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三函数的奇偶性与周期性含答案
三 函数的奇偶性与周期性
导学目标:
1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性,会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题.
自主梳理
1.函数奇偶性的定义
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有______________,则称f(x)为奇函数;如果对于函数f(x)定义域内任意一个x,都有____________,则称f(x)为偶函数.
2.奇偶函数的性质
(1)f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=____;
f(x)为偶函数⇔f(x)=f(-x)=f(|x|)⇔f(x)-f(-x)=____.
(2)f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于____轴对称;f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于________
对称.
(3)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有________的单调性.
3.函数的周期性
(1)定义:
如果存在一个非零常数T,使得对于函数定义域内的任意x,都有f(x+T)=________,则称f(x)为________函数,其中T称作f(x)的周期.若T存在一个最小的正数,则称它为f(x)的________________.
(2)性质:
①f(x+T)=f(x)常常写作f(x+
)=f(x-
).
②如果T是函数y=f(x)的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是y=f(x)的周期,即f(x+kT)=f(x).
③若对于函数f(x)的定义域内任一个自变量的值x都有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)=
或f(x+a)=-
(a是常数且a≠0),则f(x)是以______为一个周期的周期函数.
自我检测
1.已知函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是( )
A.1B.2C.3D.4
2.如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最大值为5,那么f(x)在区间[-7,-3]上是( )
A.增函数且最小值是-5B.增函数且最大值是-5
C.减函数且最大值是-5D.减函数且最小值是-5
3.函数y=x-
的图象( )
A.关于原点对称B.关于直线y=-x对称
C.关于y轴对称D.关于直线y=x对称
4.已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=f(x),且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2012)+f(2011)的值为( )
A.-2B.-1C.1D.2
5.设函数f(x)=
为奇函数,则a=________.
探究点一 函数奇偶性的判定
例1
判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=(x+1)
;
(2)f(x)=x(
+
);
(3)f(x)=log2(x+
);(4)f(x)=
变式迁移1 判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=x2-x3;
(2)f(x)=
+
;
(3)f(x)=
.
探究点二 函数单调性与奇偶性的综合应用
例2
函数y=f(x)(x≠0)是奇函数,且当x∈(0,+∞)时是增函数,若f
(1)=0,求不等式f[x(x-
)]<0的解集.
变式迁移2 已知函数f(x)=x3+x,对任意的m∈[-2,2],f(mx-2)+f(x)<0恒成立,则x的取值范围为________.
探究点三 函数性质的综合应用
例3
已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0),在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1+x2+x3+x4=________.
变式迁移3 定义在R上的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x).若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
转化与化归思想的应用
例
(12分)函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f
(1)的值;
(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论;
(3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围.
【答题模板】
解
(1)∵对于任意x1,x2∈D,有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),
∴令x1=x2=1,得f
(1)=2f
(1),∴f
(1)=0.[2分]
(2)令x1=x2=-1,有f
(1)=f(-1)+f(-1),
∴f(-1)=
f
(1)=0.[4分]
令x1=-1,x2=x有f(-x)=f(-1)+f(x),
∴f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.[6分]
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2,
f(16×4)=f(16)+f(4)=3,[7分]
∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3,
即f((3x+1)(2x-6))≤f(64)[8分]
∵f(x)为偶函数,
∴f(|(3x+1)(2x-6|)≤f(64).[10分]
又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,f(x)的定义域为D.
∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64.[11分]
解上式,得3 ≤x<- 或- ∴x的取值范围为{x|- ≤x<- 或- 【突破思维障碍】 在(3)中,通过变换已知条件,能变形出f(g(x))≤f(a)的形式,但思维障碍在于f(x)在(0,+∞)上是增函数,g(x)是否大于0不可而知,这样就无法脱掉“f”,若能结合 (2)中f(x)是偶函数的结论,则有f(g(x))=f(|g(x)|),又若能注意到f(x)的定义域为{x|x≠0},这才能有|g(x)|>0,从而得出0<|g(x)|≤a,解之得x的范围. 【易错点剖析】 在(3)中,由f(|(3x+1)·(2x-6)|)≤f(64)脱掉“f”的过程中,如果思维不缜密,不能及时回顾已知条件中函数的定义域中{x|x≠0},易出现0≤|(3x+1)(2x-6)|≤64,导致结果错误. 1.正确理解奇函数和偶函数的定义,必须把握好两个问题: ①定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件;②f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定义域上的恒等式. 2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简,或应用定义的等价形式: f(-x)=±f(x)⇔f(-x)±f(x)=0⇔ =±1(f(x)≠0). 3.奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称,反之也真.利用这一性质可简化一些函数图象的画法,也可以利用它判断函数的奇偶性. 4.关于函数周期性常用的结论: 对于函数f(x),若有f(x+a)=-f(x)或f(x+a)= 或f(x+a)=- (a为常数且a≠0),则f(x)的一个周期为2a 一、选择题(每小题5分,共25分) 1.已知f(x)=ax2+bx是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的值为( ) A.- B. C. D.- 2.已知定义域为{x|x≠0}的函数f(x)为偶函数,且f(x)在区间(-∞,0)上是增函数,若f(-3)=0,则 <0的解集为( ) A.(-3,0)∪(0,3)B.(-∞,-3)∪(0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-3,0)∪(3,+∞) 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=- ,当1≤x≤2时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于( ) A.4.5B.-4.5C.0.5D.-0.5 4.设f(x)为定义在R上的奇函数.当x≥0时,f(x)=2x+2x+b(b为常数),则f(-1)等于( ) A.3B.1C.-1D.-3 5.设函数f(x)满足: ①y=f(x+1)是偶函数;②在[1,+∞)上为增函数,则f(-1)与f (2)大小关系是( ) A.f(-1)>f (2)B.f(-1) (2)C.f(-1)=f (2)D.无法确定 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题4分,共12分) 6.若函数f(x)= 是奇函数,则a+b=________. 7.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若f(x)满足f(x+3)=f(x),且f (1)>1,f (2)= ,则m的取值范围是________. 8.已知函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且g(x)=f(x-1),若f (2)=2,则f(2010)的值为________. 三、解答题(共38分) 9.(12分)已知f(x)是定义在[-6,6]上的奇函数,且f(x)在[0,3]上是x的一次式,在[3,6]上是x的二次式,且当3≤x≤6时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的表达式. 10.(12分)设函数f(x)=x2-2|x|-1(-3≤x≤3) (1)证明f(x)是偶函数; (2)画出这个函数的图象; (3)指出函数f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数; (4)求函数的值域. 11.(14分)已知函数f(x)=x2+ (x≠0,常数a∈R). (1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若函数f(x)在[2,+∞)上为增函数,求实数a的取值范围. 答案自主梳理 1.f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) 2. (1)0 0 (2)y 原点 (3)相反 3. (1)f(x) 周期 最小正周期 (2)③2a 自我检测 1.B [因为f(x)为偶函数,所以奇次项系数为0,即m-2=0,m=2.] 