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初等数论第四章同余式
第四章同余式
§1基本概念及一次同余式
同余式的解法
1、代入法(适用于模较小时)
2、公式法(适用于模较小时)
3、变换系数法
4、换模法
5、辗转相除法
§2孙子定理
本节讨论同余式组
的求解问题。
定理1之所以称为“孙子定理”,因为在我国古代的数学著作《孙子算经》(纪元前后)中已经提出了这种形式的问题,并且很好地解决了它。
孙子定理在国外文献和教科书中均称为“中国剩余定理”,并且在代数学中被推广成非常一般的形式。
《孙子算经》中所提出的问题之一如下:
今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何答曰:
二十三。
用现在的记号,上述问题相当于求解同余式组
。
《孙子算经》中所用的方法可以列表如下:
除数
余数
最小公倍数
衍数
乘率
各总
答数
最小答数
3
2
3×5
×7=105
5×7
2
35×2×2
140+63
+30=233
233-
105×2=23
5
3
7×3
1
21×1×3
7
2
3×5
1
15×1×2
程大位在《算法统宗》(1593)中将这一问题的算法总结成如下歌诀:
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,七子团圆半个月,除百零五便得知。
推广为一般的列表算法:
除数
余数
最小公倍数
衍数
乘率
各总
答数
m1
b1
m=m1m2…mk
M1
M1’
M1M1’b1
m2
b2
M2
M2’
M2M2’b2
…
…
…
…
…
mk
bk
Mk
Mk’
MkMk’bk
§3质数模的同余式
质数模同余式
的具体解法:
1、简化同余式,一般考虑以下简化方法:
(1)若f(x)的系数中有大于p的数,则可将其化到小于p;
(2)若
,则可用
去除f(x),则可得到一个次数较低的与原同余式等价的同余式;
(3)若f(x)关于模p有一个或几个因式,则也可将原同余式的次数降低;
(4)若f(x)已知有一解或几解,则可析出因式将次数降低。
2、将模的完全剩余系中的数逐一代入同余式,检验即可得解。
§4高次同余式的解法
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