例谈相似三角形在中考中的运用docx.docx
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例谈相似三角形在中考中的运用
山东省枣庄市二十八小学潘歌
邮编:
277300
相似三角形在中考中占有很大的比例,与其它知识联系在一起,具有一定
的技巧性,下面仅具几例说明供参考
一、选择题:
DE〃BC
A.1:
9B.1:
3
C.1:
8D.1:
2
解:
TD、E分别是△ABC的AB、AC边丄的点,/.AADE^AABC
VAE:
EC=1:
2
・・・AE:
AC=1:
3
/.SAADE:
SAABC=1:
9
/.SAADE:
S四边形DBCE=1:
8・答案:
B
2、如图:
小明设计用手电來测量某古城墙高度的示意图,点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处,已知AB丄BD,CD丄BD,且测得AB=1.2米,BPF.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是()C
A、6米B、8米C、18米D、24米i|
解:
由题意可得△PAB-APCD十辻
(笫6題图)因为小明和古城墙均和地面垂直,且光线的入射角等于反
射角,因此构成一组相似三角形,利用对应边成比例即可解答.
答案:
B
3、小刚身高1,7m,测得他站立在阳关下的影子长为0.85m。
紧接着他把手臂竖
直举起,测得影子长为1.1m,那么小刚举起手臂超出头顶
A.0.5mB.0.55mC.0.6mD.2.2m
解:
设小刚举起手臂超出头顶为X:
则1.7:
0.85=(X+1.7):
1.1,1.7x1.1
=0.85x(X+1.7),x=0.5
答案:
A
4、如图,△DEF是由AMC经过位似变换得到的,点O是位似屮心,D,E,F
分别是CM,OB,OC的中点,则与AMC的面积比是()
A.1:
6B.1:
5C.1:
4D.1:
2
解:
•••△DEF是由AABC经过位似变换得到的,
/.ADEF^AABC,
VD,E,F分别是OA,OB,OC的屮点,/.DE:
AB=1:
2,
ASADEF:
SAABC=1:
4.
故答案为:
1:
4.
答案:
C
5、如图,直角梯形ABCD«|«,ZBCD=90°,AD〃BC,BC=CD,E为梯形内一点,且ZBEC=90°,将ABEC绕C点旋转90。
使BC与DC重合,得到ADCF,连EF交CD于M.已知BC=5,CF=3,则DM:
MC的值为()
VZMFD+ZEFC=90°,ZFEC+ZECF=ZDMF^90°,所以假设不成立,②不对;
VCE=CF,・\ZCEF=ZCFE,由①得,CE〃DF,
・•・ZCEF=ZEFD,・・・ZCFE=ZEFD即EF平分ZCFD,③正确;
BC=5,即CD=5,CF=3,在RTACDF屮,贝ijDF=4,
由厶CME^ADMF,可得DM:
MC=DF:
CE=4:
3,④正确故止确的结论为①③④.
答案:
C
6、图为dlBC与ADEC重迭的情形,其小E在SC±,AC交DE予F点,且ABIIDE.若厶ABC与的面积相等,J1EF=9,AB=12,则QF=?
()
(A)3(B)7(C)12(D)15
解:
从C点引辅助线垂直交AB延长线于G交DE于H则
因为三角形ABD与三角形DEC的面积和等
所以1/2AB.CG-1/2DE.CH
所以AB/DE=CH/CG
又因为AB//DE
所以EF/AB=CF/CG
所以AB/DE=EF/AB
所以DE=16所以DF=16-9=7
答案:
B
解:
用相似三角形,PB/CB=PE/CA.即x/5=PE/4.得PE=4x/5.同理。
得PD=3・3x/5.
所以PD+PE=x/5+3.
答案:
A
8、如图,点4,4,九在射线上,点心B’,尽在射线OB上,且
45]//A2B2//A.B.,A2B}//A3B2//A4B3.若厶A2B,B.,△&尽耳的面积分别
为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和
解:
因为A)Bi#A2B2#AaB3,A2Bi/7A3B2//A4B3.
B.这个可以得到:
三角形A2B,B2和三角形A3B2B3是相似必
的.