2.A [奇函数的图象关于原点对称,对称区间上有相同的单调性.] 3.A [由f(-x)=-f(x),故函数为奇函数,图象关于原点对称.] 4.C [f(-2012)+f(2011)=f(2012)+f(2011)=f(0)+f (1)=log21+log2(1+1)=1.] 5.-1 解析 ∵f(-1)=0,∴f (1)=2(a+1)=0, ∴a=-1.代入检验f(x)= 是奇函数,故a=-1. 课堂活动区 例1 解题导引 判断函数奇偶性的方法. (1)定义法: 用函数奇偶性的定义判断.(先看定义域是否关于原点对称). (2)图象法: f(x)的图象关于原点对称,则f(x)为奇函数;f(x)的图象关于y轴对称,则f(x)为偶函数. (3)基本函数法: 把f(x)变形为g(x)与h(x)的和、差、积、商的形式,通过g(x)与h(x)的奇偶性判定出f(x)的奇偶性. 解 (1)定义域要求 ≥0且x≠-1, ∴-1 ∴f(x)是非奇非偶函数. (2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). ∵f(-x)=-x =-x = = =f(x). ∴f(x)是偶函数. (3)函数定义域为R. ∵f(-x)=log2(-x+ ) =log2 =-log2(x+ ) =-f(x), ∴f(x)是奇函数. (4)函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞). 当x<0时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x=-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-(-x2+x)=-f(x). ∴对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=-f(x). 故f(x)为奇函数. 变式迁移1 解 (1)由于f(-1)=2,f (1)=0,f(-1)≠f (1),f(-1)≠-f (1),从而函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,又f(-1)=f (1)=0,f(-1)=-f (1)=0,∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (3)由 得,f(x)定义域为[-2,0)∪(0,2]. ∴定义域关于原点对称, 又f(x)= ,f(-x)=- ∴f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数. 例2 解题导引 本题考查利用函数的单调性和奇偶性解不等式.解题的关键是利用函数的单调性、奇偶性化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”. 在关于原点对称的两个区间上,奇函数的单调性相同,偶函数的单调性相反. 解 ∵y=f(x)为奇函数,且在(0,+∞)上为增函数, ∴y=f(x)在(-∞,0)上单调递增, 且由f (1)=0得f(-1)=0. 若f[x(x- )]<0=f (1), 则 即0 )<1, 解得 或 若f[x(x- )]<0=f(-1),则 由x(x- )<-1,解得x∈∅. ∴原不等式的解集是 {x| 或 变式迁移2 (-2, ) 解析 易知f(x)在R上为单调递增函数,且f(x)为奇函数,故f(mx-2)+f(x)<0,等价于f(mx-2)<-f(x)=f(-x),此时应用mx-2<-x,即mx+x-2<0对所有m∈[-2,2]恒成立,令h(m)=mx+x-2, 此时,只需 即可,解得x∈(-2, ). 例3 解题导引 解决此类抽象函数问题,根据函数的奇偶性、周期性、单调性等性质,画出函数的一部分简图,使抽象问题变得直观、形象,有利于问题的解决. -8 解析 因为定义在R上的奇函数,满足f(x-4)=-f(x),所以f(4-x)=f(x).因此,函数图象关于直线x=2对称且f(0)=0,由f(x-4)=-f(x)知f(x-8)=f(x),所以函数是以8为周期的周期函数.又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(x)在区间[-2,0]上也是增函数,如图所示,那么方程f(x)=m(m>0)在区间[-8,8]上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,不妨设x1 变式迁移3 B [∵f(x)=f(2-x),∴f(x+1)=f(1-x). ∴x=1为函数f(x)的一条对称轴. 又f(x+2)=f[2-(x+2)] =f(-x)=f(x), ∴2是函数f(x)的一个周期. 根据已知条件画出函数简图的一部分,如右图: 由图象可以看出,在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数.] 课后练习区 1.B [依题意得 ,∴ , ∴a+b= .] 2.D [由已知条件,可得函数f(x)的图象大致为右图,故 <0的解集为(-3,0)∪(3,+∞).] 3.D [由f(x+2)=- , 得f(x+4)=- =f(x),那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).