组合数学第四版卢开澄标准答案第四章docx.docx

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组合数学第四版卢开澄标准答案第四章docx

习题四

4.1.若郡G的元素。

均可表示为某一元素X的幕，即«=r,则称这个群为循环郡。

若群的元索交换律成立，Wa,bwG满足

ab=b-a

则称这个群为阿贝尔（Abel）群，试证明所有的循环群都是阿贝尔群。

［证］•设循环群（G,・）的生成元是兀owGo于是,对任何元素a,bwG,3m,nwN,使得*席,b=xo，从而

ab=x（）n•Xq

=xo/z，+W（指数衛

=xo?

，+W（数的加法交换律）

=鼎・霸”（指数律）

=ba

故•运算满足交换律；即（G,・）是交换群。

4.2.若x是群G的一个元素，存在一个最小的正整数加，使xm=ef则称加为x的阶，试证:

C={e^c,x2,...yN1}

是G的一个子群。

［证］.⑴非空性CH0:

因为BeeG；

（2）包含性CUG：

因为xgG,根据群G的封闭性，可知G,故CgG；

（3）封闭性X/d,bgC=>a•beC：

Pci,bgC,3k>IwN（0

a•b=xk•x1=x{k+l）nK）dmeC（因为0S（k+l）modm

（4）有逆元X/agC=>a'wC：

VagC,3keN（0

a-i=丄”-kwc（|对为05n?

乂

综合⑴⑵⑶⑷，可知（C,・）是9,•）的一个子群。

4.3.若G是阶为n的有限群，则G的所有元素的阶都不超过no

［证］.对任一元素xwG,设其阶为加，并令C={e^^c2,则|tl习题4.2.HT知（C,"是匸,•）

的一个子群，故具有包含性CyG。

因此有

m=\C\<\G\=n

所以群G的所有元索的阶都不超过77。

4.4.若G是阶为n的循环群，求群G的母元素的数目，即G的元素可以表示成a的幕：

的元素a的数th

［证］•设（G,・）是循环群，。

是其一个母元素（生成元），a的阶为几（也是G的阶）,则G={a,a2,...,an（=e）}。

（1）.我们来证:

对任何自然数reN（0

为此，只需证/的阶为n即可。

首先，设R的阶为因此有ark=（ar）k=e,山于。

的阶为“，故根据引理*町得nIrk0已知Ow,（r,n）=1,因此只能有n\k,所以n

其次，

（/）“=/“（指数律）

（数的加法交换律）

=（疔（指数律）

r

因而，由k是元素/的阶，具有最小性，所以k

综合这两方曲，可得k=n.

（2）根据⑴的结论,可得,群G的母元素的数目为仅n）（欧拉函数,小于〃且与n互素的数的个数）。

注•引理*•设（G,・）是群°VxgG,若x的阶为k,从而/=纟o则\/mgN,x!

tl=e<=>kImo［证］.先证n）:

若则必有RI加o

=e

故与;v的阶为h具有最小性，矛盾。

次证<=）：

若kI

4・5•试证循环群G的子群仍是循环群。

［证］.设（仏・）是循环群（G,•）=<«>的一个子群，则H中的元素都可表示成。

的一些止方幕。

设严是H中指数最小的正方幕，我们來证（H,•）=<«">o为此只要证明H中任一元素都可表示成屮的正方幕即可。

任取H中一个元素根据带余除法，可知有非负整数q及厂，使k=qm+r口.0

于是由（//,•）构成群，可知（ayeHf从而（O畑,于是/*（/化H

由加的选择（最小性）必须有cO,所以ak=（ayf这说明（H,）=,因而（//,•）循环群。

4.6.若H是G的子群，x和y是G的元素，试证xHcyH或为空，或xH=yHo［证］.对任何xjgG,若xHnyH=0,则问题已证。

否则若H/cyH^0,则必至少有一元素gcHcyH,从而

x（）exHcyH

=>xoexHaxoGyH

zz>x（）=x-hiax（）=y-/?

2（这里h\,h2^H）

=>x・b=y-/?

2

=>x=y・1ay=x・h\・h『（*）

下而我们來证:

xH=yH.为此，要分证:

（DxH^yH;

⑵yH—H；

我们只证⑴;

（2）同理可证;

对任何元素G,

aExH=>a=xhf=>a=y・/?

