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数学建模优秀论文A题
储油罐的变位识别与罐容表标定
摘要
本文对储油罐的变位识别和罐容表的标定问题进行了深入探讨,建立了储油量和油
位高度以及变位参数之间关系的数学模型,主要应用了mtalab进行求解。
针对问题一,我们利用积分的方法推导出小椭圆储油罐在无变位和发生纵向倾斜变
位时的一般公式。
讨论了在储油罐发生纵向倾斜变位后对罐容表的影响,定义了平均影
响率(变位前后储油量之差绝对值的平均值占总罐体容积的比例)作为评价罐体变位
对罐容表的影响程度的大小的指标,求出4.87%。
并分别给出了小椭圆储油罐在无
变位和在纵向倾斜变位角取4.1的罐容表。
表1小椭圆储油罐罐容表(纵向变位4.1)
油位高度/hm0.000.010.020.030.040.05…
储油体积
3
/Vm00.0017
~
0.00350.00630.01000.01480.0207…
…1.151.161.171.17131.181.191.20
…3.91033.93383.95603.95883.97663.99554.10174.1101
~
针对问题二,将储油罐分为5个区域分别进行讨论,考虑到在球冠处的体积表达式
过于复杂,我们省略了球冠处的一小部分体积,进行了近似求解,得出了罐内储油量与
油位高度以及变位参数之间的一般关系的数学模型。
在利用储油罐的实际测量值估计变位参数时,我们建立了最小二乘拟合模型,得到
了最佳的变位参数为:
纵向倾斜变位2.16,横向偏转变位4.50。
并据此对储
油罐的罐容表进行了标定(见表3)。
在模型验证中,我们又采用蒙特卡洛模拟的方法对在问题二的模型中忽略的部分球
冠体积进行了模拟计算。
得到用问题二模型中求出的总储油量与模拟得出的总储油量一
致度达到了99%,误差非常小,验证了我们所建立的模型的合理性和准确性。
关键词平均影响率最小二乘参数估计法蒙特卡洛模拟
1
一问题重述
通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐,并且一般都有与之配套的“油位计
量管理系统”,采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据,通过预先
标定的罐容表(即罐内油位高度与储油量的对应关系)进行实时计算,以得到罐内油位
高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后,由于地基变形等原因,使罐体的位置会发生纵向倾
斜和横向偏转等变化(以下称为变位),从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定,需
要定期对罐容表进行重新标定。
问题一
为了掌握罐体变位后对罐容表的影响,利用小椭圆型储油罐(两端平头的椭圆柱
体),分别对罐体无变位和倾斜角为=4.1的纵向变位两种情况做了实验。
请建立数学
模型研究罐体变位后对罐容表的影响,并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表
标定值。
问题二
对于实际的储油罐,试建立罐体变位后罐内储油量与油位高度及变位参数(纵向倾
斜角度和横向偏转角度)之间的一般关系。
利用罐体变位后在进/出油过程中的实
际检测数据,根据你们所建立的数学模型确定变位参数,并给出罐体变位后油位高度间
隔为10cm的罐容表标定值。
然后进一步用实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法
的可靠性。
二模型假设
1、假设题中所给数据均为储油罐内壁测量值;
2、不考虑由于温度、压强变化等原因而引起储油罐的体积变化;
3、油位探针被固定在储油罐上,其上油浮子能够准确测量油位高度;
三符号说明
a
椭圆的半长轴长
b椭圆的半短轴长
L储油罐的总长
l油位探针到油罐底部左侧的距离
TV储油罐的总体积
储油罐的纵向倾斜角度
储油罐的横向偏转角度
h油位高度
R球冠体的半径
0R圆柱体的底面半径
注:
未说明符号在文中用到时注明
四问题一的解答
小椭圆储油罐罐体变位前后都可以应用积分的方法求出罐体的储油量和油位高度
之间的关系。
