完整版导数与恒成立能成立问题及课后练习含答案推荐文档.docx
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导数与恒成立、能成立问题专题一、基础理论回顾
1、恒成立问题的转化:
a>f(x)恒成立⇒a>f(x)
2、能成立问题的转化:
a>f(x)能成立⇒a>f(x)
;a≤f(x)恒成立⇒a≤f(x)
min
;a≤f(x)能成立⇒a≤f(x)
min
max
3、恰成立问题的转化:
a>f(x)在M上恰成立⇔a>f(x)的解集为M⇔⎨
⎪a>f(x)在上M恒成立
⎩a≤f(x)在上CR恒M成立
另一转化方法:
若x∈D,f(x)≥A在D上恰成立,等价于f(x)在D上的最小值fmin(x)=A,若
x∈D,f(x)≤B在D上恰成立,则等价于f(x)在D上的最大值fmax(x)=B.
4、设函数f(x)、g(x),对任意的x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2),则
fmin(x)≥gmin(x)
5、设函数f(x)、g(x),对任意的x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≤g(x2),则fmax
(x)≤gmax(x)
6、设函数f(x)、g(x),存在x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≥g(x2),则fmax(x)≥gmin(x)
7、设函数f(x)、g(x),存在x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)≤g(x2),则fmin(x)≤gmax(x)
8、若不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立,等价于在区间D上函数y=
象上方;
9、若不等式f(x) 象下方; f(x)和图象在函数y=g(x)图f (x)和图象在函数y=g(x)图 题型一、简单型 二、经典题型解析 例1、已知函数f(x)=x2-2ax+1,g(x)=a,其中a>0,x≠0. x 1)对任意x∈[1,2],都有f(x)>g(x)恒成立,求实数a的取值范围;(构造新函数) 2)对任意x1∈[1,2],x2∈[2,4],都有f(x1)>g(x2)恒成立,求实数a的取值范围;(转化) x2-2ax+1-a>0⇒a 简解: (1)由 x3+x x2x2+1成立,只需满足 >0 '2x4+x2+1 2x2+1的最小值大于a即 可.对 (x)= 2x2+1 求导, (x)=(2x2+1)2 ,故(x) 在x∈[1,2] 是增函数, min (x)= (1)=2 3,所以a 的取值范围是 0 3. a 例2、设函数h(x)xxb,对任意 a∈[1,2] 2 ,都有h(x)≤10在 x∈[1,1] 4 恒成立,求实数b 的范围. 分析: 思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数,再处理另一个参数.以本题为例,实质还是通过函数求最 值解决. 方法1: 化归最值,h(x)≤10⇔hmax(x)≤10; b≤10-(a+x) 方法2: 变量分离,x或a≤-x2+(10-b)x; (a)=1⋅a+x+b-10≤0a∈[1,2] 方法3: 变更主元(新函数,x,2 h'(x)=1-a= 简解: 方法1: 对h(x)=a+x+b求导,x2 x 11 x2,(单调函数) 由此可知, h(x) [,1] 在4 h( 上的最大值为 )h (1) 中的较大者. ⎧1⎧1⎧39 ∴⎪h(4)≤10⇒⎪4a+4+b≤10⇒⎪b≤4-4a17 ⎨ ⎩h (1)≤10 ⎨ ⎩1+a+b≤10 f(x)=x2 ⎨ ⎩b≤9-a,对于任意 g(x)=⎛1⎫x a∈[ 2 2]b≤ ,得b的取值范围是4. ç2⎪-mx∈[0,2]x∈[1,2]f(x)≥g(x) 例3、已知两函数,⎝⎭,对任意1,存在2,使得12, m≥1 则实数m的取值范围为答案: 4 题型二、更换主元和换元法 例1、已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=f(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数,(Ⅰ) ag(x)≤t2+t+1在x∈[-1,1]t 求的值;(Ⅱ)若上恒成立,求的取值范围; (Ⅱ)分析: 在不等式中出现了两个字母: 及t,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数。 