2•力1^>a=yhn=>tieyH

（这里hUH）

（山（*）：

x=yhrhi1）

（由H的封闭性:

hf,=hrhi］-hfEH）

所以xHcyH：

所以，由包含关系的反对称性，我们得到xH=yHo

4.7•若H是G的子群,，试证：

bcHI=k

其屮xeGo

［证］.建立自然映射f:

HtxH，使得对任何/隹乩。

于是⑴后者唯一：

由•运算的结果唯一性可得；

⑵满射：

对任何bwxH,有a=hwH,使得b=x・h。

于是，有f（a）=f（h）=x-h=b:

（3）单射：

/（/“）=心2）

=>xh|=X-/?

2

=>/?

］二力2（群的消去律）o

所以，/是从丹到的双射，因此\xH\=\H\=ko

4.8•有限祥G的阶为弘H是G的子群，则丹的阶必除尽G的阶。

［证］.这即是箸名的拉格郎U（Lagrange法国著名数学家、力学家1736-1814）定理。

设G的子群H={匕/片，，…‘力，-|}o

于是令aH={a•e=a,a•h^a•h2^-,a•hr_{},这里aeG,并且我们定义R是G上的二元关系，即AcGxG

V兀，ywG,xRy:

:

=（BbeG）（xgaHAyeaH）。

从而R是G上的等价关系，英等价块的形式为aH,设其代衣元为4，勺,…，色，则ci'H^H,…，gH是所有的等价块，构成对G的一个划分（参见习题46）。

即

G=alH^a2H+-^akH

根据习题4.7.可得\a}H\=\a2H\=…=\akH\=\H\=ro

因此\G\=k\H\=kr=n,所以厂必能整除小即H的阶必除尽G的阶。

4.10.若兀和y在群G作用下属于同一等价类，则x所属的等价类y所属的等价类价有

IEJ=IEVIo

［证］.设底基X={l,2,...,n}。

对任一个元素dwX,Ea={beXIBpeG,（a）p=b}0

因为已知x和y在群G作用下属于同一等价类，因此，存在zwX,使得艮，于是3php2eG,使得（z）p\=x,（z）P2=yo

我们来证：

Ex=Eyo为此，要分证：

⑴ExUEy；

（2）E、uEx；

我们只证⑴上一⑵同理可证；

aeEx

=>a=（x）p'na=（z）pi/V=>a=（y）p['pe

对任何元素aeXf

（这里p'eG）

（由（z）p\=x）

（由⑵”2=y,得（y）P2]=z（群G有逆元））（由群G的封闭性:

p"=P』'p"wG）

=>aeEy

所以Exc£vo所以，由包含关系的反对称性，我们得到Ex=EyO

4.11.有一个3x3的正方形棋盘，若用红、蓝色对这9个格进行染色，要求两个格着红色,其余染蓝色，问有多少种着色方案？

□

□

a

□

□

□

□

□

□

［解］.一个3x3的正方形棋盘，只能旋转，不能翻转，其详细的置换群为:

不动0°：

Pi=d）

（2）（3）⑷⑸（6）（7）⑻⑼

逆时针旋转90°:

P2=（5）（1793）（2486）

顺时针旋转90°:

P3=5）（1397）（2684）

旋转180°:

P4=（5）（19）（28）（37）（46）

转动群

格式

置换

循环节

不动

0°

（1r

1个

9个

中心

±90°

⑴⑷

2个

3个

中心

180°

（1）0

1个

5个

第4」1题表

将2个格着以厂色，7个格着以b色，相当于用•二种颜色对3x3的止方形棋盘进行染色。

于是根据母函数形式的P61ya定理，方案枚举：

P（b,r）=—［（fe+r）9+2（/>+r）（/?

4+r4）2+（i+r）（^2+r2）4］

4

其中方7/的系数即为所求染色方案数：

lr9!

4!

[

=—[1]

42!

7!

1!

3!

=[36+4]/4=10（种）。

4.12.试川贝恩塞特引理解决〃个人围一恻桌坐下的方案问题。

［解］.（参见ppt第四章§6•例467.）目标集:

n个坐位;图象集：

n!

个着色方案（排坐）。

转动群的2n个置换（参见第7题（第二版），即第4.17题（第三版）），只有幺元有n!

个不动点（图象）,其他2n-l个置换没有不动点（因为没有两个坐位坐同一人），即

Ci（e）=C|（P|）=n!