对于纵向倾斜的小椭圆储油罐,考虑分段求出其储油量和油位高度之间的
关系,从而得到重新标定后的罐容表。
2
4.1小椭圆储油罐无变位时的模型
由于此时的椭圆无变位,考虑先对二维椭圆进行积分。
为方便表示油位高度,建立
如图所示的坐标系,椭圆的半长轴长为a,半短轴长为,则椭圆方程为b
22
22
()
10
xybab
ab
图1对椭圆的积分示意图
在方向上取椭圆面中的一微元dy积分得到油的侧面积y
2
2
()2
1
2
000
()
221yb
hah
b
D
yb
sdxdydydxady
b
储油罐内油的体积为
2
2
0
()
21h
yb
VsLLady
b
查积分表得到
2
(2)arcsin()
2
hbhb
VabLhbh
bb
(1)
利用matlab计算得到
152
223
2
()22arcsin
2
aLh
Vhhbbhbbb
b
经验证两种方法得到的体积公式完全等价,
(1)式即为小椭圆储油罐无变位时的储油量
和油位高度关系的模型。
根据此模型,我们可以求出小椭圆储油罐无变位时罐容表标定值(油位高度间隔取
,结果见附录一)。
1cm
4.2小椭圆储油罐纵向倾斜变位时的模型
3
储油罐纵向倾斜之后,油位计在油位过高或者过低时将不起作用(如图2所示的和
区域),考虑到倾斜角
1v
5v变化一般不会很大,所以我们可以将储油罐按液面高低分成
五个部分,来求其储油量和油位高度之间的关系。
我们讨论的是小椭圆储油罐纵
向倾斜变位为逆时针旋转,如图2。
对于储油罐顺时针旋转变位(即
1~vv5
为负值)时的情况
与此非常类似,在此不再详细讨论。
图2储油罐分区示意图
4.2.1对区域的讨论1v
在区域,其油位低于油位探针的油浮子,所以油位计量系统中显示油位高度为零。
1v
当油位计刚开始有示数时,计算其储油体积。
将区域放大得到图31v
图3区域的放大图1v
图中,从原点纸面向里为x轴,利用三重积分可以得到
2
2
tan
1
tan
1
tan00
2
yyblbab
bl
D
Vdxdydzdydxdz
4
其中l为油位探针到储油罐左侧的距离
积分得到
2
1
2
tan
tan
2
tan
b
bl
ybly
Vad
b
1y
(2)
4.2.2对区域的讨论
2
v
由区域很容易得到区域的储油量和油位高度的变化关系,直接给出结论:
1
v
2
v
2
2
tan
1
tan
2
(tan)00
2
yyhlbbab
bhl
D
Vdxdydzdydxdz
所以
2
2
2
(tan)
tan
2
tan
b
bhl
yhlby
Vad
b
1y(3)
4.2.3对区域的讨论
3
v
图4区域示意图3v
在小椭圆储油罐无变位模型中我们已经求出了v的计算公式,同区域中的积分原
理可以计算出,我们就可以得到此时的油量体积为
1v
avv和b
b3avvvv(4)
其中
2
2
()tan
tan1
tan
002
ybhyl
hla
b
a
h
vdydx
dz
5
2
(2)arcsin()
2
hbhb
vabLhbh
bb
2
2
()
1
tan
()tan0
tan
2
yb
haLb
b
hyl
hLl
vdydx
dz
4.2.4对区域的讨论
4
v
由区域4和区域2的相似性,将(3)式中的h换为)(2bh,将l换为)l,并用总
体积减去2V即为区域4的储油体积和油位高度的变化关系。
(L
2
2
1.2()tan
1
tan
4
1.2()tan00
2
yyhLlbbab
TTbhLlD
VVdxdydzVdydxdz
其中为小椭圆储油罐的总体积TV
化简并积分可得
2
4
2
()tan
()tan
21tan
b
T
hbLl
ybhLly
VVad
b
y(5)
4.2.5对区域的讨论5v
在此区域中油浮子到达油位探针顶点,无法进一步测量油位高度。
无法测量的总体
积为:
5
2
2
()tan
()tan
21tan
b
bLl
V
ybLly
adb
y(6)
4.2.6综合各区域的罐容表标定的数学模型
综上所述,我们得到了储油量V和油位高度、纵向倾斜角h之间的分段函数关系
式:
表2(,)Vh分段函数关系
区
域
油位高度/hm储油量
3
/Vm
10h
2
1
2
tan
]
tan
[0,21
tan
b
bl
ybly
Vab
dy
2(0,(-)tan]hLl
2
2
2
