数学建模教材18第十八章变分法模型.docx
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数学建模教材18第十八章变分法模型
动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题,这类问题一般要归结为求最优控制
函数使某个泛函达到极值。
当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时,问题又简化为求普通函数的极值。
求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。
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§2生产设备的最大经济效益
某工厂购买了一台新设备投入到生产中。
一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大,因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小;另一方面生产设备总是要进行日常保养,花费一定的保养费,保养可以减缓设备的磨损程度,提高设备的转卖价。
那么,怎样确定最优保养费和设备转卖时间,才能使这台设备的经济效益最大。
2.1问题分析与假设
(i)设备的转卖价是时间t的函数,记为x(t)。
x(t)的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。
记初始转卖价x(0)=x0。
(ii)设备随其运行时间的推移,磨损程度越来越大。
t时刻设备的磨损程度可以
用t时刻转卖价的损失值来刻画,常称其为磨损函数或废弃函数,记为m(t)。
(iii)保养设备可以减缓设备的磨损速度,提高转卖价。
如果u(t)是单位时间的保养费,g(t)是t时刻的保养效益系数(每用一元保养费所增加的转卖价),那么单位时间的保养效益为g(t)u(t)。
另外,保养费不能过大(如单位时间保养费超过单位时间产值时,保养失去了意义),只能在有界函数集中选取,记有界函数集为W,则u(t)∈W。
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§3产品最佳价格调整问题
3.1问题提出
物价管理部门根据市场预测和经济协调发展的需要,决定将A产品的单位价格p(t)由现在的p0=70元调整到p1=100元,并要求各公司自行在一年内完成这一调价任务。
某公司经营A产品多年,深知每周A产品的销售量s与其价格p和价格变化率p&有着密切的联系,公司想利用这种关系制定一个A产品的调价方案,使全年经营A产品的总利润最大。
在如下假设条件下:
(1)物价部门对A产品的调价决策是积极的、正确的,在一年内(调价期)不会发生对A产品的其它调价决策,A产品在市场上的供求矛盾不会出现大的变化;
(2)公司多年经营A产品关于“每周销售量s与其价格p和价格变化率p&的关系”
的信息是可靠的,不妨假设s=s(p,p&);
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经济上看是否更为合算?
如果合算,做这种预防性更换的时间如何确定呢?
4.渔场中的鱼的数量由鱼的自然增长和捕捞量决定。
设鱼的自然增长服从logistic模型,而单位时间的捕捞量是当时鱼的总数的一个确定的函数。
设1t鱼的价格为p,捕捞1t鱼的费用是鱼总数的一个已知函数,鱼越多费用越省。
试建立数学模型求使渔场长期效益最好的捕捞策略。
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