浙江省学业水平考试数学.docx
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浙江省学业水平考试数学
1、选择题
1.已知集合
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解答:
由集合
,集合
,得
.
2.函数
的定义域是()
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解答:
∵
,∴
,
,∴函数
的定义域是
.
3.设
,则
()
A.
B.
C.
D.
答案:
C
解答:
根据诱导公式可以得出
.
4.将一个球的半径扩大到原来的
倍,则它的体积扩大到原来的()
A.
倍
B.
倍
C.
倍
D.
倍
答案:
D
解答:
设球原来的半径为
,则扩大后的半径为
,球原来的体积为
,球后来的体积为
,球后来的体积与球原来的体积之比为
.
5.双曲线
的焦点坐标是()
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
答案:
A
解答:
因为
,
,所以
,所以焦点坐标为
,
.
6.已知向量
,
,若
,则实数
的值是()
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解答:
,
,利用
的坐标运算公式得到
,所以解得
.
7.设实数
,
满足
,则
的最大值为()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解答:
作出可行域,如图:
当
经过点
时,有
.
8.在
中,角
,
,
的对边分别为
,
,
,已知
,
,
,则
()
A.
B.
C.
D.
答案:
C
解答:
由正弦定理
可得
.
9.已知直线
,
和平面
,
,则“
”是“
”的()
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案:
B
解答:
因为“直线和平面垂直,垂直与平面上所有直线”,但是“直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。
10.要得到函数
的图象,只需将函数
的图象()
A.向右平移
个单位
B.向左平移
个单位
C.向右平移
个单位
D.向左平移
个单位
答案:
A
解答:
因为
,所以要得到
的图象只需将
的图象向右平移
个单位.
11.若关于
的不等式
的解集为
,则
的值()
A.与
有关,且与
有关
B.与
有关,但与
无关
C.与
无关,且与
无关
D.与
无关,但与
有关
答案:
D
解答:
∵
∴
,与
无关,但与
有关.
12.在如图所示的几何体中,正方形
与梯形
所在的平面互相垂直,
,
,
,
,则该几何体的正视图为()
A.
B.
C.
D.
答案:
C
解答:
画三视图要注意:
可见轮廓线要用实线,不可见轮廓线要用虚线,所以选C
13.在如图所示的几何体中,正方形
与梯形
所在的平面互相垂直,
,
,
,
,二面角
的正切值为()
A.
B.
C.
D.
答案:
D
解答:
过点
作
连接
因为平面
与平面
垂直且
,所以
所以
所以
,所以
即是两平面的二面角.过
作
,所以四边形
为平行四边形,所以
所以
14.如图,
,
分别为椭圆
的右顶点和上顶点,
为坐标原点,
为线段
的中点,
为
在
上的射影,若
平分
,则该椭圆的离心率为()
A.
B.
C.
D.
答案:
D
解答:
法一:
设
,
,则
,
,结合正切的二倍角公式知
,化简得
,故
.
法二:
,
,
,
,
.
由内角平分线定理,
,代入化简得
,故
.
15.三棱柱各面所在平面将空间分为()
A.
部分
B.
部分
C.
部分
D.
部分
答案:
C
解答:
想象一个没有上下底的三棱柱(上下两边无限延伸),将三棱柱的侧面延伸出来,俯视图如图所示,分成
个区域.拿两个水平的平面去截(其实就是三棱柱上下底面所在平面),分成上中下三个大块,每个大块
个区域,共
个区域.
16.函数
(其中
为自然对数的底数)的图象如图所示,则()
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
答案:
C
解答:
为偶函数,向右移
个单位为
,由图可知
,当
时,
,故
.
17.数列
是公差不为
的等差数列,
为其前
项和.若对任意的
,有
,则
的值不可能为()
A.
B.
C.
D.
答案:
A
解答:
由
可知公差
,
,
.
法一:
如图,在数轴上标出数列
,不妨设原点
到
的距离为
,公差
.
则
.
法二:
,由上图可知,
是
占
的比值,这个比值与
的大小有关,
越大,这个比值越小,所以
,
.
18.已知
,
是正实数,则下列式子中能使
恒成立的是()
A.
B.
C.
D.
答案:
B
解答:
对于A,取
,该不等式成立,但不满足
;
对于C,该不等式等价于
,取
,
,该不等式成立,但不满足
;
对于D,该不等式等价于
,取
,
,该不等式成立,但不满足
;
下面证明B
法一:
该不等式等价于
,而
.
函数
在
上单增,故
.
法二:
若
,则
,故
,矛盾.
2、填空题
19.圆
的圆心坐标是_______,半径长为_______.
答案:
;
.
解答:
因为圆
,所以圆心坐标为
,半径
.
20.如图,设边长为
的正方形为第
个正方形,将其各边相邻的中点相连,得到第
个正方形,再将第
个正方形各边相邻的中点相连,得到第
个正方形,依此类推,则第
个正方形的面积为______.
答案:
.
解答:
第1个正方形边长为4,面积
第二个正方形边长为
,面积
以此类推得到
,所以
21.已知
,则实数
的取值范围是_______.
答案:
.
解答:
易得
,故
.
由
得
,故
,所以
.
22.已知动点
在直线
上,过点
作互相垂直的直线
,
分别交
轴、
轴于
、
两点,
为线段
的中点,
为坐标原点,则
的最小值为_______.
答案:
.
解答:
设
,
,
,
,
,故
.
.
3、解答题
23.已知函数
,
.
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)求函数
的最大值,并求出取到最大值时
的集合.
答案:
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
,
.
解答:
(Ⅰ)
.
(Ⅱ)因为
,所以,函数
的最大值为
,当
,即
时,
取到最大值,所以,取到最大值时
的集合为
.
24.如图,直线
不与坐标轴垂直,且与抛物线
有且只有一个公共点
.
(Ⅰ)当点
的坐标为
时,求直线
的方程;
(Ⅱ)设直线
与
轴的交点为
,过点
且与直线
垂直的直线
交抛物线
于
,
两点.当
时,求点
的坐标.
答案:
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
.
解答:
(Ⅰ)设直线
的斜率为
,则
的方程为
,联立方程组
,消去
,得
,由已知可得
,解得
,故,所求直线
的方程为
.
(Ⅱ)设点
的坐标为
,直线
的斜率为
,则
的方程为
,联立方程组
,消去
,得
,由已知可得
,得
,所以,点
的纵坐标
,从而,点
的纵坐标为
,由
可知,直线
的斜率为
,所以,直线
的方程为
.设
,
,将直线
的方程代入
,得
,
所以
,
,又
,
,
,由
,得
,即
,解得
,所以,点
的坐标为
.
25.设函数
,其中
.
(Ⅰ)当
时,求函数
的值域;
(Ⅱ)若对任意
,恒有
,求实数
的取值范围.
答案:
(Ⅰ)
;
(Ⅱ)
.
解答:
(Ⅰ)当
时,
,
(ⅰ)当
时,
,此时
;
(ⅱ)当
时,
,此时
,
由(ⅰ)(ⅱ),得
的值域为
.
(Ⅱ)因为对任意
,恒有
,所以
,即
,解得
.
下面证明,当
,对任意
,恒有
,
(ⅰ)当
时,
,
,故
成立;
(ⅱ)当
时,
,
,
,故
成立.
由此,对任意
,恒有
.
所以,实数
的取值范围为
.
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