C|（P2）=C|（P3）=...=C|（P2n）=0o

故由Burnside引理有

7=［ci（e）］/2n=n!

/2n=（n-l）!

/2

个方案。

4.13.对正六角形的6个顶点川5种颜色进行染色，试问有多少种不同的方案？

旋转使之重合作为相同处理。

I解］.见第4.13题图，使之重合的刚体运动群，它含有关于止六角形中心轴旋转±60。

±120。

180。

的置换，绕过2个对和的轴翻转180°的置换，以及绕过2个对凹的轴翻转180°的置撫

转动群

格式

置换

循环节

所求方案数

不动0°

（1）“

1个

6个

56

旋转±60°

（6）1

2个

1个

2-51

旋转±120°

（3）2

2个

2个

2-52

旋转180°

（2）3

1个

3个

53

翻转（角-角）180°

（1）W

3个

4个

3-54

翻转（凹-凹）180°

⑵'

3个

3个

3・5‘

第4」3题表

丁-是根据P61ya定理，可得不同的染色方案数为:

/=—[56+2-5'+2-52+53+3-54+3-53]12

=右（15625+10+50+125+1875+375）

I

=——18060

12

=1505（种）。

4.25.若G和G是两个群

GxG2{（g,0）lgwG,0wG'},

（g2,g‘2）全（glg2,g'lg‘2）,

GxG1的单位元素是20）。

试证GxG成群。

[证]•T封闭性:

0@1,了1）,（g2,g‘2）eGXG‘

=>（g],g2EG）/\（gl,『2WGJ

=>（gig2eG）a（g[g，2eG）（群G和G的封闭性）=>（gig2,0ig‘2）WGxG'

=>（gi,g'i）（g2,g‘2）eGxG‘

因而封闭性成立。

2。

结合律：

X/（gl,g'l）,（g2,g‘2）,（g3,g‘3）WGxG'

（（gl，g'l）（g2,g‘2））（g3,g‘3）

=（glg2,g'lg‘2）（g3,g‘3）

=（（glg2）g3,（g'lg‘2）g'3）

=（gl（g2X3）,g'l（g虫‘3））（群G和G啲结合律）

=（gl,g'l）（gN3,g‘2^3）=（gl,01）（（g2,g‘2）（g3,g‘3））

因而结合律成立。

3。

有幺元：

（学gGxG,这里£是群G的幺元，"是群G的幺元。

0（g,gjwGxG\（e,N）（g,g'）=（eg,ergf）

=（g，g‘）2沪g,e'g'=g'）

=（ge,g'H）3=ge,g'=g'e、=（g,g'）（e,e'）

因而（£,"）是幺元。

4。

有逆元:

V（g,/）wGxG'

=>（gwG）/\（g'wG‘）=>（g"wG）/\（gEwG）（群G和G有逆元）=>（g*）wGxG

使得（g,g'）（g",gE）=（gg“，g'g‘"）

=（gW）（g,g‘）

因而有逆元。

所以GxGf构成群。

4.26.若G是关TX={xi,x2,...,x„}的置换群,G是关于X’二{门,班,…，箱}的置换群,对于GxG的每一对元素

证GxG，是关于XuX的置换群。

［证］•将题中GxG中的置换的前置定义换为如下等价的后置定义:

e）（g,F）全

e）g,

e）g',

vgXz

因而GxG={（gM）lgwG,0wG}o

于是，我们可定义GxG上的二元“乘法”运算如下:

由丁•置换群G和G；也是群，爲根坯习题4.25.,可知GxG是群。

又由于GxG是X5,上置换的集合，所以GxG是关于X3C的置换群。

4.27.-个项链山7颗珠子装饰而成的，其中两颗珠子是红的，3颗是蓝的，其余两颗是绿

的，问有多少种装饰方案？

试列举Z?

