Matlab优化工具箱.docx
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Matlab优化工具箱.docx
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Matlab优化工具箱
Matlab优化工具箱
MatlabOptimizationToolbox
优化工具箱提供了一般和大型的非线性优化函数,同时还提供了线性规划,二次规划,非线性最小二乘以及非线性方程求解的工具。
•主要特性:
–无约束非线性极小化问题
–约束性线性极小化、极大极小、多目标优化,半无穷极小化问题。
–二次规划和线性规划问题
–非线性最小二乘和边界曲线拟合问题
–非线性系统方程求解问题
–约束线性最小二乘问题
–大型问题的特殊算法
一.最小化问题Minimization
1-1规划(binaryintegerprogrammingproblems)
x=bintprog(f)
x=bintprog(f,A,b)
x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq)
x=bintprog(f,A,b,Aeq,beq,x0)
x=bintprog(f,A,b,Aeq,Beq,x0,options)
[x,fval]=bintprog(...)
[x,fval,exitflag]=bintprog(...)
[x,fval,exitflag,output]=bintprog(...)
参数描述见help
fVectorcontainingthecoefficientsofthelinearobjectivefunction
AMatrixcontainingthecoefficientsofthelinearinequalityconstraints
bVectorcorrespondingtotheright-handsideofthelinearinequalityconstraints
AeqMatrixcontainingthecoefficientsofthelinearequalityconstraints
beqVectorcontainingtheconstantsofthelinearequalityconstraints
x0Initialpointforthealgorithm
optionsOptionsstructurecontainingoptionsforthealgorithm.
Example1:
f=[-9;-5;-6;-4];
A=[6352;0011;-1010;0-101];
b=[9;1;0;0];
x=bintprog(f,A,b)
Example2:
问题求解:
min3*x
(1)-2*x
(2)+5*x(3)
s.t.
x
(1)+2*x
(2)-x(3)<=2
x
(1)+4*x
(2)+x(3)<=4
x
(1)+x
(2)<=3
4*x
(2)+x(3)<=6
x
(1),x
(2),x(3)为0,1
f=[3,-2,5]’
A=[12-1;141;110;041]
b=[2436]’
问题求解:
min3*x
(1)-2*x
(2)+5*x(3)
s.t.
x
(1)+2*x
(2)-x(3)=2
x
(1)+4*x
(2)+x(3)=4
线性规划linearprogrammingproblem
x=linprog(f,A,b)%求minf'*xsub.to
线性规划的最优解。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq)%等式约束
,若没有不等式约束
,则A=[],b=[]。
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)%指定x的范围
,若没有等式约束
,则Aeq=[],beq=[]
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)%设置初值x0
x=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)%options为指定的优化参数
[x,fval]=linprog(…)%返回目标函数最优值,即fval=f'*x。
[x,lambda,exitflag]=linprog(…)%lambda为解x的Lagrange乘子。
[x,lambda,fval,exitflag]=linprog(…)%exitflag为终止迭代的错误条件。
[x,fval,lambda,exitflag,output]=linprog(…)%output为关于优化的一些信息
说明若exitflag>0表示函数收敛于解x,exitflag=0表示超过函数估值或迭代的最大数字,exitflag<0表示函数不收敛于解x;
lambda=lower表示下界lb,lambda=upper表示上界ub,lambda=ineqlin表示不等式约束,lambda=eqlin表示等式约束,lambda中的非0元素表示对应的约束是有效约束;
output=iterations表示迭代次数,output=algorithm表示使用的运算规则,output=cgiterations表示PCG迭代次数。
例求下面的优化问题
min
sub.to
解:
>>f=[-5;-4;-6];
>>A=[1-11;324;320];
>>b=[20;42;30];
>>lb=zeros(3,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb)
结果为:
x=%最优解
0.0000
15.0000
3.0000
fval=%最优值
-78.0000
exitflag=%收敛
1
output=
iterations:
6%迭代次数
cgiterations:
0
algorithm:
'lipsol'%所使用规则
lambda=
ineqlin:
[3x1double]
eqlin:
[0x1double]
upper:
[3x1double]
lower:
[3x1double]
>>lambda.ineqlin
ans=
0.0000
1.5000
0.5000
>>lambda.lower
ans=
1.0000
0.0000
0.0000
表明:
不等约束条件2和3以及第1个下界是有效的
Example2:
max0.27x
(1)+0.19x
(2)+0.22x(3)+0.18x(4)
Subjectto
x
(1)-x
(2)-x(3)-x(4)<=0
x
(2)+x(3)+x(4)>=0
x
(1)+x
(2)+x(3)+x(4)=1
x(i)>=0,i=1,2,3,4
二次规划quadraticprogramming
二次规划问题(quadraticprogramming)的标准形式为:
sub.to
其中,H、A、Aeq为矩阵,f、b、beq、lb、ub、x为向量
其它形式的二次规划问题都可转化为标准形式。
x=quadprog(H,f,A,b)
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,fval]=quadprog(...)