AA2B1B2,△A3B2B3的面积分别为1,4
所以就可以得到:
A2Bj/AjB2—B1B2/B2B3—A2B2/A3B3—1/2
所以就有:
AA3A4B3的面积/△A3B2B3的面积=A4B3*H/A3B2*H=A4B3/A3B2=2/1(H可以表示两三角形的高,因为A3B2和A4B3平行,高就是相等的)所以.AA3A4B3的而积=2*4=8
同理,就可以陆续得到:
△A2A3B2的面积=2*1=2
AA1A2B1的面积=1/2*1=0.5
所以:
阴影部分面积=8+2+0.5=10.5
答案:
10.5
9、如图,在RtAABC内有边长分别为a,b,c的三个正方形,则Q,b,c满足的关系
式是()
A、h=a+cB>h—ac
C、b2=a2+c2D、b=2a=2c
解:
先由勾股定理得
因为b・a/a=c/b・c
所以(b-a)(b-c)=ac
b2-cb-ab=ac=ac再把ac约掉
b(b-c-a)=0
因为b不等于0
所以b=a+c
答案:
A
10、如图,N4BC是等边三角形,被一平行于的矩形所截,MB被截成三等分,则图屮阴影部分的面积是的面积的()
A.-E・二
99
解:
因为E,F三等分AB,
所以AE:
EF:
FB=1:
1:
1
又矩形平行于BC,
所以EH:
FG:
BC=1:
2:
3
BC=6cm,
所以EH=2cm,FG=4cm,
三角形ABC的等边三角形,BC=6cm,所以三角形ABC的高是3a/3cit),
所以梯形DFGH的高为73cm,所以阴影部分的面积就是(2+4)川3十2=3勺3平方厘米。
答案:
C
11、如图,每个小正方形边长均为1,则下列图屮的三角形(阴影部分)与左图
分析:
利用三角形三边对应成比例来判断
答案:
B
二、解答题:
12、如图5,在厶ABC'I',BOAC,点D在BC上,且DC=AC,ZACB的平分线CF交AD于F,点E是AB的中点,连结EF.
(1)求证:
EF〃BC・
(2)若四边形BDFE的面积为6,求AABD的而
积.
解:
(1)证明:
•/CF平分Z/CB,・•・Zl=Z2.
又•・•DC=AC,:
.C卩是厶ACD的中线,・••点F是AD的中点
•・•点E是AB的屮点,・・・EF〃BD,即EF〃BC.
(2)解:
由
(1)知,EF〃BD,
・•・△AEFsAaBD,.;
14、如图,四边形ABCD中,AD=CD,ZDAB=ZACB=90。
,过点D作DE丄AC,
垂足为F,DE与AB相交于点E.
(1)求证:
ABAF=CBCD
(2)已知AB=15cm,BC=9cm,P是射线DE±的动点.设
DP=xcm(x>0),四边形BCDP的面积为yen?
.
1求y关于x的函数关系式;
2当x为何值吋,APBC的周长最小,并求出此吋y的值.
解:
(1)证明:
VAD=CD,DE丄AC,ADE垂直平分AC
・・・AF=CF,ZDFA=DFC=90°,ZDAF=ZDCF.
VZDAB=ZDAF+ZCAB=90°,ZCAB+ZB=90°,AZDCF=ZDAF=ZB
RtADCFfCIRtAABC屮,ZDFC=ZACB=90°,ZDCF=ZB
.CD_CF
AADCF^AABC
CDAF
即一=——.AABAF=CBCDABCB
(2)解:
①・・・AB=15,BC=9,ZACB=90°,
:
.AC=^AB2-BC2=V152-92=12,・・・CF=AF=6
.••尹=*(x+9)x6=3x+27(x>0)
②・・・BC=9(定值),•••△PBC的周长最小,就是PB+PC最小.由
(1)可矢口,点C关于直线DE的对称点是点A,・・・PB+PC=PB+PA,故只要求PB+PA最小.
显然当P、A、B三点共线吋PB+PA最小.此吋DP=DE,PB+PA=AB.
由
(1),ZADF=ZFAE,ZDFA=ZACB=90°,地厶DAF^AABC.
1159
EF〃BC,得AE=BE=-AB=—,EF=-.
222
・・・AF:
BC=AD:
AB,即6:
9=AD:
15./.AD=10・
RtAADF'P,AD=10,AF=6,/.DF=8.
925
•••DE=DF+FE=8+—
129
~T
连接AE、CG,AE与CG相交
22
25
•••当x=—时,APBC的周长最小,此时y=2
15、如图10,四边形ABCD、DEFG都是正方形,
于点M,CG与AD相交于点N.
图]0
证明:
(1)•・・四边形ABCD和四边形QEFG都是正方形
.•・AD=CD,DE=DG,/.ADC=ZEDG=90",
.・.AADE=ZCDG,;AADEUMDG,
:
.AE=CG
(2)由
(1)得\ADE=\CDG.:
.ZDAE=ZDCG,yLZANM=ZCND,
—=^,柳AN・DN=CN・MN
CNDN
/.AAMN^ACDN
综上所述,当x=|时,尹值最大,最大值是2.