3。

懈］.见第4.27题图，使Z重合的刚体运动群，令a=51-,

7

它含有关于圆环中心轴旋转土丄・360。

二土a,

7

23

±--360°=±2a,±--360°=±3a,以及绕过一个顶点及其

77

对弧中点的轴翻转180°的置换：

不动0。

：

⑴⑵⑶⑷⑸⑹（7）

旋转土a：

（1234567）,（7654321）

旋转±2a：

（1357246）,（7531642）

旋转±3a：

（1473625）,（7415263）

翻转（点-弧）180°：

（1）（27）（36）（45）,

（2）（13）（47）（56）,（3）（15）（24）（67）,⑷（17）（26）（3

5）,（5）（12）（37）（46）,（6）（12）（37）（46）,（7）（16）（25）（34）。

转动群

格式

置换

循环节

不动

0°

（l）7

1个

7个

旋转

±a

（7）1

2个

1个

旋转

±2a

（7）*

2个

1个

旋转

±3a

（7）i

2个

1个

翻转（点-弧）

180°

（Dl

（2）3

7个

4个

第4.27题表

将2颗厂色,2颗g色,3颗b色的珠子装饰在圆环的7个等分点上的问题，相当于用b,小厂三种颜色对正七边型进行染色。

于是根据母函数形式的P61ya定理，染色方案枚举:

P（b,g,g丄[@+計尸）7+60+/+/）1+7@+計厂）\b2+g2+P）3]

14

其中聞的系数即为所求项链串珠方案数：

1

=—•252

14

=18（种）。

所求18种项链串珠方案枚举如下:

4・28.—个正八而体,用红、蓝两色对6个顶点进行着色；用黄、绿两种颜色对8个而进行染色，试求其中4个顶点为红，两个顶点为蓝，黄和绿的面各四血的方案数。

注.正八面体可以看作是正方体的对偶，每一面用中心代表一个顶点，相交于一个顶点的3个面对应过3个中心的三角形，由此构成的6个顶点，8个面的几何图形。

［解］.（参见第二版第17题）本题相当于把止八血休的6个顶点、8个面合并起来作为目标集;6个顶点、8个而，共14个元索的置换群。

转动群

格式

置换

循环节

不动

0°

（1）6-

（1）8

1个

14个

面心-面

±90°

（lfy4）l-（4）2

6个

5个

面心-面心

180°

（1）2⑵2■⑵4

3个

8个

顶点-顶点

±120°

（3）2■⑴$⑶？

8个

6个

棱中-棱中

180°

⑵二⑵4

6个

7个

第17题图

第4.28题图

于是根据母函数形式的P61ya定理，染色方案枚举:

P（r,b,y,g）二丄[（r+fr）6（y+^）8+6（r+Z?

）2（r4+Z?

4）,（y4+^4）2+3（r+/?

）2（r2+fe2）2（y2+^2）4

24

+8（八猗2（），+g）2（b+g3）2+6（/+b2）3（y2+g2）4]

其中rVyY的系数即为所求项链串珠方案数：

J_

1

24

[15x704-6x2+3x（2+1）x6+6x3x6]

=±[1050+12+54+108]

=—•1224

24

=51（种）。

详细的点-血混合的置换群为：

不动0。

:

⑴⑵⑶（4）（5）（6）-

（1）⑵⑶⑷⑸（6）（7）⑻

绕外接正方体

面心■面心轴旋转90°:

（1）（2345）（6）-（1234）（5678）

（2）（1563）（4）-（1485）（2376）

（3）（1264）（5）-（1562）（3487）-90°:

（1）（5432）（6）-（4321）（8765）

（2）（3651）（4）-（5841）（6732）

（3）（4621）（5）-（2651）（7843）

180°:

（1）（24）（35）（6）-（13）（24）（57）（68）

（2）（16）（35）（4）-（18）（45）（27）（36）

（3）（16）（24"5）-（16）（25）（38）（47）

绕外接止方体

棱中•棱中轴旋转180°:

（16X25）（34）-（17）（26）（35）（48）

（16）（23）（45）-（15）（28）（37）（46）

（24）（15）（36）-（17）（28）（34X56）

（24）（13）（56）-（12）（35）（46）（78）

（35）（12）（46）■（⑷（28）（35）（67）

（35）（14）（26）-（17）（23）（46X58）绕外接止方体

顶■顶轴旋转120。

:

（123）（456）・

（1）（245）（386）（7）

（134）（265）-

（2）（163）（457）（8）

（145）（236）-（3）（168）（274）（5）

（152）（346）-（4）（138）（275）（6）

-120°:

（321）（654）-（1>（542）（683）（7）

（431）（562）-

（2）（631）（754）（8）

（541）（632）-（3）（861）（472）（5）

（251）（643）-（4）（831）（572）（6）。