(tan)
tan
21tan
b
bhl
yhlby
Vad
b
y
6
3
((-)tan,
2-tan]
hLl
bl
2
2
2
2
()tantan1
tan
3
00
2
()1
tan
()tan0
tan
2
2
(2)arcsin()
2
ybhyl
hla
b
h
yb
haLb
hyl
hLl
Vdydxdz
hbhb
abLhbh
bb
dydxdz
4
(2-tan,2]hblb
2
4
2
()tan
()tan
21tan
b
T
hbLl
ybhLly
VVady
b
52hb5
2
2
()tan
(,()tan
21tan
TT
b
bLl
VVV
ybLly
adb
]y
根据储油量和油位高度的分段函数关系我们可以得到罐体纵向倾斜变位(4.1)
后油位高度间隔为1的罐容表标定值(见附录一)。
cm
当4.1时,各区域油位高度及体积变化范围为:
表3各区域油位高度和储油量变化范围
区域油位高度/hm储油量
3
/Vm
10h
1[0,0.0017]V
2(0,0.1470]h2(0.0017,0.1513]V
3(0.1470,1.1713]h3(0.1513,3.9588]V
4(1.1713,1.2]h4(3.9588,4.0127]V
51.2h
5(4.0127,4.1101]V
4.3罐体变位后对罐容表的影响
为了能更加准确地刻画罐体的纵向倾斜变位对罐容表的影响,我们分别对罐体变位
前后的理论值和测量值进行多方面的比较。
4.3.1罐体变位前理论值与测量值比较
根据附件一中所给数据,我们计算出在附件中所给的油位高度下理论值和测量值,
并画出其曲线。
7
00.20.40.60.811.21.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
油位高度h/m
储油量V/m3
测量值
理论值
图5罐体变位前的Vh曲线对比
通过对比我们发现,对于任意,储油量的理论值和实际值始终成如(7)式的比例
关系。
h
0.9663
V
V
测量
理论
(7)
4.3.2罐体变位后理论值与测量值比较
同样根据附件一中所给数据,我们计算出在附件中所给的油位高度下理论值和测量
值,并画出其曲线,如图6。
8
0.40.50.60.70.80.911.1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
油位高度h/m
储油量/m3
理论值
测量值
图6罐体变位后的Vh曲线对比
从图6中可以看出测量值仍然始终小于理论值,进一步求得理论值与测量值之差的
变化范围为[0.0454,0.0910],测量值的相对误差范围为[1.56%,5.18%]。
4.3.3罐体纵向倾斜变位4.1前后理论值比较
00.20.40.60.811.21.4
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
油位高度h/m
变位前后储油量V/m3
变位前变位后
图7罐体变位前后的Vh曲线对比
9
图8同一高度下储油量的理论值与测量值之差变化关系
图9储油量的测量值的相对误差随油位高度的变化关系
由以上各图可以清晰地看出纵向倾斜变位后,使得在同一个油位高度下,变位后比
变位前的储油量减小。
但是这样仍不够直观,我们需要找到一个指标来定量刻画罐体变
位后对罐容表的影响。
从图9中可以看出,当油位高度h较小时(0.1附近),变位后相m
10
对于变位前的相对误差几乎达到了60%以上,但是此时的储油量的差别并不大,鉴于此,
我们定义平均影响率:
0
n
i
VV
nV
(变位前)(变位后)
(总)
来刻画罐体变位后对罐容表的影响。
可以求出在纵向倾斜变位4.1时,4.87%。
五问题二的解答
如图8实际的储油罐示意图,其主体为圆柱体,两端为球冠体,在储油罐无变位时
我们计算其各部分体积。
图10实际储油罐示意图
圆柱体积计算公式
2
VLR
圆柱
带入数据得到:
主体圆柱体积为56.5487
3
m
一端球缺体积计算公式
2
0
3
H
VHR
球缺
带入数据得到:
两端球缺总体积为,则储油罐的总体积为64.6645
3
8.1158m
3
m
5.1考虑不发生变位时储油量和油位高度的关系
圆柱内的油体积随油位高度变化关系:
2
2
0
2
h
LRhRVhd
