高考数学理科一轮复习幂函数学案含答案.docx
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高考数学理科一轮复习幂函数学案含答案
高考数学(理科)一轮复习幂函数学案含答案
本资料为woRD文档,请点击下载地址下载全文下载地址 学案9 幂函数
导学目标:
1.了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图象,了解它们的变化情况.
自主梳理
.幂函数的概念
形如______的函数叫做幂函数,其中____是自变量,____是常数.
2.幂函数的性质
五种常见幂函数的性质,列表如下:
定义域
值域
奇偶性
单调性
过定点
y=x
R
R
奇
↗
y=x2
R
[0,+∞)
偶
[0,+∞)↗
[0,+∞)
非奇
非偶
[0,+∞)↗
y=x-1
∪
∪
奇
↙
↙
所有幂函数在________上都有定义,并且图象都过点,且在第____象限无图象.
α>0时,幂函数的图象通过点________________,并且在区间上是________,α<0时,幂函数在上是减函数,图象________原点.
自我检测
.如图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象.已知n取±2,±12四个值,则相应于曲线c1,c2,c3,c4的n值依次为
A.-2,-12,12,2
B.2,12,-12,-2
c.-12,-2,2,12
D.2,12,-2,-12
2.已知函数:
①y=2x;②y=log2x;③y=x-1;④y=.则下列函数图象从左到右依次与函数序号的正确对应顺序是
A.②①③④
B.②③①④
c.④①③②
D.④③①②
3.设α∈{-1,1,12,3},则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为
A.1,3
B.-1,1
c.-1,3
D.-1,1,3
4.与函数y=xx+1的图象形状一样的是
A.y=2x
B.y=log2x
c.y=1x
D.y=x+1
5.已知点在幂函数f的图象上,则f的表达式是
A.f=x3
B.f=x-3
c.f=
D.f=
探究点一 幂函数的定义与图象
例1 已知幂函数f的图象过点,幂函数g的图象过点.
求f,g的解析式;
求当x为何值时:
①f>g;②f=g;③f<g.
变式迁移1 若点在幂函数f的图象上,点在幂函数g的图象上,定义h=f,f≤g,g,f>g,
试求函数h的最大值以及单调区间.
探究点二 幂函数的单调性
例2 比较下列各题中值的大小.
,;,;
,;,和.
变式迁移2 比较下列各组值的大小:
①________;
②0.20.5________0.40.3.
已知m<m,则m的取值范围是__________________________.
探究点三 幂函数的综合应用
例3 已知函数f=的图象关于y轴对称,且在上是减函数,求满足<的a的范围.
变式迁移3 已知幂函数f=
试确定该函数的定义域,并指明该函数在其定义域上的单调性;
若该函数还经过点,试确定m的值,并求满足条件f>f的实数a的取值范围.
.幂函数y=xα,其中α为常数,其本质特征是以幂的底x为自变量,指数α为常数,这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.
2.在上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴,在上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴.幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性;幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内;如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
一、选择题
.右图是函数y=
的图象,则
A.m,n是奇数,且mn<1
B.m是偶数,n是奇数,且mn>1
c.m是偶数,n是奇数,且mn<1
D.m是奇数,n是偶数,且mn>1
2.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f满足f=ff”的是
A.幂函数
B.对数函数
c.指数函数
D.余弦函数
3.下列函数图象中,正确的是
4.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是
A.a>c>b
B.a>b>c
c.c>a>b
D.b>c>a
5.下列命题中正确的是
①幂函数的图象都经过点和点;
②幂函数的图象不可能在第四象限;
③当n=0时,函数y=xn的图象是一条直线;
④幂函数y=xn当n>0时是增函数;
⑤幂函数y=xn当n<0时在第一象限内函数值随x值的增大而减小.
A.①和④
B.④和⑤
c.②和③
D.②和⑤
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6.若幂函数y=的图象不经过原点,则实数m的值为________.
7.已知a=xα,b=,c=,x∈,α∈,则a,b,c的大小顺序是________.
8.已知函数f=xα,对于下列命题:
①若x>1,则f>1;②若0<x<1,则0<f<1;③当x>0时,若f>f,则x1>x2;④若0<x1<x2,则fx1<fx2.
其中正确的命题序号是________.
三、解答题
9.设f是定义在R上以2为最小正周期的周期函数.当-1≤x<1时,y=f的表达式是幂函数,且经过点.求函数在[2k-1,2k+1)上的表达式.
0.已知f=的图象在[0,+∞)上单调递增,解不等式f>f.
1.已知函数f=满足f<f.
求k的值并求出相应的f的解析式;
对于中得到的函数f,试判断是否存在q>0,使函数g=1-qf+x在区间[-1,2]上的值域为[-4,178]?
若存在,求出q;若不存在,请说明理由.
答案
自主梳理
.y=xα x α 2. 四 , 增函数 不过
自我检测
.B [方法一 由幂函数的图象与性质,n<0时不过原点,故c3,c4对应的n值均为负,c1,c2对应的n值均为正;
由增快慢知n>n>n>n.
故c1,c2,c3,c4的n值依次为
2,12,-12,-2.
方法二 作直线x=2分别交c1,c2,c3,c4于点A1,A2,A3,A4,则其对应点的纵坐标显然为22,,,2-2,故n值分别为2,12,-12,-2.]