HPCQs'RDQ,/xpab^/xrdq.
(2)•・•四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形,:
.BC=AD=CE,pc1
AC//DE,:
.PB=PR,—又vPC//DR,仏PCQs^RDQ.
RE2
.・.BP:
PQ:
QR=3:
l:
2
又・・•BP=PR=PQ+QR=3PQ,
17、如图,dABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=-CD.
2
⑴求证:
AABF^ACEB;E
⑵若ADEF的面积为2,求dABCD的面积。
Af
解:
⑴证明:
・・•四边形ABCD是平行四边形,/ITD
AZA=ZC,AB//CD,
AZABF=ZCEB,
AAABF^ACEB.
(2)T四边形ABCD是平行四边形,
・・・AD〃BC,AB^CD,AADEFACEB,ADEF^AABF,
•S、def=2,・・S、ceb=18,Smbf=*,
=16+8=24
.•Spq边形BCDF=S\BCE_S4EF=]6,
S四边形MCQ='四边形BCDF+SMBF
18、为了加强视力保护意识,小明想在长为3.2米,宽为4.3米的书房里挂一张测试距离为5米的视力表.在一次课题学习课上,小明向全班同学征集“解决空间过小,如何放置视力表问题”的方案,其中甲、乙、丙三位同学设计方案新颖,构思巧妙.
(1)甲牛的方案:
如图1,将视力表挂在墙ABEF和墙ADGF的夹角处,被测试人站立在
对角线AC±,问:
甲牛的设计方案是否可行?
请说明理由.
(2)乙牛的方案:
如图2,将视力表挂在墙CDGH上,在墙ABEF±挂一面
足够人的平面镜,根据平曲镜成像原理可计算得到:
测试线应画在距离墙ABEF米处.
(3)丙牛的方案:
如图3,根据测试距离为5m的大视力表制作一个测试距为3m的小视
力表.如果大视力表中“厂的长是3.5cm,那么小视力表中相应W的长
是多少cm?
解:
(1)甲牛的设计方案可行.
根据勾股定理,得AC2=AD2+CD2=3.224-4.32=28.73.
—J28.73〉姮=5.・••甲牛的设计方案可行.
(2)1.8米.
FDAD
(3)VFD//BC:
.AADF^/\ABC.——=——.
BCAB
FD3
・•・——=—・・・・FD=2.1(cm).
3.55
答:
小视力表中相应2.1cm
19、如图,在平面直角处标系中,点C(-3,0),点43分别在x轴,尹轴的止半
轴上,且满足7oS2-3+|O/f-l|=0.
(1)求点/,点B的坐标.
(2)若点P从C点出发,以每秒1个单位的速度沿射线运动,连结AP.设的面积为S,点P的运动时间为/秒,求S与(的函数关系式,并写岀自
变量的取值范围.
(3)在
(2)的条件下,是否存在点P,使以点4B,P为顶点的三角形与/\AOB相似?
若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说甬理由.
•••点理,点B分别在兀轴,y轴的止半轴上
;彳1上巧];人(3,2巧)
20、将两块大小一样含30。
角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BOAD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.
⑴填空:
如图9,AC=,BD=;四边形ABCD是梯
形.
(2)请写出左图小所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)
如图,若以AB所在直线为兀轴,过点A垂直于AB的直线为y轴建立如右图的平面直角坐标系,保持AABD不动,将AABC向兀轴的正方向平移到AFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,AFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.
解:
(1)4^3,4^3,等腰;
(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写
对9对得3分)
®ADCE>AABE与厶ACD或ABDC两两相似,分别是:
ADCE^AABE,
△DCEs/SACD,adce^abdc,AABE^AACD,AABE^ABDC;(有5对)
②△ABDs^EAD,AABD^AEBC;(有2对)
3
所以,一共有9对相似三角形.
△BACsAEAD,ABAC^AEBC;(有2对)
(3)由题意知,FP//AE,
・•・Z1=ZPFB,
XVZl=Z2=30°,
・•・ZPFB=Z2=30°,
・•・FP=BP.
过点P作PK丄FB于点K,则FK=BK=-FB.
2
VAF=t,AB=8,
・・・FB=8—t,BK=-(S-t).
2
在RtABPK屮,PK=BKtmZ2=-(8-/)tan30°=—(8-/).26
・・・AFBP的面积S=^=--(8-/)-—(8-Z),
226
・・・s与t之间的函数关系式为:
s二d(/—8)2,=—Z2--/+—V3.
121233
t的取值范围为:
0<8.
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