长为a,b,c的三条线段可组成三角形;或若c是最长的线段,且 ,则以a、b、c为三边的长可构成一个三角形.
(3)已知三角形两边的长,可以确定第三边的取值范围:
设三角形的两边的长为a、b,则第三边的长c的取值范围是 .
(4)证明线段之间的不等关系.
知识点三:
三角形的高、中线、角平分线
(一)三角形的高
从三角形的一个顶点向它的 所在直线作垂线, 和 之间的线段叫做三角形的高线,简称三角形的高.
三角形的高的数学语言:
如图2,AD是△ABC的高,或AD是△ABC的BC边上的高,或AD⊥BC于D,或∠ADB=∠ADC=∠90°.
注意:
AD是△ABC的高
∠ADB=∠ADC= °(或AD⊥BC于D);
要点诠释:
(1)三角形的高是 ;
(2)三角形有三条高,且相交于一点,这一点叫做三角形的_______.
(3)三角形的三条高:
①锐角三角形的三条高在三角形 部,三条高的交点也在三角形 部;
②钝角三角形有两条高在三角形的 部,且三条高的交点在三角形的
部;
③直角三角形三条高的交点是直角三角形的 .
(二)三角形的中线
三角形的一个顶点与它的对边 的连线叫三角形的中线.
三角形的中线的数学语言:
如图3,AD是△ABC的中线或AD是△ABC的BC边上的中线或BD=CD=
BC.
即AD是△ABC的中线
BD=______=
______.
要点诠释:
(1)三角形的中线是 ;
(2)三角形三条中线全在三角形 部;
(3)三角形三条中线交于三角形 部一点,这一点叫三角形的 .
(4)中线把三角形分成面积 的两个三角形.
(三)三角形的角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交,这个角的 和
之间的线段叫做三角形的角平分线.
三角形的角平分线的数学语言:
如图4,AD是△ABC的角平分线,或∠BAD=∠CAD且点D在BC上.
即AD是△ABC的角平分线
∠BAD=∠DAC=
______(或∠BAC=2∠BAD=2∠DAC)
要点诠释:
(1)三角形的角平分线是 ;
(2)一个三角形有三条角平分线,并且都在三角形的 部;
(3)三角形三条角平分线交于三角形 部一点,这一点叫做三角形的 .
(4)可以用 或 画三角形的角平分线.
知识点四:
三角形的稳定性
如果三角形的三边固定,那么三角形的形状大小就完全固定了,这个性质叫做三角形的 .
要点诠释:
(1)三角形的形状固定是指三角形的三个 角不会改变,大小固定指三条
不改变.
(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用.例如,房屋的人字梁具有三角形的结构,它就坚固而稳定;在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板,构成一个三角形,就可以使栅栏门不变形.大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构,也是这个道理.
(3)四边形没有稳定性,也就是说,四边形的四条边长确定后,不能确定它的形状,它的各个角的大小可以改变.四边形的不稳定性也有广泛应用,如活动挂架,伸缩尺.有时我们又要克服四边形的不稳定性,如在窗框未安好之前,先在窗框上斜着钉一根木板,使它不变形.
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题,尝试总结提升各类型题目的规律和技巧,然后完成举一反三.若有其它补充可填在右栏空白处.
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类型一:
三角形的概念
例1.图5中以BC为边的三角形有几个?
用符号表示这些三角形.
思路点拨:
三角形有 个顶点,在给定一条边BC后,只须再找一个顶点就可以了.
总结升华:
举一反三:
【变式1】在图5中,以A为顶点的三角形有几个?
用符号表示这些三角形.
【变式2】在图5中,具有公共边AB的三角形有几个?
用符号表示这些三角形.
