角形ABC中,若D是边BC的中点,G是三角形ABC的重心,则=2.”若把该结论推广到空间,则有结论:
在棱长都相等的四面体ABCD中,若△BCD的中心为M,四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等,则=( )
A.1B.2C.3D.4
解析:
由题知,O为正四面体的外接球、内切球球心,设正四面体的高为h,由等体积法可求内切球半径为h,外接球半径为h,所以=3.
答案:
C
8.在复平面内,若复数z满足|z+1|=|1+iz|,则z在复平面内对应点的轨迹是( )
A.直线B.圆C.椭圆D.抛物线
解析:
设z=x+yi(x、y∈R),|x+1+yi|=,
|1+iz|=|1+i(x+yi)|=,
则=,得y=-x.
所以复数z=x+yi对应点(x,y)的轨迹为到点(-1,0)和(0,1)距离相等的直线y=-x.
答案:
A
9.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数f′(x)在(a,b)内的图象如下图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有极大值点( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析:
若f(x)在x0处的左边导函数的符号为正,右边为负,则x0是函数f(x)的极大值点,据此判断,函数f(x)有两个极大值点.
答案:
B
10.设f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为( )
A.(0,+∞)B.(-1,0)∪(2,+∞)
C.(2,+∞)D.(-1,0)
解析:
f′(x)=2x-2-=(x>0),
由f′(x)>0得x2-x-2>0,解得x<-1或x>2.
因为x>0,所以x>2.
答案:
C
11.曲线f(x)=x3+x-2在点P处的切线平行于直线y=4x-1,则点P的坐标为( )
A.(1,0)B.(-1,-4)
C.(1.-4)D.(1,0)或(-1,-4)
解析:
f′(x)=3x2+1,设点P坐标为P(x0,y0),则切线斜率k=f′(x0)=3x+1=4,得x=1,所以x0=1或x0=-1,对应的y0=0或y0=-4.
答案:
D
12.函数f(x)在定义域R内可导,若f(x)=f(2-x),且(x-1)f′(x)>0,a=f(0),b=f,c=f(3),则a,b,c的大小关系是( )
A.a>b>cB.c>a>b
C.b>a>cD.c>b>a
解析:
由f(x)=f(2-x)知,函数f(x)图象关于直线x=1对称,由(x-1)f′(x)>0得或
所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增,
又a=f(0)=f
(2),b=f=f,c=f(3),<2<3,所以c>a>b.
答案:
B
二.填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上)
13.若复数z=cosθ-sinθi所对应的点在第四象限,则θ为第________象限角.
解析:
依题意cosθ>0,-sinθ<0,即cosθ>0,sinθ>0,所以θ为第一象限角.
答案:
一
14.变速直线运动的物体的速度为v(t)=1-t2(m/s)(其中t为时间,单位:
s),则它在前2s内所走过的路程为________m.
解析:
令v(t)=0得t=1,当t∈(0,1)时,v(t)>0;
当t∈(1,2)时,v(t)<0,所以物体所走的路程为(1-t2)dt+(t2-1)dt=+1=2.
答案:
2
15.观察下图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个点,第n个图案中圆点的总数是Sn.
n=2,S2=4;n=3,S3=8;n=4,S4=12;….按此规律,推出Sn与n的关系式为_________________________________________.
解析:
依图的构造规律可以看出:
S2=2×4-4,
S3=3×4-4,
S4=4×4-4(正方形四个顶点重复计算一次,应减去).
…
猜想:
Sn=4n-4(n≥2,n∈N*).
答案:
Sn=4n-4(n≥2,n∈N*)
16.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为________.
解析:
因为y=x2,所以y′=x,
易知P(4,8),Q(-2,2),
所以在P,Q两点处切线的斜率的值为4或-2.
所以这两条切线的方程为l1:
4x-y-8=0,l2:
2x+y+2=0,将这两个方程联立方程组求得y=-4.
答案:
-4
三.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)求函数f(x)=x(ex-1)-x2的单调区间.
解:
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)>0;
当x∈(-1,0)时f′(x)<0;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0.
故f(x)在(-∞,-1),(0,+∞)上单调递增,在(-1,0)上单调递减.
18.(本小题满分12分)已知z是复数,z+2i,均为实数,且(z+ai)2的对应点在第一象限,求实数a的取值范围.
解:
设z=x+y(x,y∈R).
则z+2i=x+(y+2)i为实数,所以y=-2.
又==(x-2i)·(2+i)=(2x+2)+(x-4)i为实数,
所以x=4,所以z=4-2i.
又因为(z+ai)2=(4-2i+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i在第一象限,
所以解得2<a<6,
所以实数a的取值范围是{a|2<a<6}.
19.(本小题满分12分)已知△ABC的三边长为a,b,c,且其中任意两边长均不相等.,,成等差数列.
(1)比较与的大小,并证明你的结论;
(2)求证:
B不可能是钝角.
(1)解:
大小关系为<,
证明如下:
要证<,只需证<,
由题意知a,b,c>0,只需证b2<ac,
因为,,成等差数列,
所以=+≥2,
所以b2<ac,
又a,b,c任意两边均不相等,
所以b2<ac成立.故所得大小关系正确.
(2)证明:
假设B是钝角,则cosB<0,
而cosB=>>>0.
这与cosB<0矛盾,故假设不成立.
所以B不可能是钝角.
20.(本小题满分12分)已知a≥5,求证:
-<-.
证明:
要证-<-,
只需证+<+,
只需证(+)2<(+)2,
只需证2a-5+2<2a-5+2,
只需证<,
只需证a2-5a<a2-5a+6,只需证0<6.
因为0<6恒成立,
所以-<-成立.
21.(本小题满分12分)已知f(x)=-x3+ax,其中a∈R,g(x)=-x,且f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立.求实数a的取值范围.
解:
设F(x)=f(x)-g(x)=-x3+ax+x,
因为f(x)<g(x)在(0,1]上恒成立,
所以F(x)<0在(0,1]上恒成立,
所以a<x2-x,这样,要求a的取值范围,使得上式在区间(0,1]上恒成立,只需求函数h(x)=x2-x在(0,1]上的最小值.
因为h′(x)=2x-=,
由h′(x)=0,得(2-1)(4x+2+1)=0.
因为4x+2+1>0,
所以2-1=0,得x=.
又因为x∈时,h′(x)<0,
x∈时,h′(x)>0,
所以x=时,h(x)有最小值h=-,
所以a<-.
22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x2(k≥0).
(1)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程;
(2)求f(x)的单调区间.
解:
(1)当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x2,
f′(x)=-1+2x.由于f
(1)=ln2,f′
(1)=,
所以曲线y=f(x)在点(1,f
(1))处的切线方程为y-ln2=(x-1),即3x-2y+2ln2-3=0.
(2)f′(x)=,x∈(-1,+∞).
当k=0时,f′(x)=-.
所以,在区间(-1,0)上,f′(x)>0;
在区间(0,+∞)上,f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(-1,0),
单调递减区间是(0,+∞).
当0<k<1时,由f′(x)==0,
得x1=0,x2=>0.
所以,在区间(-1,0)和上,f′(x)>0;
在区间上,f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是(-1,0)和,
单调递减区间是.
当k=1时,f′(x)=.
故f(x)的单调递增区间是(-1,+∞).
当k>1时,由f′(x)==0,
得x1=∈(-1,0),x2=0.
所以,在区间和(0,+∞)上,f′(x)>0;
在区间上,f′(x)<0.
故f(x)的单调递增区间是和(0,+∞),
单调递减区间是.
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