[x,fval,exitflag]=quadprog(...)
[x,fval,exitflag,output]=quadprog(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(...)
EXAMPLE1:
求解下面二次规划问题
sub.to
解:
则
,
,
在MATLAB中实现如下:
>>H=[1-1;-12];
>>f=[-2;-6];
>>A=[11;-12;21];
>>b=[2;2;3];
>>lb=zeros(2,1);
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,A,b,[],[],lb)
结果为:
x=%最优解
0.6667
1.3333
fval=%最优值
-8.2222
exitflag=%收敛
1
output=
iterations:
3
algorithm:
'medium-scale:
active-set'
firstorderopt:
[]
cgiterations:
[]
lambda=
lower:
[2x1double]
upper:
[2x1double]
eqlin:
[0x1double]
ineqlin:
[3x1double]
>>lambda.ineqlin
ans=
3.1111
0.4444
0
>>lambda.lower
ans=
0
0
说明第1、2个约束条件有效,其余无效。
EXAMPLE2:
求二次规划的最优解
maxf(x1,x2)=x1x2+3
sub.tox1+x2-2=0
解:
化成标准形式:
sub.tox1+x2=2
在Matlab中实现如下:
>>H=[0,-1;-1,0];
>>f=[0;0];
>>Aeq=[11];
>>b=2;
>>[x,fval,exitflag,output,lambda]=quadprog(H,f,[],[],Aeq,b)
结果为:
x=
1.0000
1.0000
fval=
-1.0000
exitflag=
1
output=
firstorderopt:
0
iterations:
1
cgiterations:
1
algorithm:
[1x58char]
lambda=
eqlin:
1.0000
ineqlin:
[]
lower:
[]
upper:
[]
fminbnd
Findaminimumofafunctionofonevariableonafixedinterval
求一元函数在(xl,x2)区间中的极小值点x和最小值fval。
x=fminbnd(fun,x1,x2)
x=fminbnd(fun,x1,x2,options)
[x,fval]=fminbnd(...)
[x,fval,exitflag]=fminbnd(...)
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd(...)
functionf=myfun(x)
f=(x-3)^2-1;
x=fminbnd(@myfun,0,5)
例:
求函数
在区间(-10,1)和(1,10)上的最小值点。
首先建立函数文件fx.m:
functionf=f(x)
f=x-1/x+5;
上述函数文件也可用一个语句函数代替:
f=inline('x-1/x+5')
再在MATLAB命令窗口,输入命令:
fminbnd('fx',-10,-1)%求函数在(-10,-1)内的最小值点和最小值
fminbnd(f,1,10)%求函数在(1,10)内的最小值点。
注意函数名f不用加'
fminsearch
Findaminimumofanunconstrainedmultivariablefunction基于单纯形算法求一元函数或多元函数的极小值点x和最小值fval。
x=fminsearch(fun,x0)
x=fminsearch(fun,x0,options)
[x,fval]=fminsearch(...)
[x,fval,exitflag]=fminsearch(...)
[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(...)
Example1:
100*(x
(2)-x
(1)^2)^2+(1-x
(1))^2
banana=@(x)100*(x
(2)-x
(1)^2)^2+(1-x
(1))^2;
Passthefunctionhandletofminsearch:
[x,fval]=fminsearch(banana,[-1.2,1])
Example2:
设
求函数f在(0.5,0.5,0.5)附近的最小值。
建立函数文件fxyz.m:
functionf=fxyz(u)
x=u
(1);y=u
(2);z=u(3);
f=x+y.^2./x/4+z.^2./y+2./z;
在MALAB命令窗口,输入命令:
[U,fmin]=fminsearch('fxyz',[0.5,0.5,0.5])%求函数的最小值点和最小值
fminunc
Findaminimumofanunconstrainedmultivariablefunction:
基于拟牛顿法求多元函数的极小值点x和最小值fval。
[x,fval]=fminunc(filename,x0,option)
functionf=myfun(x)
f=3*x
(1)^2+2*x
(1)*x
(2)+x
(2)^2;%Costfunction
x0=[1,1];
[x,fval]=fminunc(@myfun,x0)
fmincon(非线性目标函数和约束条件)
Findaminimumofaconstrainednonlinearmultivariablefunction
x=fmincon(fun,x0,A,b)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
[x,fval]=fmincon(...)
[x,fval,exitflag]=fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output]=fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda]=fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad]=fmincon(...)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian]=fmincon(...)