【变式3】(2010湖南娄底)在如图所示的图形中,三角形的个数共有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
类型二:
三角形三边关系
例2.下列长度的各组线段中,能组成三角形的是()
A.3cm,12cm,8cmB.6cm,8cm,15cm
C.2.5cm,3cm,5cmD.6.3cm,6.3cm,12.6cm
思路点拨:
本例可用三角形三边之间的关系判定三角形,结合排除法使问题得以解决.
总结升华:
举一反三:
【变式1】已知三条线段的比是:
①1:
3:
4;②1:
2:
3;③1:
4:
6;④3:
3:
6;⑤6:
6:
10;⑥3:
4:
5.其中可构成三角形的有()毛
A.1个B.2个C.3个D.4个
【变式2】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成 个三角形.
【变式3】已知三角形的两边长分别4cm和9cm,则下列长度的四条线段中能作为第三边的是()
A.13cm B.6cm C.5cm D.4cm
思路点拨:
选取的第三边一定小于 而大于 的绝对值.
【变式4】已知a、b、c是△ABC的三边,化简|a+b-c|+|b-a-c|-|c+b-a|.
思路点拨:
运用三角形三边的关系确定绝对值内式子的符号,然后根据绝对值的法则去绝对值.
☆【变式5】用7根火柴棒首尾顺次连结摆成一个三角形,能摆成不同的三角形的个数 .
思路点拨:
解题的关键是确定出最大边的范围.
例3.若三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是 .
思路点拨:
三角形的两边a、b,那么第三边c的取值范围是 .
三角形的两边长分别是2和7,则第三边长c的取值范围是
,即 .
总结升华:
举一反三:
【变式1】如果三角形的两边长分别为2和6,则周长L的取值范围是()
A.6【变式2】已知等腰三角形的两边长分别为4cm和7cm,且它的周长大于16cm,则第三边长为 .
☆例4.已知等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分为9cm和15cm两部分,求这个三角形的腰长和底边的长.
思路点拨:
本题分 种情况讨论,但讨论的结果不一定有两个正确答案,要加以合理取舍.
总结升华:
举一反三:
【变式】小芳要画一个有两边长分别为5cm和6cm的等腰三角形,则这个等腰三角形的周长是()
A.16cm B.17cm C.16cm或17cm D.11cm
类型三:
三角形的高、中线、角平分线
例5.如图6,在锐角△ABC中,CD、BE分别是AB、AC上的高,且CD、BE交于一点P,若∠A=50°,则∠BPC的度数是()
A.150°B.130°C.120°D.100°
思路点拨:
本题主要考查对三角形的高的性质、互余和互补角的性质以及小学学过的常
识性的问题------三角形的内角和是 .
总结升华:
举一反三:
【变式1】如图7所示,在△ABC中,∠C-∠B=90°,AE是∠BAC的平分线,求∠AEC的度数.
【变式2】在△ABC中,∠B=60°,∠C=40°,AD、AE分别是△ABC的高线和角平分线,则∠DAE的度数为 .
【变式3】如图8所示,已知AD,AE分别是△ABC的中线、高,且AB=5cm,AC=3cm,则△ABD与△ACD的周长之差为 ,△ABD与△ACD的面积关系为 .
三、总结与测评
要想学习成绩好,总结测评少不了!
课后复习是学习不可或缺的环节,它可以帮助我们巩固学习效果,弥补知识缺漏,提高学习能力.
总结规律和方法---强化所学
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(一)把所学的三角形有关的线段知识与前面已学过的相关知识相结合,形成系统的知识网络.
(二)应用三边关系判断三条线段是否构成三角形,只要两条 的线段长度之和大于第三条线段的长度,即可判定这三
条线段能构成一个三角形.
(三)已知三角形的两边a、b,那么第三边c的取值范围是 .
(四)数形结合是学习数学有效的方法之一,在学习这部分知识的过程中,需要多画图,在图形中理解知识的含义,弄清各部分之间的关系.
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知识点:
与三角形有关的边
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□中(使用本学案导学提供的资源、例题和笔记,使用率在50%-80%左右)
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