因为f(x)是偶函数,则f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5).而1≤x≤2时,f(x)=x-2, ∴f(1.5)=-0.5.由上知: f(6.5)=-0.5.] 4.D [因为奇函数f(x)在x=0有定义,所以f(0)=20+2×0+b=b+1=0,b=-1. ∴f(x)=2x+2x-1,f (1)=3, 从而f(-1)=-f (1)=-3.] 5.A [由y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(-1)=f(3). 又f(x)在[1,+∞)上为单调增函数, ∴f(3)>f (2),即f(-1)>f (2).] 6.1 解析 ∵f(x)是奇函数,且x∈R,∴f(0)=0,即a=0.又f(-1)=-f (1),∴b-1=-(1-1)=0,即b=1,因此a+b=1. 7.-1 解析 ∵f(x+3)=f(x),∴f (2)=f(-1+3)=f(-1). ∵f(x)为奇函数,且f (1)>1, ∴f(-1)=-f (1)<-1,∴ <-1. 解得: -1 . 8.2 解析 由g(x)=f(x-1),得g(-x)=f(-x-1), 又g(x)为R上的奇函数,∴g(-x)=-g(x), ∴f(-x-1)=-f(x-1), 即f(x-1)=-f(-x-1), 用x+1替换x,得f(x)=-f(-x-2). 又f(x)是R上的偶函数,∴f(x)=-f(x+2). ∴f(x)=f(x+4),即f(x)的周期为4. ∴f(2010)=f(4×502+2)=f (2)=2. 9.解 由题意,当3≤x≤6时,设f(x)=a(x-5)2+3, ∵f(6)=2,∴2=a(6-5)2+3.∴a=-1. ∴f(x)=-(x-5)2+3(3≤x≤6).…………………………………………………………(3分) ∴f(3)=-(3-5)2+3=-1. 又∵f(x)为奇函数,∴f(0)=0. ∴一次函数图象过(0,0),(3,-1)两点. ∴f(x)=- x(0≤x≤3).…………………………………………………………………(6分) 当-3≤x≤0时,-x∈[0,3], ∴f(-x)=- (-x)= x. 又f(-x)=-f(x),∴f(x)=- x. ∴f(x)=- x(-3≤x≤3).………………………………………………………………(9分) 当-6≤x≤-3时,3≤-x≤6, ∴f(-x)=-(-x-5)2+3=-(x+5)2+3. 又f(-x)=-f(x),∴f(x)=(x+5)2-3. ∴f(x)= 10.解 (1)f(-x)=(-x)2-2|-x|-1 =x2-2|x|-1=f(x), 即f(-x)=f(x).∴f(x)是偶函数.………………………………………………………(2分) (2)当x≥0时,f(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2, 当x<0时,f(x)=x2+2x-1=(x+1)2-2, 即f(x)= 根据二次函数的作图方法,可得函数图象如下图. ……………………………………(6分) (3)由 (2)中函数图象可知,函数f(x)的单调区间为[-3,-1],[-1,0],[0,1],[1,3]. f(x)在区间[-3,-1]和[0,1]上为减函数,在[-1,0],[1,3]上为增函数.……………(8分) (4)当x≥0时,函数f(x)=(x-1)2-2的最小值为-2,最大值为f(3)=2; 当x<0时,函数f(x)=(x+1)2-2的最小值为-2,最大值为f(-3)=2; 故函数f(x)的值域为[-2,2].……………………………………………………………(12分) 11.解 (1)当a=0时,f(x)=x2对任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 有f(-x)=(-x)2=x2=f(x), ∴f(x)为偶函数.…………………………………………………………………………(2分) 当a≠0时,f(x)=x2+ (x≠0,常数a∈R), 若x=±1时,则f(-1)+f (1)=2≠0; ∴f(-1)≠-f (1),又f(-1)≠f (1) ∴函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.……………………………………………(6分) 综上所述,当a=0时,f(x)为偶函数; 当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数.………………………………………………………(7分) (2)设2≤x1 f(x1)-f(x2)=x + -x - = [x1x2(x1+x2)-a],………………………………………………………………(10分) 要使f(x)在x∈[2,+∞)上为增函数,必须使f(x1)-f(x2)<0恒成立. ∵x1-x2<0,x1x2>4,即a 又∵x1+x2>4,∴x1x2(x1+x2)>16, ∴a的取值范围为(-∞,16].…………………………………………………………(14分)
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