显 然可将视作自变量,则上述问题即可转化为在(-∞,-1]内关于的一次函数大于等于0恒成立的问题。 (Ⅱ)略解: 由(Ⅰ)知: f(x)=x,∴g(x)=x+sinx,g(x)在[-1,1]上单调递减,∴g'(x)=+cosx≤0∴≤-cosx在 [-1,1]上恒成立,∴≤-1,[g(x)]max=g(-1)=--sin1,∴只需--sin1≤t2+t+1,∴(t+1)+t2+sin1+1≥0(其中 ⎨⎧t+1≤0 ≤-1f()=(t+1)+t2+sin1+1≥0(≤-1)-t-1+t2+sin1+1≥0 )恒成立,由上述②结论: 可令,则⎩, ∴ ⎧t≤-1 ⎨2 ⎩t-t+sin1≥0,而t2-t+sin1≥0恒成立,∴t≤-1。 例2、已知二次函数f(x)=ax2+x+1对x∈[0,2]恒有f(x)>0,求a的取值范围。 解: 对x∈[0,2]恒有f(x)>0即ax2+x+1>0变形为ax2>-(x+1) 当x=0时对任意的a都满足f(x)>0只须考虑x≠0的情况 a>-(x+1)即a>-1-1要满足题意只要保证a比右边的最大值大就行。 x2xx2 现求-1-1在x∈(0,2]上的最大值。 令t=1∴t≥1g(t)=-t2-t=-(t+1)2+1(t≥1) xx2 g(t) =g (1)=-3 x2 3 所以a>- 242 max244 又f(x)=ax2+x+1是二次函数∴a≠0所以a>-3且a≠0 4 例3、对于满足0≤a≤4的所有实数a求使不等式x2+ax>4x+a-3都成立的x的取值范围 答案: x<-1或x>3 题型三、分离参数法(欲求某个参数的范围,就把这个参数分离出来) 此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题: 若对于x取值范围内的任一个数都有f(x)≥g(a)恒成立,则g(a)≤f(x)min;若对于 x取值范围内的任一个数都有f(x)≤g(a)恒成立,则g(a)≥f(x)max. 例1、当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是. x2+4 解析: 当 x∈(1,2) 时,由 x2+mx+4<0 m<- 得x .∴m≤-5. 例2、已知函数f(x)=ln(ex+a)(a为常数)是实数集R上的奇函数,函数g(x)=x-cosx在区间 ⎡2⎤ ⎢,⎥上是减函数. ⎣33⎦ (Ⅰ)求a的值与的范围; (Ⅱ)若对(Ⅰ)中的任意实数都有g(x)≤t-1在 ⎡2⎤ ⎢,上恒⎥成立,求实数t的取值范围. ⎣33⎦ lnx (Ⅲ)若m0,试讨论关于x的方程 f(x) =x2-2ex+m的根的个数. 解: (Ⅰ、(Ⅲ)略 (Ⅱ)由题意知,函数g(x)=x-cosx在区间 ⎡2⎤ ⎢,⎥上是减函数. ⎣33⎦ 上恒成立 =1,g(x)≤t-1在⎡2⎤ ⇔t-11, ∴g(x)maxg(3)=3-2⎢⎣3, 3⎥⎦ ≥- 32 ≤- ∴t≤+1(≤-1),∴t1.3232 题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) 例1、若对任意x∈R,不等式|x|≥ax恒成立,则实数a的取值范围是 解析: y=|x| y=ax y y=|x| y=ax x O 对∀x∈R,不等式|x|≥ax恒成立、则由一次函数性质及图像知-1≤a≤1,即-1≤a≤1。 例2、不等式ax≤在x∈[0,3]内恒成立,求实数a的取值范围。 解: 画出两个凼数y=ax和y= 如图 在x∈[0,3]上的图象 a=知当x=3时3 y=, 当a≤ x∈[0,3]时总有ax≤ 3 y 所以a≤3 y=|x| y=ax O y=|x| y=ax x 例4、已知函数y= f(x)=⎧3x+6,x≥-2,若不等式f(x)≥2x-m恒成立,则实数m的取值范围是. ⎩ ⎨-6-3x,x<-2 解: 在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y=2x-m及y=ff(x)的图象,由于不等式 (x)≥2x-m恒成立,所以函数y=2x-m的图象应总在函数y=y =-4-m≤0,所以m≥-4,故m的取值范围是[-4,+∞). f(x)的图象下方,因此,当x=-2时, 题型五、其它(最值)处理方法 若在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,则等价于在区间D上f(x)max>A;若在区间D上存在实数x使不等式f(x) 利用不等式性质 x+3+x-1≤a2-3a 存在实数,使得不等式有解,则实数的取值范围为。 