弧长公式扇形面积公式及其应用含经典习题.docx

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弧长公式扇形面积公式及其应用含经典习题

弧长公式、扇形面积公式及其应用（含经典习题）

【本讲教育信息】

.教学内容：

弧长及扇形的面积圆锥的侧面积

二.教学要求

1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。

2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。

.重点及难点重点：

1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。

2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面

积的计算。

难点：

1、弧长公式、扇形面积公式的推导。

2、圆锥的侧面积、全面积的计算。

［知识要点］

知识点1、弧长公式

因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C

＝2R，所以1°的圆心角所对的弧长是

于是可得半径为R的圆中，n°的圆心角所对的

，

弧长

l的计算公式：

，

说明：

〔1〕在弧长公式中，n表示1°的圆心

角的倍数，n和180都不带单位“度〞，例如，

圆的半径R＝10，计算20°的圆心角所对的弧

长l时，不要错写成。

2〕在弧长公式中，l，n，R中的任意两个量，都可以求出第三个量。

知识点2、扇形的面积

如下图，阴影局部的面积就是半径为R，圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积是它所在圆的面积的一局部，因为圆心角是360°的扇形面积等于圆面积，所以圆心角为1°的扇形

面积是，由此得圆心角为n°的扇形面积的计

算公式是。

又因为扇形的弧长，扇形面积

（，所以又得到扇形面积的另一个计

（算公式：

。

（

（

（

（

（

（

（

（知识点3、弓形的面积

（1〕弓形的定义：

由弦及其所对的弧〔包括劣弧、优弧、半圆〕组成的图形叫做弓形。

（2〕弓形的周长＝弦长＋弧长

（3〕弓形的面积

图

示

面

积

知识点4、圆锥的侧面积

圆锥的侧面展开图是一个扇形，如下图，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2，圆锥的侧

面积，圆锥的全面积

说明：

〔1〕圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。

2〕研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。

知识点5、圆柱的侧面积

圆柱的侧面积展开图是矩形，如下图，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长，假设圆柱的底面半径为r，高为h，那么圆柱的侧面积

，圆柱的全面积

知识小结：

圆锥与圆柱的比拟

名称圆锥圆柱

图形

由一个直角三由一个矩形旋转得图形的形角形旋转得到到的，如矩形

成过程

的，如Rt△ABCD绕直线AB

SOA

绕直线旋转一周。

SO旋转一周。

图形的组

一个底面和一两个底面和一个侧

成

个侧面

面

侧面展开扇形

矩形

图的特征

面积计算

方法

【典型例题】

例1.〔2003.辽宁〕如下图，在同心圆中，两圆的半径分别为2，1，∠AOB＝120°，那么阴

影局部的面积是〔〕

A.B.C.D.

例2.〔2003.福州〕如下图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形

AOB，点C，E，D分别在OA，OB及AB弧上，

过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F，如果正方形的边长为1，那么阴影局部的面积为〔〕

例3.如下图，直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，AB＝2，BC＝7，AD＝3，以BC为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的外表积。

例4.〔2003.宁波〕扇形的圆心角为120°，面积为300平方厘米

〔1〕求扇形的弧长。

2〕假设把此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆锥的轴截面面积是多少？

。

模拟练习题

一、选择题

假设一个扇形的圆心角是45°，面积为2л，

那么这个扇形的半径是〔〕

A.4B.2C.47лD.2л

扇形的圆心角是60°，那么扇形的面积是所在

图面积的〔〕

A.B.C.D.

扇形的面积等于其半径的平方，那么扇形的圆心角是〔〕

A.90°B.C.

°

两同心圆的圆心是O，大圆的半径是以OA，OB分别交小圆于点M，N．大圆半径是小圆半径的3倍，那么扇形OAB的面积是扇形OMN的面积的〔〕

倍倍倍倍

半圆O的直径为6cm，∠BAC＝30°，那么阴影局部的面积是〔〕

A.B.

C.D.

6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥

的侧面，那么此圆锥的底面半径为〔〕

A.2cmB.3cmC.4cmD.

6cm

圆锥的全面积和侧面积之比是3：

2，这个圆锥的轴截面的顶角是〔〕

A.

30°

B.60°

C.

90°

D.120°

两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰

好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1∶2，

那么它们的高之比为〔〕

A.2：

1B.3：

2C.2：

D.5：

9.如图，在△ABC中，∠C＝Rt∠，AC>BC，假设以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的侧面积为S1，以BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为S2，那么〔〕

1＝S2

12

1

2

D.S

1、S2

A.S

>S

的大小关系不确定

二、填空题

4扇形的弧长是12лcm，其圆心角是90°，

5那么扇形的半径是cm，扇形的面积

6是cm2.

7扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形

8面积等于圆面积，那么扇形的圆心角是.

9扇形面积是12cm2，半径为8cm，那么扇

10形周长为.

11在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为S1；把Rt△ABC绕AB旋转一周得

到另一个圆锥，其全面积为S2，那么S1：

S2＝。

一个圆柱形容器的底面直径为2cm，要用一块圆心角为240°的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形

的半径至少要有cm。

如图，扇形AOB的圆心角为60°，半径为

6cm，C，D分别是的三等分点，那么阴影局部

的面积是。

如图正方形的边长为2，分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，那么阴影部

分面积为。

三、计算题

如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，以A为

圆心画弧，交AB于点D，交AC延长线于点F，交BC于点E，假设图中两个阴影局部的面积相等，求AC与AF的长度之比〔л取3〕。

一个等边圆柱〔轴截面是正方形的圆柱〕的侧面积是S1，另一个圆锥的侧面积是S2，如果

圆锥和圆柱等底等高，求．