2.D [第一个图象过点,与④对应;第二个图象为反比例函数图象,表达式为y=kx,③y=x-1恰好符合,
∴第二个图象对应③;
第三个图象为指数函数图象,表达式为y=ax,且a>1,①y=2x恰好符合,∴第三个图象对应①;
第四个图象为对数函数图象,表达式为y=logax,且a>1,②y=log2x恰好符合,∴第四个图象对应②.
∴四个函数图象与函数序号的对应顺序为④③①②.]
3.A 4.c 5.B
课堂活动区
例1 解 设f=xα,
∵图象过点,故2=α,
解得α=2,∴f=x2.
设g=xβ,∵图象过点,
∴14=2β,解得β=-2.
∴g=x-2.
在同一坐标系下作出f=x2与g=x-2的图象,如图所示.
由图象可知,f,g的图象均过点和.
∴①当x>1,或x<-1时,f>g;
②当x=1,或x=-1时,f=g;
③当-1<x<1且x≠0时,f<g.
变式迁移1 解 求f,g解析式及作出f,g的图象同例1,
如例1图所示,
则有:
h=x-2,x<-1或x>1,x2,-1≤x≤1.
根据图象可知函数h的最大值为1,单调增区间为和;单调减区间为和.
例2 解题导引 比较两个幂的大小关键是搞清楚是底数相同,还是指数相同,若底数相同,利用指数函数的性质;若指数相同,利用幂函数的性质;若底数、指数皆不相同,考虑用中间值法,常用0和1“搭桥”进行分组.
解 函数y=3x是增函数,∴30.8>30.7.
函数y=x3是增函数,∴0.213<0.233.
∵,
∴.
=1;0<=1;
<0,∴.
变式迁移2 ①< ②<
m>0
解析 根据幂函数y=x1.3的图象,
当0<x<1时,0<y<1,∴0<0.71.3<1.
又根据幂函数y=x0.7的图象,
当x>1时,y>1,∴1.30.7>1.
于是有0.71.3<1.30.7.
对于幂函数y=xm,由m<m知,当x>0时,随着x的增大,函数值也增大,∴m>0.
例3 解 ∵函数f在上递减,
∴m2-2m-3<0,解得-1<m<3.
∵m∈N*,∴m=1,2.
又函数的图象关于y轴对称,
∴m2-2m-3是偶数,
而22-2×2-3=-3为奇数,
2-2×1-3=-4为偶数,
∴m=1.
而y=在,上均为减函数,
∴<等价于a+1>3-2a>0,
或0>a+1>3-2a,或a+1<0<3-2a,
解得a<-1或23<a<32.
故a的范围为{a|a<-1或23<a<32}.
变式迁移3 解 m2+m=m,m∈N*,
而m与m+1中必有一个为偶数,
∴m为偶数.
∴函数f=的定义域为[0,+∞),并且在定义域上为增函数.
∵函数f经过点,
∴2=,即.
∴m2+m=2.
解得m=1或m=-2.
又∵m∈N*,∴m=1.
由f>f得2-a≥0,a-1≥02-a>a-1.
解得1≤a<32.
∴a的取值范围为[1,32).
课后练习区
.c [由图象知,函数为偶函数,
∴m为偶数,n为奇数.
又函数图象在第一限内上凸,∴mn<1.]
2.c [∵α≠xα•yα,
∴幂函数f=xα不具有此性质.
∵loga≠logax•logay,
∴对数函数f=logax不具有此性质.
∵ax+y=ax•ay,∴指数函数f=ax具有此性质.
∵cos≠cosx•cosy,
∴余弦函数y=cosx不具有此性质.]
3.c [对A、B,由y=x+a知a>1,可知A、B图象不正确;
D中由y=x+a知0<a<1,∴y=logax应为减函数,D错.]
4.A [∵y=在x∈递增,
∴,即a>c,
∵y=x在x∈递减,
∴,即c>b,
∴a>c>b.]
5.D
6.1或2
解析 由m2-3m+3=1m2-m-2≤0解得m=1或2.
经检验m=1或2都适合.
7.c<a<b
解析 ∵α∈,∴1α>α>α2.
又∵x∈,∴<xα<,即c<a<b.
8.①②③
解析 作出y=xα在第一象限内的图象,如图所示,
可判定①②③正确,
又fxx表示图象上的点与原点连线的斜率,
当0<x1<x2时应有fx1x1>fx2x2,故④错.
9.解 设在[-1,1)中,f=xn,
由点在函数图象上,求得n=3.……………………………………………………
令x∈[2k-1,2k+1),则x-2k∈[-1,1),
∴f=3.……………………………………………………………………
又f周期为2,∴f=f=3.
即f=3.………………………………………………………………
0.解 由条件知1-n2+2n+3>0,
-n2+2n+3>0,解得-1<n<3.…………………………………………………………
又n=2k,k∈Z,∴n=0,2.
当n=0,2时,f=x13,
∴f在R上单调递增.…………………………………………………………………
∴f>f转化为x2-x>x+3.
解得x<-1或x>3.
∴原不等式的解集为∪.………………………………………
1.解 ∵f<f,
∴f在第一象限是增函数.
故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.
又∵k∈Z,∴k=0或k=1.
当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,
∴f=x2.…………………………………………………………………………………
假设存在q>0满足题设,由知
g=-qx2+x+1,x∈[-1,2].
∵g=-1,∴两个最值点只能在端点)和顶点处取得.
……………………………………………………………………………………………
而4q2+14q-g=4q2+14q-=4q-124q≥0,
∴gmax=4q2+14q=178,…………………………………………………………………
gmin=g=2-3q=-4.
解得q=2.∴存在q=2满足题意.……………………………………………………
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