解: 设f(x)=x+3+x-1,由f(x)≤a2-3a有解,⇒a2-3a≥f(x), min 又x+3+x-1≥(x+3)-(x-1)=4,∴a2-3a≥4,解得a≥4或a≤-1。 2、若关于x的不等式x-2+x+3≥a恒成立,试求a的范围 解: 由题意知只须a比x-2+x+3的最小值相同或比其最小值小即可,得a≤(x-2+x+3)min 由x-2+x+3≥x-2-(x+3)=5所以a≤5 利用分类讨论 1、已知函数f(x)=x2-2ax+4在区间[-1,2]上都不小于2,求a的值。 解: 由函数f(x)=x2-2ax+4的对称轴为x=a 所以必须考察a与-1,2的大小,显然要进行三种分类讨论 1.当a≥2时f(x)在[-1,2]上是减函数此时f(x)min=f (2)=4-4a+4≤2 3 即a≥ 2 结合a≥2,所以a≥2 2.当a≤-1时f(x)在[-1,2]上是增函数,此时f(-1)=1+2a+4≤2 f(x)min=f(-1)=1+2a+4≤2结合a≤-1即a≤-3 2 3.当-1 即a≥或a≤-所以≤a<23 综上1,2,3满足条件的a的范围为: a≤-或a≥ 2 利用导数迂回处理 1、已知f(x)=1lg(x+1) 2 g(x)=lg(2x+t)若当x∈[0,1]时f(x)≤g(x)在[0,1]恒成立,求实数t的取 值范围 解: f(x)≤g(x)在[0,1]上恒成立,即-2x-t≤0在[0,1]上恒成立即-2x-t≤0在[0,1]上的最大值小于或等于0 令F(x)=-2x-t所以 F'(x)=1-2=1-4,又x∈[0,1]所以F'(x)<0即F(x)在[0,1]上单调递减 22 所以F(x)max=F(0),即F(x)≤F(0)=1-t≤0得t≥1 f(x)=lnx-1ax2-2x(a≠0) 2、已知函数2存在单调递减区间,求a的取值范围 '(x)=1-ax-2=-ax2+2x-1 解: 因为函数 f(x) f<0 存在单调递减区间,所以xx (0,+∞)有解.即 a>1-2(x∈(0,+∞)) x2x能成立,设 u(x)=1-2 x2x. 12⎛1⎫2 u(x)=-=ç-1⎪-1 2xxu (x)=-1 由x⎝⎭ 得,min .于是,a>-1, 由题设a≠0,所以a的取值范围是(-1,0)(0,+∞) 3、已知函数f(x)=x(lnx+m),g(x)=ax3+x. 3 (Ⅰ)当m=-2时,求f(x)的单调区间; 3 (Ⅱ)若m= 解: (Ⅰ)略 时,不等式g(x)≥ 2 f(x)恒成立,求实数a的取值范围. 3 (Ⅱ)当m=时,不等式g(x)≥ 2 f(x)即ax3+x≥x(lnx+3)恒成立.由于x>0,∴ 32 a3a1 3(lnx+1) 3(lnx+1) -6lnx x2+1≥lnx+ ,亦即 x2≥lnx+ ,所以a≥ 2.令h(x)= 2,则h'(x)=, 3232x2x2x3 由h'(x)=0得x=1.且当0 (1,+∞)上单调递减,所以h(x)在x=1处取得极大值h (1)=3,也就是函数h(x)在定义域上的最大值.因此要 2 3(lnx+1) 使a≥恒成立,需要a≥ 3,所以a的取值范围为⎡3 +∞⎫. x22⎢⎣2⎪⎭ 注: 恒成立问题多与参数的取值范围问题联系在一起,是近几年高考的一个热门题型,往往与函数的单调性、极值、最值等有关。 小结: 恒成立与有解的区别: ①不等式f(x) 即f(x)的上界小于或等于M; ②不等式f(x) 或f(x)的下界小于或等于M; ③不等式f(x)>M对x∈I时恒成立⇔fmin(x)>M,x∈I。 即f(x)的下界大于或等于M; ④不等式f(x)>M对x∈I时有解⇔fmax(x)>M,x∈I.。 或f(x)的上界大于或等于M; 三、恒成立、能成立问题专题练习 1、已知两函数f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x。 (1(对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x))成立,求实数c的取值范围; (2(存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求实数c的取值范围; (3(对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数c的取值范围; (4)存在x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数c的取值范围; a>x∈[a,2a]y∈[a,a]+=1aaa 2logxlogy3 2、设,若对于任意的,都有满足方程,这时的取值集合为 ()
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