MATLAB最优化工具箱提供了一个fmincon函数,专门用于求解各种约束下的最优化问题。
该函数的调用格式为:
[x,fval]=fmincon(filename,x0,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option)
其中x、fval、filename、x0和option的含义与求最小值函数相同。
其余参数为约束条件,参数NonF为非线性约束函数的M文件名。
如果某个约束不存在,则用空矩阵来表示。
functionf=myfun(x)
f=-x
(1)*x
(2)*x(3);
x0=[10;10;10];%Startingguessatthesolution
[x,fval]=fmincon(@myfun,x0,A,b)
Z=2*(xy+yz+zx)
zyz=2
functionf=myobj(X)
x=X
(1);
y=X
(2);
z=X(3);
f=2*(x*y+y*z+z*x)
function[c,ceq]=mycon(X)
x=X
(1);
y=X
(2);
z=X(3);
c=[];
ceq=x*y*z-2
[x,f]=fmincon(@myobj,[1;1;1],[],[],[],[],[],[],@mycon)
求解有约束最优化问题。
首先编写目标函数M文件fop.m。
functionf=fop(x)
f=0.4*x
(2)+x
(1)^2+x
(2)^2-x
(1)*x
(2)+1/30*x
(1)^3;
再设定约束条件,并调用fmincon函数求解此约束最优化问题。
x0=[0.5;0.5];
A=[-1,-0.5;-0.5,-1];
b=[-0.4;-0.5];
lb=[0;0];
option=optimset;option.LargeScale='off';option.Display='off';
[x,f]=fmincon('fop’,x0,A,b,[],[],lb,[],[],option)
二.EquationSolving
fsolve
Solveasystemofnonlinearequations
x=fsolve(fun,x0)
x=fsolve(fun,x0,options)
[x,fval]=fsolve(fun,x0)
[x,fval,exitflag]=fsolve(...)
[x,fval,exitflag,output]=fsolve(...)
[x,fval,exitflag,output,jacobian]=fsolve(...)
First,writeanM-filethatcomputesF,thevaluesoftheequationsatx.
functionF=myfun(x)
F=[2*x
(1)-x
(2)-exp(-x
(1));
-x
(1)+2*x
(2)-exp(-x
(2))];
Next,callanoptimizationroutine.
x0=[-5;-5];%Makeastartingguessatthesolution
options=optimset('Display','iter');%Optiontodisplayoutput
[x,fval]=fsolve(@myfun,x0,options)%Calloptimizer
fzero
Zeroofacontinuousfunctionofonevariable
Syntax
x=fzero(fun,x0)
x=fzero(fun,x0,options)
[x,fval]=fzero(...)
[x,fval,exitflag]=fzero(...)
[x,fval,exitflag,output]=fzero(...)
Example1:
functiony=f(x)
y=x.^3-2*x-5;
Tofindthezeronear2,enter
z=fzero(@f,2)
z=
2.0946
Example2:
functionf=myd(x)
f=exp(x)+10*x-2
x=fzero(@myd,0)
Example3:
functionf=mdys(x)
f=x^3-3*x-1
Example3:
求
的根
解:
>>fun='x^3-2*x-5';
>>z=fzero(fun,2)%初始估计值为2
结果为
z=
2.0946
约束线性最小二乘Solvetheconstrainedlinearleast-squaresproblem
有约束线性最小二乘的标准形式为
其中:
C、A、Aeq为矩阵;d、b、beq、lb、ub、x是向量。
x=lsqlin(C,d,A,b)
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq)
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
[x,resnorm]=lsqlin(...)
[x,resnorm,residual]=lsqlin(...)
[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin(...)
[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqlin(...)
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(...)
函数 lsqlin
格式 x=lsqlin(C,d,A,b) %求在约束条件下,方程Cx=d的最小二乘解x。
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq) %Aeq、beq满足等式约束,若没有不等式约束,则设A=[],b=[]。
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) %lb、ub满足,若没有等式约束,则Aeq=[],beq=[]。
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %x0为初始解向量,若x没有界,则lb=[],ub=[]。
x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) %options为指定优化参数
[x,resnorm]=lsqlin(…) %resnorm=norm(C*x-d)^2,即2-范数。
[x,resnorm,residual]=lsqlin(…) %residual=C*x-d,即残差。
[x,resnorm,residual,exitflag]=lsqlin(…) %exitflag为终止迭代的条件
[x,resnorm,residual,exitflag,output]=lsqlin(…) %output表示输出优化信息
[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda]=lsqlin(…) %lambda为解x的Lagrange乘子
例:
求解下面系统的最小二乘解
系统:
Cx=d
约束:
A;b
先输入系统系数和x的上下界:
C=[0.9501 0.7620 0.6153 0.4057;…
0.2311 0.4564 0.7919 0.9
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