圆柱
h(8)
一端球缺内油体积随油位高度变化关系:
11
2
00
2
2
cos
hhSrRH
VhdharcrRHRHdh
r
圆
0
00圆球缺
圆
(9)
其中2
2
rRhR0圆
R
为圆柱体底面半径
0
R为球缺对应的半径
r
圆
为球内小圆半径
总的储油罐内的油量对油位高度的变化关系为:
2VhVhVh球缺圆柱
2
2
0
2
220
2cos2
hh
LRhR
RH
rarcrRHRHdhd
r
0
00圆圆圆
h
5.2只考虑横向偏转变位时的储油量和油位高度的关系
只考虑储油罐横向偏转为时:
对实际的油位高度没有影响,但此时的油位探针已
经随储油罐发生偏转(如下图)
图11只考虑横向偏转示意图
由油浮子测量得到的油位高度与实际油位高度的关系为:
cos
Rh
hR
(10)
所以对罐容表影响转换公式:
cos
Rh
VhVR
5.3只考虑纵向倾斜变位时的储油量和油位高度的关系
12
只考虑纵向倾斜变位时,我们利用问题一中的思想,将储油罐分成5个区域,分别
计算储油量和油位高度的关系(如图12所示)。
图12实际储油罐分区示意图
5.3.1对区域1的讨论
油位探针测得的油位高度h始终为零,分成三部分来计算这部分的体积,如区域1
的放大图(13)
图13实际储油罐分区示意图
区域1的总体积应为:
1acb
VVVV
对圆柱体部分进行三重积分得到:
22tan
22tan
tan00tan
2
tan
tan
2c
yRl
RRyR
RlRl
yRl
dydxdzRydyV
由球缺部分的体积随油位高度的计算公式(9)得:
tan
b
VVl
球缺
由于部分的体积精确计算非常复杂,而且储油罐的纵向倾斜角度一般不会高于
所我们考虑将这部分体积省略,进行近似计算。
由于倾斜角
aV
5较小,所以区域3占
据了储油罐的绝大部分,而在区域3中这种近似计算的误差将由于左右两个球冠的省略
13
体积一正一负而有所减小,所以
0
c
V
由此得到区域1的总体积公式:
22
1
tan
2
tan
tan
tan
R
Rl
yRl
VRydy
Vl
球缺
(11)
5.3.2对区域2的讨论
在区域2中,油位高度h的变化范围0tanLl
,。
各部分储油体积和油位高度的变化关系:
22tan
tan
tan00
22
tan
tan
tan
2
2
yRhl
RRy
Rhl
R
Rhl
c
Vdydx
yRhl
Ryd
dz
y
htanb
VVl球缺
],0
a
V
总储油量和油位高度变化关系:
22
tan
2
tan
tan
2tR
Rhl
yRhl
RydyVV
anhl
球缺
(12)
5.3.3对区域3的讨论
在区域3中,油位高度h的变化范围tan2tanLlRl
,。
圆柱体部分的储油量:
12c
VVhVV圆柱
其中
22
22
tan
tan()
tan
1
00()
2
tan
()tan0
tan
2
2
hyl
hlRyR
h
hRyRLhyl
hLl
Vdydx
Vdydx
dz
dz
球缺部分的近似储油量:
tantan
b
VVhlVhLl球缺球缺
,0
a
V
总储油量和油位高度变化关系:
312
tantanVVhVVVhlVhLl圆柱球缺球缺
(13)
5.3.4对区域4的讨论
在区域4中,油位高度h的范围2tan2RlR,。
14
圆柱体部分的储油量:
22
()tan
()tan
2
tan
R
c
hRLl
yRhLl
VVRydy
圆柱
球缺部分的总体积:
tanbVVVhLl球缺球缺
,0aV
总储油量和油位高度变化关系:
22
4
()tan
()tan
2ttan
R
hRLl
yRhLl
VVRydyVhLlV
an
圆柱球缺球缺
(14)
5.3.5对区域5的讨论
在区域4中,油位高度始终等于h2R。
各部分体积分别为:
22
()tan
()tan
2
tan
R
c
RLl
yLlR
VVRydy
圆柱
V2tanbVVRLl球缺球缺
,0aV
总储油量和油位高度变化关系:
22
5
()tan
()tan
22tan
R
RLl
yLlR
VVRydyVRLlV
tan
圆柱球缺球缺
22
()tan
]
()tan
[22tan
tan
T
R
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